2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习试题：第9章第2讲 圆的方程及直线、圆的位置关系 1 WORD版含解析.docx

1、第九章 直线和圆的方程 第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系 练好题考点自测 1.2021 安徽省四校联考直线 2xsin+y=0 被圆 x2+y2-2 y+2=0 截得的最大弦长为()A.2 B.2 C.3 D.2 2.2020 全国卷,10,5 分理若直线 l 与曲线 y=和圆 x2+y2=都相切,则 l 的方程为()A.y=2x+1 B.y=2x+C.y=x+1 D.y=x+3.2021 吉林省高三联考已知圆 C:x2+y2=r2(r0),设 p:r ;q:圆 C 上至少有 3 个点到直线 x+y-2=0 的距离为 ,则 p 是 q 的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要

2、条件 D.既不充分也不必要条件 4.2018 全国卷,6,5 分理直线 x+y+2=0 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆(x-2)2+y2=2 上,则ABP 面积的取值范围是()A.2,6 B.4,8 C.,3 D.2,3 5.2020 全国卷,11,5 分理已知M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线 l:2x+y+2=0,P 为 l 上的动点.过点 P 作M 的切线PA,PB,切点为 A,B,当|PM|AB|最小时,直线 AB 的方程为()A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0 6.2016 全国卷,16,5 分理已知直

3、线 l:mx+y+3m-=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x轴交于 C,D 两点.若|AB|=2,则|CD|=.7.2019 北京,11,5 分设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l.则以 F 为圆心,且与 l 相切的圆的方程为 .8.2019 浙江,12,6 分已知圆 C 的圆心坐标是(0,m),半径长是 r.若直线 2x-y+3=0 与圆 C 相切于点 A(-2,-1),则m=,r=.拓展变式 1.2017 全国卷,20,12 分理已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以线段 AB

4、 为直径的圆.(1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上.(2)设圆 M 过点 P(4,-2),求直线 l 与圆 M 的方程.2.2020 武汉部分重点中学 5 月联考已知圆 C1:(x-1)2+(y-3)2=9 和 C2:x2+(y-2)2=1,若 M,N 分别是圆 C1,C2上的点,P是抛物线 x2=4y 的准线上的一点,则|PM|+|PN|的最小值是 .3.原创题已知直线 l:x+2y-3=0 与圆 C:x2+y2+x-6y+m=0,若直线 l 与圆 C 无公共点,则 m 的取值范围是()A.(1,8)B.(8,)C.(1,37)D.(8,+)4.2021 广西模拟在平面直角坐标系 xOy

5、中,过圆 C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1 上任意一点 P 作圆 C2:x2+y2=1 的一条切线,切点为 Q,则当|PQ|最小时,k=.5.圆 C1:x2+y2-2x+10y-24=0 和圆 C2:x2+y2+2x+2y-8=0 的公共弦所在直线的方程为 ,公共弦长为 .6.(1)2020 武汉武昌实验中学考前模拟过点 D(1,-2)作圆 C:(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则弦 AB 所在直线的方程为()A.2y-1=0 B.2y+1=0 C.x+2y-1=0 D.x-2y+1=0(2)2020 河北冀州中学模拟已知圆 C:x2+y2-2x-4y+3=0.若

6、圆 C 的一条切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则此切线的方程为 ;从圆 C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则|PM|的最小值为 .7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线论一书,其中阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,即已知动点 M 与两定点 A,B 的距离之比为(0,1),那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知圆 O:x2+y2=1 上的动点 M 和定点 A(-,0),B(1,1),则 2|MA|+|MB|的最小值为()A.B.C.D.答 案 第二讲 圆的方程及直线、

7、圆的位置关系 1.D 根据题意,圆 x2+y2-2 y+2=0,即 x2+(y-)2=3,其圆心为(0,),半径 r=,圆心到直线 2xsin+y=0 的距离 d=|=1,当圆心到直线的距离最小时,直线 2xsin+y=0 被圆 x2+y2-2 y+2=0 截得的弦长最大,而 d=的最小值为 1,则直线 2xsin+y=0 被圆 x2+y2-2 y+2=0 截得的最大弦长为 2-=2,故选 D.2.D 易知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+b,则|,设直线 l 与曲线 y=的切点坐标为(x0,)(x00),则 y -=k,=kx0+b,由可得 b=,将 b=,k=-代入得

8、x0=1或 x0=-(舍去),所以 k=b=,故直线 l 的方程为 y=x+.3.C 圆 C 的圆心为(0,0),其到直线 x+y-2=0 的距离为 1.当 0r 时,圆上没有点到直线的距离为 ;当 r=时,圆上有 1 个点到直线的距离为 ;当 r 时,圆上有 4 个点到直线的距离为 ;要使圆 C 上至少有 3个点到直线 x+y-2=0 的距离为 ,则 r ,所以 p 是 q 的充要条件,故选 C.4.A 圆心(2,0)到直线的距离 d=|=2,所以点 P 到直线的距离 d1,3.根据直线的方程可知 A,B 两点的坐标分别为 A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,所以ABP 的面积

9、 S=|AB|d1=d1.因为 d1,3,所以S2,6,即ABP 面积的取值范围是2,6.5.D 由M:x2+y2-2x-2y-2=0,得M:(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心 M(1,1).如图 D 9-2-1,连接 AM,BM,易知 PMAB,所以四边形 PAMB 的面积为|PM|AB|,欲使|PM|AB|最小,只需四边形PAMB 的面积最小,即只需PAM 的面积最小.因为|AM|=2,所以只需|PA|最小.因为|PA|=|-|-,所以只需直线 2x+y+2=0 上的动点 P 到 M 的距离最小,其最小值为|,此时 PMl,易求出直线 PM 的方程为 x-2y+1=0.由 ,-,得

10、-,所以 P(-1,0).因为PAM=PBM=90,所以 A,B 在以 PM 为直径的圆上.所以此圆的方程为 x2+(y-)2=()2,即 x2+y2-y-1=0,由-得,直线 AB 的方程为 2x+y+1=0,故选 D.6.4 设圆心到直线 l:mx+y+3m-=0 的距离为 d,则弦长|AB|=2 -=2,解得 d=3,即|-|=3,解得 m=-,则直线 l:x-y+6=0,数形结合可得|CD|=|=4.7.(x-1)2+y2=4 因为抛物线的标准方程为 y2=4x,所以焦点 F(1,0),准线 l 的方程为 x=-1.因为所求的圆以 F 为圆心,且与准线 l 相切,故圆的半径 r=2,所

11、以圆的方程为(x-1)2+y2=4.8.-2 解法一 设过点A(-2,-1)且与直线 2x-y+3=0 垂直的直线 l 的方程为 x+2y+t=0,所以-2-2+t=0,所以 t=4,所以 l 的方程为 x+2y+4=0.将(0,m)代入,解得 m=-2,则 r=(-)(-).解 法 二 因 为 直 线 2x-y+3=0 与 以 点(0,m)为 圆 心 的 圆 相 切,且 切 点 为 A(-2,-1),所 以 2=-1,所 以m=-2,r=(-)(-).1.(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由 ,可得 y2-2my-4=0,则 y1y2=-4.又 x1=,x2=,

12、故 x1x2=()=4.则 =x1x2+y1y2=0,所以 OAOB.又圆 M 是以线段 AB 为直径的圆,故坐标原点 O 在圆 M 上.(2)由(1)可得 y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心 M 的坐标为(m2+2,m),圆 M 的半径 r=().由于圆 M 过点 P(4,-2),因此 =0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即 x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得 y1y2=-4,x1x2=4.所以 2m2-m-1=0,解得 m=1 或 m=-.当 m=1 时,直线 l 的方程为 x-y-

13、2=0,圆心 M 的坐标为(3,1),圆 M 的半径为 ,圆 M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当 m=-时,直线 l 的方程为 2x+y-4=0,圆心 M 的坐标为(,-),圆 M 的半径为 ,圆 M 的方程为(x-)2+(y+)2=.2.5-4 依题意知,抛物线 x2=4y 的准线方程为 y=-1,则圆 C1关于直线 y=-1 的对称圆的圆心为 C3(1,-5),半径为 3.圆 C2的圆心为(0,2),半径为 1,连接 C2C3,由图象可知(图略),当 P,C2,C3三点共线时,|PM|+|PN|取得最小值,其最小值为圆 C3与圆 C2的圆心距减去两个圆的半径之和,即(|PM|

14、+|PN|)min=|C2C3|-3-1=-4=5-4.3.B 将圆C 的方程配方,得(x+)2+(y-3)2=-,则有 -0,解得 m -,解得 m8.所以 m 的取值范围是(8,).故选 B.4.2 由题意知,|C1C2|=(-)(-)2 2,所以圆 C1与圆 C2外离,示意图如图 D 9-2-2 所示.因为 PQ 为圆 C2的切线,所以 PQC2Q,由勾股定理,得|PQ|=|-,要使|PQ|最小,则需|PC2|最小.显然当点 P 为 C1C2与圆 C1的交点时,|PC2|最小,此时|PC2|=|C1C2|-1,所以当|C1C2|最小时,|PC2|最小.易知当 k=2 时,|C1C2|取最

15、小值,即|PQ|最小.5.x-2y+4=0 2 联立两圆的方程,得 -,-,两式相减并整理得 x-2y+4=0,所以两圆公共弦所在直线的方程为 x-2y+4=0.解法一 设两圆相交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点的坐标满足方程组-,-,解得 -,或 ,.所以|AB|=()(-)=2,即公共弦长为 2.解法二 由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,-5),半径r=5,圆心到直线x-2y+4=0的距离d=|-(-)|(-)=3.设公共弦长为 2l,由勾股定理得 r2=d2+l2,即 50=(3)2+l2,解得 l=,故

16、公共弦长 2l=2.6.(1)B 解法一(常规解法)由圆 C:(x-1)2+y2=1 的方程可知其圆心为 C(1,0),半径为 1.连接 CD,以线段 CD 为直径的圆的方程为(x-1)(x-1)+(y+2)(y-0)=0,整理得(x-1)2+(y+1)2=1.将两圆的方程相减,可得公共弦 AB 所在直线的方程为 2y+1=0.故选 B.解法二(结论解法)由与圆的切线有关的结论(详见主书 P196【思维拓展】(2)得弦 AB 所在直线的方程为(1-1)(x-1)+(-2)y=1,即 2y+1=0.故选 B.(2)(-2)x-y=0 或(+2)x+y=0 或 x+y-1=0 或 x+y-5=0

17、圆 C 的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=2,当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为 y=kx(k0),由直线与圆相切,得|-|,解得 k=-2.所以切线方程为 y=(-2+)x 或 y=(-2-)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为 x+y-a=0,由直线与圆相切,得|-|,解得 a=1 或 a=5.所以切线方程为 x+y-1=0 或 x+y-5=0.综上所述,所求的切线方程为(-2+)x-y=0 或(2+)x+y=0 或 x+y-1=0 或 x+y-5=0.由|PM|=|PO|,得(-)(-)-2=,整理得 2x1+4y1-3=0,即点 P 在直线 l:2x+4y

18、-3=0 上.又|PM|=|-,所以要使|PM|取得最小值,只需|CP|取得最小值,记圆心 C(1,2)到直线 l:2x+4y-3=0 的距离为d,可知 d|CP|,当且仅当 d=|CP|时,|CP|取得最小值.因为 d=|-|,所以|PM|min=-()-().7.C 当 点M在x轴 上 时,点M的 坐 标 为(-1,0)或(1,0).若 点M的 坐 标 为(-1,0),则2|MA|+|MB|=2 ()=1+;若点 M 的坐标为(1,0),则 2|MA|+|MB|=2 (-)=4.当点 M不在 x轴上时,取点 K(-2,0),连接 OM,MK,因为|OM|=1,|OA|=,|OK|=2,所以|=2.因为MOK=AOM,所以 MOKAOM,则|=2,所以|MK|=2|MA|,则 2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|.易知|MB|+|MK|BK|,可知|MB|+|MK|的最小值为|BK|.因为 B(1,1),K(-2,0),所以(2|MA|+|MB|)min=|BK|=(-)(-).综上,易知 2|MA|+|MB|的最小值为 .故选 C.