2023届数学一轮复习函数与导数：19-例谈函数找点.docx

1、19.三角与导数型零点问题中的处理技巧三角与导数综合的零点个数问题的处理的关键就是零点存在唯一性定理，即弄清楚单调性和端点值.前者通过导数完成，这一块要注意往往可能需要高阶导数，这是由三角函数求导的特征所决定的！后者要注意三角函数的有界性，往往过了某个范围后，函数恒正或者恒负，不再出现零点，这就决定了分段讨论，而分段的依据主要是由三角函数的取值象限来进行，等.除此之外，有的区间上找点时注意不等式放缩，从而减少找点的难度！总结起来，有关三角函数的零点问题处理主要手段有：（1） 分段处理；（2） 讨论好单调性与端点（特殊点），注意高阶导数的应用，直到能清楚判断所讨论区间的单调性；（3） 关注有关三

2、角的不等式放缩，有时候可优化解题，避免繁杂的找点过程！；.例1.（2019全国1卷）已知函数.（1） 若为的导函数，证明：在上存在唯一的极大值点；（2） 证明：有且仅有两个零点.解答：（1）由题意知：定义域为：且，令，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减.下面考虑端点值：因为，使得. 当时，；时，即在上单调递增；在上单调递减，则为唯一的极大值点. 即：在区间上存在唯一的极大值点.（2）由（1）知：，.下面分区间逐次讨论：当时，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，又，为在上的唯一零点.当时，在上单调递增，在上单调递减，又 ，在上单调递增，此时，不存在零点.又，使得，在上单调递增，在上单调

3、递减.考虑端点值：由于.在上恒成立，此时不存在零点.当时，单调递减，单调递减,在上单调递减又，.即，又在上单调递减.在上存在唯一零点.当时，即在上不存在零点. 综上所述：有且仅有个零点.下面一个例子表明，我们在找点的过程中，有时候还可以借助不等式进行放缩，从而优化找点过程，集中精力讨论零点可能存在的区域！例2.（2020武汉毕业班五月质检）已知函数，证明：函数在上存在两个极值点.解析：当时，由于，所以，在区间上无零点，我们只需证明在上有两个零点即可，利用类似于例1的方法可证得，此处略去过程.练习：（2022T8联考）已知函数，其中为非零常数.（1） 若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2） 设，且，证明：当时，函数在上恰有两个极值点.