2023年中考数学综合压轴题训练——二次函数图象与系数的关系.docx

1、2023年中考数学综合压轴题训练二次函数图象与系数的关系一、综合题1已知关于 的一元二次方程 ，其中 为常数.（1）求证：无论 为何值，方程总有两个不相等实数根.（2）已知函数 的图象不经过第三象限，求 的取值范围.2已知二次函数（b为常数）（1）若图象过，求函数的表达式（2）在（1）的条件下，当时，求函数的最大值和最小值（3）若函数图象不经过第三象限，求b的取值范围3在一次数学兴趣小组活动中，小果和小华两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的若干部分，并在每个扇形区域内标上数字）.游戏规则如下：两人分别同时转动各自制作的转盘，转盘停止后，若圆形转盘针所指区规内数据为a

2、，等边三角形转盘指针所指区规内数据为b，当数据使二次函数图象对称轴在y轴的左侧时，小果获胜；否则小华获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）.（1）请用列表或画树状图的方法表示所以数据的可能结果；（2）请计算小果获胜的概率，并判定这个游戏是否公平.4已知二次函数 ， （1）将二次函数的解析式化为 的形式； （2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标5在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx2mx+n.（1）当m2时，求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；若点A（2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2y1，求x2的取值范围；（2）已知点P（1，

3、2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围. 6已知抛物线 经过点 . （1）求 的值. （2）若 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于另一点 ，交 轴于点 ，且 ，求此抛物线的表达式. 7在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx2m+1与x轴交于点A，B.（1）若AB2，求m的值；（2）过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N.当MN2时，求m的取值范围.8在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点.（1）求c的值及a，b满足的关系式； （2）若抛物线在A和B两

4、点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（2p，n）.若mn，求a的值；若m2p3，n2p+1，点M在直线y2x3上，请验证点N也在y2x3上并求a的值.9已知抛物线 ： 和抛物线 ： ，其中 （1）下列说法你认为正确的序号是 ； 抛物线 和 与y轴交于同一点 ； 抛物线 和 开口都向上； 抛物线 和 的对称轴是同一条直线； 当 时，抛物线 和 都与x轴有两个交点（2）抛物线 和 相交于点E、F，当k的值发生变化时，请判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由； （3）在 中，若抛物线 的顶点为M，抛物线 的顶点为N，问： 是否存在实数k，使

5、 ？如存在，求出实数k；如不存在，请说明理由10已知抛物线y=-x2+bx+c(b，c为常数)经过点(0，-3)、(-6，-3)（1）求此抛物线的解析式（2）此抛物线的顶点坐标为 （3）当-4x0时，求y的最大值和最小值（4）当mx0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值11已知二次函数 的大致图像如图所示，这个函数图象的顶点为点 （1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点 的坐标； （2）设该函数图象与 轴正半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，图像的对称轴与 轴交于点 ，如果 ， ，求该二次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，设点 在第一象限该函数的图象上，且点 的横坐标为 ，如

6、果 的面积是 ，求点 的坐标 12某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是 ；x与y的几组对应值如表，其中m .x01234y50m010（2）如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整.（3）结合函数图象，解决下列问题：解不等式：.若过定点的直线与函数的图象只有一个横坐标不等于2的交点，求出t的取值范围.13已知二次函数 . （1）若图象经过点 . 的值为 ；无论 为何值，图象一定经过另一个定点 .（2）若图象与 轴只有1个公共点，求 与 的数量关系. （3）若该函数图象经过 ，写出函数

7、图象与坐标轴的公共点个数及对应的 的取值范围. 14在平面直角坐标系xOy中，抛物线G： 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点；一次函数 （ ）的图像为直线 .（1）求A、B两点的坐标； （2）当1x2时， ，试说明：抛物线G的顶点不在直线 上；（3）设 ，直线 与线段AC交于D点，与y轴交于E点，与抛物线G的对称轴交于F 点，当A、C两点到直线 距离相等时，是否存在整数n，使F点在直线BE的上方?若存在，求n的值；若不存在，请说明理由.15如图1，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： （ ） （1）若抛物线过点 ，求出抛物线的解析式；（2）当 时， 的最小值是 ，求 时，

8、 的最大值；（3）已知直线 与抛物线 （ ）存在两个交点，若两交点到 轴的距离相等，求 的值；（4）如图2，作与抛物线 关于 轴对称且对称轴相同的抛物线 ，当抛物线 与抛物线 围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出 的取值范围16在平面直角坐标系中，已知：函数y= （1）当m=0时，求y随x增大而增大时，x的取值范围。当 x2时，求y的取值范围。当axa+1时，设y的最大值与最小值之差为h，当h=2时，求a的值。（2）若A（-2，2）、B（3，2），连结AB，当此函数的图象与线段AB只有两个公共点时，直接写出m的取值范围。17如图，已知二次函数yx22x+m

9、的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点（1）求m的值； （2）若二次函数图象上有一点Q，使得tanABQ3，求点Q的坐标； （3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得QBPCOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 18已知二次函数 （a0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OAOB），与y轴交于点C. （1）求C点坐标，并判断b的正负性； （2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC交于点D，已知DC：CA=1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC， 若BCE的面积为8，求二次函数的解析式；若B

10、CD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围.答案解析部分1【答案】（1）证明： ，无论 为何值，方程总有两个不相等实数根（2）解：二次函数 的图象不经过第三象限，二次项系数 ， 抛物线开口方向向上， ，抛物线与 轴有两个交点，设抛物线与 轴的交点的横坐标分别为 ， ， ， ，解得 ，即 的取值范围是 2【答案】（1）解：图象经过点，解得 此函数解析式为（2）解：抛物线的开口向上，当，y随x的增大而减小，当时，y的最小值为，当时，y随x的增大而增大，当时y的最大值为，答：最小值，最大值8（3）解：图象不经过第三象限，且开口向上，即， 对称轴直线，在y轴左侧，图象必在x轴上方（包括x轴）， 3【答

11、案】（1）解：根据题意画图如下： 共有12种结果：（2）解：二次函数图象对称轴在y轴的左侧 ，即需要同号，小果胜；由（1）知，小果获胜的概率是，小华获胜的概率是，小果和小华概率不相等，游戏不公平；4【答案】（1）解： （2）解：由（1）知，该抛物线解析式是： ； ，则二次函数图象的开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标是 5【答案】（1）解：m2， 抛物线为yx22x+n.x 1，抛物线的对称轴为直线x1.当线x1时，y12+nn1，顶点的纵坐标为：n1.抛物线的对称轴为直线x1，开口向上，x2到x1的距离为3，点A（2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2y1，则x2的取值范围是x22或

12、x24，（2）解：点P（1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q. 点Q的坐标为（3，2），n3，抛物线为yx2mx+3.当抛物线经过点Q（3，2）时，2323m+3，解得 ；当抛物线经过点P（1，2）时，2（1）2+m+3，解得m2；当抛物线的顶点在线段PQ上时， 2，解得m2.结合图象可知，m的取值范围是m2或m2或 .故答案为：m2或m2或 .6【答案】（1）解：抛物线经过点 ， ，可得 .（2）解：由题可知，对称轴为直线 ， ，即点 在对称轴左侧； ， ， ，解得 ，由（1）得 ， ，抛物线表达式为 .7【答案】（1）解：抛物线ymx22mx2m+1的对称轴为直线 . 点A、B关于直线

13、x1对称，AB2抛物线与x轴交于点A（0，0）、B（2，0），将（0，0）代入ymx22mx2m+1中，得2m+10即 ；（2）解：抛物线ymx22mx2m+1与x轴有两个交点， 0即（2m）24m（2m+1）0，解得： 或m0，若m0，开口向上，当MN2时，则有2m+12解得 ，所以，可得 ；若m0，开口向下，当MN2时，则有2m+12解得 所以可得 ，综上所述m的取值范围为 或 .8【答案】（1）解：令x0，则c4， 将点B（2，0）代入yax2+bx+c可得4a+2b40，2a+b2；（2）解：抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大， 抛物线开口向上，a0，A（0，4）和B（2，0），

14、对称轴x 1 0，0a1；（3）解：当mn时，M（p，m），N（2p，n）关于对称轴对称， 对称轴x1 1，a ；将点N（2p，n）代入y2x3，n4+2p31+2p，N点在y2x3上，联立y2x3与yax2+（22a）x4有两个不同的实数根，ax2+（42a）x10，p+（2p）- = ，a1.9【答案】（1）（2）解：由 可知：点 是抛物线 和 与y轴一个交点， 两条抛物线相交的另一个交点E与点F的纵坐标相等，当 时，二次函数 和 重合，当 时，k的值变化时，线段EF的长不会变化， 理由是： 抛物线 和 的对称轴是同一条直线：直线 ，又 ； 点F关于直线 对称的点E的坐标为 ，则EF就等于

15、 ，所以线段 ；（3）解：存在实数k，使 ， ， 抛物线 ，顶点 ，抛物线 ，顶点 ，由题意得： ， 解得： 10【答案】（1）解：把(0，-3)、(-6，-3)代人y=-x2+bx+c，得解得此抛物线的解析式为y=-x2-6x-3（2）(-3，6)（3）解：由(2)得抛物线的顶点坐标为(-3，6)-10，抛物线开口向下又-4x0，当x=-3时，y有最大值6，当x=0时，y有最小值-3（4）m=-2或m=-3-11【答案】（1）解： ， 抛物线开口向下，根据对称轴公式可得： ，当 时， ，则顶点 ，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点 （2）解：如图所示，作DEy轴， 由（1）可知顶点 ，则O

16、A=ED=1，DCBC，DCE+BCO=90，又DCE+CDE=90，CDE=BCO，CDEBCO， ， ，当 时， ，即点C的坐标为 ，则： ，解得： ，经检验a=-1是方程的解，抛物线的解析式为： ；（3）解：在（2）的条件下，如图所示，连接MC，M的坐标为 ， 此时设直线CM的解析式为： ，将C，M的坐标代入得： ，解得： ，即：直线CM的解析式为： ，设直线CM与对称轴交于P点，则P的坐标为 ， ， ，解得： ，将 代入抛物线解析式得： ，点M的坐标为 12【答案】（1）任意实数；（2）解：如图， （3）解：由（2）中图象可得： 当时， 当时， 令， 解得：， 当时， 令， 解得：，

17、由函数图象分析可得：当时或或直线过定点，将代入， 解得：将代入， 解得：当 即 解得过定点的直线与函数的图象只有一个横坐标不等于2的交点或或13【答案】（1）2；（-1，2）（2）解：图象与x轴有1个公共点， 当y=0时，方程 有两个相等的实数根， 且 ，即 ， ， ，（3）解：函数图象经过 ， 即 ， ， ，当图象与坐标轴有1个公共点时，即与x轴没有交点， ，则 或 ，解得 ，当图象与坐标轴有2个公共点时，即与x轴只有1个交点或者函数过原点，当函数与x轴只有1个交点时， ，解得 ，当函数过原点时， ，解的 ，故当 或 时，函数与坐标轴有2个交点；当图象与坐标轴有3个公共点时，即与x轴有2个不

18、同的交点，且函数不过原点，则 或 ，解得 或 且 ，综上所述：图象与坐标轴有1个公共点时， ， 图象与坐标轴有2个公共点时， 或 ， 图象与坐标轴有3个公共点时， 或 且 .14【答案】（1）令 ，得 ， 即 ，解得 A在B的左侧，A（ ），B（3,0）（2）由 得顶点坐标为：（ ），对称轴为 ，开口向下当1x2时， 得 ，即 当 时， 抛物线G的顶点不在直线 上（3）4, 5,6,7,8 理由：当 时， C（0,9）A、C两点到直线 距离相等直线 过A，C两点的中点A（ ）D（ ）将点D代入 得： ，即 直线 可化为： E（0， ）设BE的解析式为： 则 ，解得 故BE的解析式为： 点F为直

19、线 与对称轴交点F（ ）又点F在直线BE上方 ，解得 又 为整数 .15【答案】（1）解：将 代入 得， ，解得 ，抛物线的解析式为 ；（2）由题意可知，抛物线的对称轴为直线 ， 顶点横坐标在 范围内， 的最小值是 且 ，顶点坐标为 ，开口向上，当 时， 随 的增大而增大，即当 时， 有最大值，把顶点坐标 代入 ，得 ，解得 ， ，当 时， ，即 的最大值是 ；（3）抛物线 与 轴的交点为 ，直线 与 轴的交点也为 ， 直线 与抛物线 （ ）其中一个交点坐标为 ，交点到 轴的距离为1，另一交点的纵坐标为 ， ，解得 ，另一交点坐标为 ，将 代入 得 ，解得 ；（4） 的取值范围是 抛物线的对称

20、轴为直线 ，当 时， ，所以顶点坐标为 ，因为 与 对称，所以整数点也是对称出现的， ，当 时，抛物线 中 ，在 轴上的整数点为3个， 与 轴围成的区域内的整数点为4个，当 时， ，解得 ；且当 时， ，解得 ， 16【答案】（1）解：x0或x1 1y4 当a+10，即a-1时，h=-（a+1）2+2-（-a2+2）=-2a-1 -2a-1=2，a= 当-1a0时，由图象可知h1 当0a1时，h=（a+1）2-1，由（a+1）2-1=2，得a=-1 ， 01时，（a+1）2-a2=2，a= ，a1，a= 舍去 综上所述：a=- 或a=-1+ （2） m2或 m1或m=017【答案】（1）解：设

21、对称轴交x轴于点E，直线AC交抛物线对称轴于点D， 函数的对称轴为：x1，点C为AD的中点，则点A（1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m3，（2）解：tanABQ3，点B（3，0）， 则AQ所在的直线为：y3（x3），联立并解得：x4或3（舍去）或2，故点Q（4，21）或（2，3）；（3）解：不存在，理由： QBPCOA，则QBP90当点Q（2，3）时，则BP的表达式为：y （x3），联立并解得：x3（舍去）或 ，故点P（ ），此时BP：PQOA：AC，故点P不存在；当点Q（4，21）时，同理可得：点P（ ），此时BP：PQOA：OB，故点P不存在；综上，点P不存在18【答案】（1

22、）解：当x=0时， =-4， C(0，-4)，OAOB，对称轴在y轴右侧，即 ，a0，b0（2）解：过点D作DMy轴，垂足为M，则有DM/OA， DCMACO， ， ，设A(-2m，0)m0，则AO=2m，DM=m，OC=4，CM=2，D(m，-6)，B(4m，0)，AB=6m，BN=3m，DN/OE，BNDBOE， ，即 ，OE=8，CE=OE-OC=4， ， ，A(-2，0)，B(4，0)，设 ，即 ，令x=0，则y=-8a，C(0，-8a)，-8a=-4，a= ， ；由易知：B(4m，0)，C(0，-4)，D(m，-6)，CBD一定为锐角，由勾股定理可得： ，当CDB为锐角时， ， ，解得 ；当BCD为锐角时， ， ，解得 ，综上： ， ， .