高斯函数的性质和应用.pdf

1、培优专题1高斯函数的性质和应用1、对 xR，x表示不超过 x 的最大整数.十八世纪，y=x被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：-3.5=-4，2.1=2，1=1，且有性质（1)任意 xR,0 x-x1,性质（2）x+1-x=1，性质（3）x-x=-1（xZ），定义域为 R,值域为 Z;不单调，无最值，无奇偶性对任意实数 x，都有xxx+1,x-1xx；2、g(x)=x-x 定义域为 R,值域：0,1)无单调性，最小值 0，周期为 1.例 1、（多选题）高斯函数也称取整函数，记作x，是指不超过实数 x 的最大整数，例如6.8=6，-4.1=-5，该函数

2、被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.下列关于高斯函数 y=x的性质叙述正确的是（ABC）A.y=x值域为 ZB.y=x不是奇函数C.y=x-x为周期函数D.y=x在 R 上单调递增例 2、设x=x-x，则函数 f(x)=2xx-x-1 的所有零点之和为？由 f(x)=0 变形可得：2x=1+1,由图像可知，两函数除以交点（-1,0)之外，其余的交点关于点（0，1)对称，所以，函数 y=f(x)的所有零点之和为-1；故答案为：-1；例 3、已知函数 f(x)=|x-1|(3-x)，x0,2),若 f(x)=52，则 x=；不等式 f(x)x 的解集为_。【解析】由题意，得 f(x)=3 3,

3、0 12 2,1 1,当 0 x1 时,3-3x=52,当 1x2 时,2x-2=52,即 x=9/4(舍),综上 x=16;当 0 x1 时,3-3xx,即34x1,当 1x2 时,2x-2x,即 1x2,综上，答案为：34x2；例 4、高斯函数 f xx（x 表示不超过实数 x 的最大整数），若函数 2xxg xee培优专题2的零点为0 x，则0gf x（B）A 12ee B 2C12eeD2212ee例 5、.设 xR，用x表示不超过 x 的最大整数，则 y=x称为高斯函数.已知函数 f(x)=22+1，则函数 y=f(x)）的值域为(D)A.0,-1B.-1,1C.0,1D.-1,0,

4、1小练习：条件同上已知函数 f(x)=12x2-x+1(0 x3)，则函数 y=f(x)的值域为(?)0,1,2例 6、定义：对于任何数 a，符号a表示不大于 a 的最大整数（1）-=?；（2）如果a=2，那么 a 的取值范围是？；（3）如果377=5求满足条件的所有整数 x；-9,-8（4）解关于 x 的方程 6x-3x+7=0解不等式 x-1xx 或图像法：83，196例 7、解方程x22x3=0.解：原方程化为x=x23/2，带入x1x x得到x1x23/2 x，解得1 x1 2或1+2x 3。所以，x的可能取值为-1、2、3，对应的x取值分别为1,7,3。经检验，x=1或x=7或x=3

5、均为原方程的解。综上所述，解含x的方程就是：（1）根据x1xxx+1求得x或x的取值范围；（2）根据x的取值范围得到x的取值；（3）验证x是否满足原方程；练习 1、【2019 年北京预赛】设x表示不超过实数的最大整数，则方程 2x-2x-1=0 的根的个数为（C）A、1B、2C、3D、4数形结合练习 2、规定：对于 xR，当且仅当 nxn+1（nZ+)时，x=n.则 4x2-36x+450的解集为【答案】2,8)加强练习一、选择题1、已知 x 表示不超过实数 x 的最大整数，()g xx为取整函数，0 x 是函数()ln4f xxx的零点，则 0g x()A.4B.5C.2D.3培优专题32、

6、函数 y=x 叫做“取整函数”，2222log 1log 2log 3log 64 的值为()A.21B.76C.264D.6423、某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数 yx（x 表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A.10 xy B.310 xy C.410 xy D.510 xy 4、我们定义函数 yx（x 表示不大于 x 的最大整数）为“下整函数”，定义函数 yx（x 表示不小于 x 的最小整数）为“上整函数”，例如4.34，55；4.35，5

7、5.某停车场收费标准为每小时 2 元，即不超过 1 小时（包括 1 小时）收费 2 元，超过一小时，不超过 2 小时（包括 2 小时）收费 4 元，以此类推.若李刚停车时间为 x 小时，则李刚应付费（单位：元）()A.21x B.2(1)x C.2 xD.2 x二、多项选择题5、yx又称为取整函数,在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车收费等均按“取整函数”进行计费,以下关于“取整函数”的描述,正确的是()A.x R,22xxB.x R,122xxxC.x,yR,若 xy,则 有1xy D.方 程 231xx的 解 集 为7,106、已知 yx为高斯函数，令函数 f xxx，以下结论

8、正确的有()A.2.30.7f B.f x 为奇函数 C.1f xf xD.f x 的值域为0,17、yx高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是()A.1,0 x ，1x B.x R，1xxC.,x yR，xyxyD.函数()yxx x R 的值域为0,1)8、对x R,x 表示不超过 x 的最大整数.十八世纪,yx被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是()A.x R,1xx培优专题4B.x,yR,xyxyC.函数 yxxxR 的值域为0,1D.若 t R,使得31t ,42t,53t ,2ntn 同时成立,则正整数

9、 n 的最大值是 5三、填空题9、由“不超过 x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为 yx，例如1.210.31，则函数 21,1,3yxx 的值域为_.10、取整函数 y=x，xR 称为高斯函数，其中x表示不超过 x 的最大整数，如1.1=1，-1.1=-2.则点集 P=（x，y）|x2+y2=1所表示的平面区域的面积是?4四、解答题10、已知 x 表示不超过 x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如3.43，4.25 ，不等式 213x 的解集为 A，不等式2230 xx的解集为 B.(1)求 AB；(2)已知 xA，正数 a，b 满足 abx，求 11ab的最小值.11、已知函数 f xx.(1)记 2h xf xx，0,3x，求 h x 的解析式，并在坐标系中作出函数 h x 的图像.(2)结合(1)中的图象，解不等式 1524h x直接写出结果.(3)设 3131xxg x，判断 g x 的奇偶性，并求函数 2yf g xf gx的值域.