2023年江苏省中考数学第一轮复习卷：8二次函数.docx

1、2023年江苏省中考数学第一轮复习卷：8二次函数一选择题（共10小题）1（2022亭湖区校级二模）已知抛物线ykx2+2x1与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）Ak1Bk1Ck1且k0Dk1且k02（2022海陵区校级三模）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于（3，0），顶点是（1，m），则以下结论：若yc，则x2或x0；b+c=12m其中正确的是（）ABC都对D都不对3（2022邳州市校级模拟）在同一直角坐标系中，函数yax+a和函数yax2+x+2（a是常数，且a0）的图象可能是（）ABCD4（2022高邮市模拟）在三个函数：ykx+b（k0）；y=kx(k0)；yax2

2、+bx+c（a0）的图象上，都存在点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3），能够使不等式y3y2y2y1总成立的函数有（）A0个B1个C2个D3个5（2022丰县二模）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为yax2+bx+c（a0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A第7秒B第9秒C第11秒D第13秒6（2022苏州二模）已知二次函数ya（x2）2+2a（x2）（a为常数，a0），则该函数图象的顶点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7（2022姜堰区二模）如果a是二次函数yx2x2与x

3、轴交点的横坐标，那么代数式（a1）2+（a+2）（a2）的值为（）A1B1C7D98（2022南通一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yax2+bx，其中ab0以下4个结论：若这个函数的图象经过点（2，0），则它必有最小值；若这个函数的图象经过第四象限的点P，则必有a0；若a0，则方程ax2+bx0必有一根小于1，若a0，则当1x0时，必有y随x的增大而增大正确的是（）ABCD9（2022东台市模拟）已知抛物线yax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x10123y301m3以下结论：抛物线yax2+bx+c的开口向下；当x3时，y随x增大而增大；方程ax2+bx+

4、c0的根为0和2；当y0时，x的取值范围是0x2，正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个10（2022东海县校级三模）在平面直角坐标系中，已知点（1，m），（3，n）在抛物线yax2+bx上，且mn0设t=-b2a，则t的值可以是（）A13B12C1D32二填空题（共10小题）11（2022徐州）若二次函数yx22x3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 12（2022南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到

5、最高点13（2022无锡）把二次函数yx2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： 14（2022沭阳县校级模拟）已知二次函数y（xa）2+1（a为常数），如果当自变量x分别取3，1，1时，所对应的y值只有一个大于零0，那么a的取值范围是 15（2022射阳县校级二模）将二次函数yx2+2x+n的图象先向右平移2个单位，再向上平移m（m0）个单位，得到函数yx22x+4的图象，则m+n的值为 16（2022天宁区校级二模）已知二次函数yax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下：那么当y5时，x的

6、取值范围为 x10123y10521217（2022姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EGAD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，FGH的最大面积为 18（2022昆山市校级一模）定义：a，b，c为二次函数yax2+bx+c（a0）的特征数下面给出特征数为m，lm，2m的二次函数的一些结论：当m1时，函数图象的对称轴是y轴；当m2时，函数图象过原

7、点；当m0时，函数有最小值：若m0，则当x12时，y随x的增大而减小其中所有正确结论的序号是 19（2022鼓楼区校级三模）在函数y（x1）2+1中，当x1时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）20（2022鼓楼区校级二模）小淇利用绘图软件画出函数y=-12x（x1）（x+1）（2x2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：图象与x轴有两个交点；图象关于原点中心对称；最大值是3，最小值是3；当x1时，y随x的增大而减小其中，所有正确说法的序号是 三解答题（共11小题）21（2022淮安）如图（1），二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0）

8、，点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长22（2022镇江）一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过点A、原点O和一次函数y=12x+1图象上的点B（m，54）

9、（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，一次函数y=12x+n（n-916，n1）与二次函数yax2+bx+c（a0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1x2），过点C作直线l1x轴于点E，过点D作直线l2x轴，过点B作BFl2于点Fx1 ，x2 （分别用含n的代数式表示）；证明：AEBF；（3）如图2，二次函数ya（xt）2+2的图象是由二次函数yax2+bx+c（a0）的图象平移后得到的，且与一次函数y=12x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3x轴，过点Q作直线l4x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A、B，过点A作AMl3于点M，过点B作BN

10、l4于点NAM与BN相等吗？请说明你的理由；若AM+3BN2，求t的值23（2022盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 【解决问题】请帮助小明验证他的

11、猜想是否成立【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画M，是否存在所描的点在M上若存在，求m的值；若不存在，说明理由24（2022无锡）已知二次函数y=-14x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且CAD90（1）求该二次函数的表达式；（2）若点C与点B重合，求tanCDA的值；（3）点C是否存在其他的位置，使得tanCDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由25（2022宿迁）如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O（0

12、，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将ABC沿BC折叠后，点A落在点A的位置，线段AC与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合（1）求二次函数的表达式；（2）求证：OCDABD；求DBBA的最小值；（3）当SOCD8SABD时，求直线AB与二次函数的交点横坐标26（2022亭湖区校级一模）【感受新知】已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“关联正方形”，例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数yx+1图象的其中一个“关联正方形”

13、（1）求一次函数yx+1图象的所有“关联正方形”的边长；（2）若反比例函数的图象与一次函数图象有一个相同的“关联正方形”，则称此反比例函数为一次函数的“关联反比例函数”，一次函数yx+1是否存在“关联反比例函数”，若存在，求出反比例函数表达式，若不存在，请说明理由；【灵活运用】（3）如图2，若某函数是反比例函数y=kx（k0），它的图象的“关联正方形”为ABCD，点D（2，m）（m2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；【深度探究】（4）如图3，若某函数是二次函数yax2+c（a0），它的图象的“关联正方形”为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解

14、析式27（2022亭湖区校级二模）如图，抛物线yax2+bx+c经过点A（2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC2OA，抛物线的顶点为D，直线ymx+n经过B，C两点，与对称轴交于点E（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）点M是直线BC上方抛物线上的动点，连接MB，ME，得到MBE，求出MBE面积的最大值及此时点M的坐标；（3）直线ykx（k0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与CDE相似，求k的值；（4）点N在对称轴上，满足BNCABC，求出点N的坐标28（2022江都区校级三模）孔子曰：温故而知新，可以为师矣根据艾宾浩斯遗忘曲线，小苏同学发现对所学知识点

15、进行复习回顾，学习效果会更好某一天他利用30分钟时间进行自主学习假设他用于学习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于复习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）（1）求该同学的学习收益量y与用于学习的时间x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）求该同学的学习收益量y与用于复习的时间x之间的函数关系式；（3）该同学应如何分配学习和复习的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）29（2022建湖县三模）我们规定：关于x的反比例函数y=a+bx称为一次

16、函数yax+b的“次生函数”，关于x的二次函数yax2+bx（a+b）称为一次函数yax+b的“再生函数”（1）按此规定：一次函数yx4的“次生函数”为： ，“再生函数”为： ；（2）若关于x的一次函数yx+b的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；（3）若一次函数yax+b与其“次生函数”交于点（1，2）、(4，-12)两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C若点D（1，3），求CBD的正切值；若点E在直线x1上，且在x轴的下方，当CBE45时，求点E的坐标30（2022亭湖区校级一模）如图，已知抛物线yax2+bx3与x轴交于A（2，0）、B（6，0）

17、两点，与y轴交于C点，设抛物线的顶点为D过点D作DEx轴，垂足为EP为线段DE上一动点，F（m，0）为x轴上一点，且PCPF（1）求抛物线的解析式；（2）当点P与点D重合时，求m的值；在的条件下，将COF绕原点按逆时针方向旋转90并平移，得到C1O1F1，点C，O，F的对应点分别是点C1，O1，F1，若COF的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点F1的坐标；（3）当点P在线段DE上运动时，求m的变化范围31（2022泉山区校级三模）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品（销量产量），年销量不超过30万件年销量y（万件）与售价x（元/件）

18、之间的函数关系如图所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（计入成本），P与x之间的函数关系如图所示，AB是一条线段，BC是抛物线P=14x2-4x+m的一部分（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？2023年江苏省中考数学第一轮复习卷：8二次函数参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1（2022亭湖区校级二模）已知抛物线ykx2+2x1与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）Ak1Bk1Ck1且k0Dk1且k0【解答】解：根据题意得22+4k10，解得：k1，由于该函数为二次函数，则k0k1且k0故选：D2（2022海陵区校级三模）如图，已知

19、二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于（3，0），顶点是（1，m），则以下结论：若yc，则x2或x0；b+c=12m其中正确的是（）ABC都对D都不对【解答】解：由题意可知对称轴为：直线x1，x=-b2a=-1，b2a，把yc，b2a代入yax2+bx+c得：ax2+2ax+cc，x2+2x0，解得x0或2，当yc，则x2或x0，故结论正确；把（1，m），（1，0）代入yax2+bx+c得：ab+cm，a+b+c0，b=-12m，b2a，a=-14m，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于（3，0），顶点是（1，m），抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），a+b+c0，c=34m，b+

20、c=-12m+34m=14m，故结论不正确故选：A3（2022邳州市校级模拟）在同一直角坐标系中，函数yax+a和函数yax2+x+2（a是常数，且a0）的图象可能是（）ABCD【解答】解：当a0时，一次函数过一二三象限，抛物线开口向上，对称轴x=-12a0，故B、C不符合题意，当a0时，一次函数过二三四象限，抛物线开口向下，对称轴x=-12a0，故A不符合题意故选：D4（2022高邮市模拟）在三个函数：ykx+b（k0）；y=kx(k0)；yax2+bx+c（a0）的图象上，都存在点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3），能够使不等式y3y2y2y1总成立的函数有（）A

21、0个B1个C2个D3个【解答】解：如图，当点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3）在同一直线上时，过点P1作P1Ax轴于点A，过点P2作P2Bx轴于点B，过点P3作P3Cx轴于点Cn+1=n+n+22，ABBC，AP1BP2CP3，P1P2P2P3，y2=y1+y32，2y2y1+y3，y3y2y2y1，一次函数不满足条件，对于反比例函数k0时，如图，观察图象可知，y212（y1+y3），2y2y1+y3，y3y2y2y1，反比例函数不满足条件，对于抛物线a0，如图，观察图象可知，y212（y1+y3），2y2y1+y3，y3y2y2y1，当a0时，二次函数满足条件故选：

22、B5（2022丰县二模）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为yax2+bx+c（a0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A第7秒B第9秒C第11秒D第13秒【解答】解：此炮弹在第6与第13秒时的高度相等，抛物线的对称轴是：x=6+132=9.5，炮弹所在高度最高是9.5秒，在四个选项中炮弹所在高度最高的是9秒故选：B6（2022苏州二模）已知二次函数ya（x2）2+2a（x2）（a为常数，a0），则该函数图象的顶点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：当y0时，a（x2）2+2a（x2）0，（x2

23、）（x2+2）0，x20或x2+20，解得x12，x20，抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0），抛物线的对称轴为直线x1，a0，抛物线开口向下，顶点的纵坐标大于0，该函数图象的顶点位于第一象限故选：A7（2022姜堰区二模）如果a是二次函数yx2x2与x轴交点的横坐标，那么代数式（a1）2+（a+2）（a2）的值为（）A1B1C7D9【解答】解：令x2x20，解得x12，x21，a2或a1，（a1）2+（a+2）（a2）的值为1故选：B8（2022南通一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yax2+bx，其中ab0以下4个结论：若这个函数的图象经过点（2，0），则它必有最小值；

24、若这个函数的图象经过第四象限的点P，则必有a0；若a0，则方程ax2+bx0必有一根小于1，若a0，则当1x0时，必有y随x的增大而增大正确的是（）ABCD【解答】解：将点（2，0）代入yax2+bx，可得4a2b0，即b2a，ab0，a2aa0，a0，抛物线开口向上，有最小值故正确；二次函数yax2+bx的图象经过第四象限的点P，设P（x，y），当x0时，y0，即yax2+bxx（ax+b）0，ax+b0，ab0，ab，ax+a0，即a（x+1）0，x0，a0，故正确；方程ax2+bx0可转化为x（ax+b）0，x0或ax+b0，在ax+b0中，a0，x=-ba，ab0，ab，a0，ba1，

25、则x1，若a0，则方程ax2+bx0必有一根小于1，故正确；若a0，则二次函数yax2+bx的图象开口向下，对称轴为x=-b2a，ab0，ab，ba1，-b2a-12，当-12-b2a0时，有-b2ax0，y随x的增大而减小，故错误故选：A9（2022东台市模拟）已知抛物线yax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x10123y301m3以下结论：抛物线yax2+bx+c的开口向下；当x3时，y随x增大而增大；方程ax2+bx+c0的根为0和2；当y0时，x的取值范围是0x2，正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：将（1，3），（0，0），（1，1）代入yax

26、2+bx+c得：3=a-b+c0=c-1=a+b+c，解得a=1b=-2c=0，yx22xa1，抛物线开口向上，故错误，不符合题意图象对称轴为直线x1，且开口向上，x1时，y随x增大而增大，故错误，不符合题意yx22xx（x2），当x0或x2时y0，故正确，符合题意抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），x0或x2时，y0，故错误，不符合题意故选：A10（2022东海县校级三模）在平面直角坐标系中，已知点（1，m），（3，n）在抛物线yax2+bx上，且mn0设t=-b2a，则t的值可以是（）A13B12C1D32【解答】解：（1，m），（3，n）在抛物线yax2+bx上，a+

27、b=m9a+3b=n，A、当t=-b2a=13时，b=-23a，ma+（-23a）=13a，n9a+3（-23a）7a，此时m、n同号，与mn0矛盾，故A不符合题意；B、当t=-b2a=12时，ba，ma+（a）0，n9a+3（a）6a，此时mn0，与mn0矛盾，故B不符合题意；C、当t=-b2a=1时，b2a，ma+（2a）a，n9a+3（2a）3a，此时m、n异号，mn0，故C符合题意；D、当t=-b2a=32时，b3a，ma+（3a）2a，n9a+3（3a）0，此时mn0，与mn0矛盾，故D不符合题意；故选：C二填空题（共10小题）11（2022徐州）若二次函数yx22x3的图象上有且只

28、有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 4【解答】解：yx22x3（x1）24，抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x1，顶点为（1，4），顶点到x轴的距离为4，函数图象有三个点到x轴的距离为m，m4，故答案为：412（2022南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h5t2+20t，当飞行时间t为 2s时，小球达到最高点【解答】解：h5t2+20t5（t2）2+20，50，当t2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：213（2022无锡）把二次函数yx2+4x+m的图象向

29、上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：m3【解答】解：把二次函数yx2+4x+m（x+2）2+m4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，平移后的解析式为：y（x+23）2+m4+1，平移后的解析式为：yx22x+m2，对称轴为直线x1，平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，44（m2）0，m3，故答案为：m314（2022沭阳县校级模拟）已知二次函数y（xa）2+1（a为常数），如果当自变量x分别取3，1，1时，所对应的y值只有一个大于零0，那么a的取值范围是 4a2且a0，a2【解答】解：由题意得y（

30、xa）2+10，（xa）21x-a1x-a-1，a1xa+1，当x3时，则4a2，当x1时，则2a0，当x1时，则0a2，m的取值范围是4a2且a0，a2，故答案为：4a2且a0，a215（2022射阳县校级二模）将二次函数yx2+2x+n的图象先向右平移2个单位，再向上平移m（m0）个单位，得到函数yx22x+4的图象，则m+n的值为 4【解答】解：将二次函数yx2+2x+n（x+1）2+n1的图像先向右平移2个单位，再向上平移m（m0）个单位，得到函数yx22x+4，yx22x+4（x+12）2+m+n1，x22x+4x22x+m+n，m+n4，故答案为：416（2022天宁区校级二模）已

31、知二次函数yax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下：那么当y5时，x的取值范围为 x0或x4x10123y105212【解答】解：根据表格可知，二次函数yax2+bx+c对应抛物线图像的对称轴为直线x2，开口向上，当x0时，y5，当x2204时，y5，当y5时，x0或x4，故答案为：x0或x417（2022姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EGAD交x轴

32、于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，FGH的最大面积为 4.5【解答】解：由题意可知A（0，2），设直线AD为ykx+2，把D（1，0）代入得，k+20，解得k2，直线AD为y2x+2，EGAD，设直线EG的解析式为y2x+b，则G（0，b），当y2时，x=b-22，E（b-22，2），AE=b-22，BFAE=b-22，EF42b-22=6b，SFGHSEFG+SEFH=12EFOG=12（6b）b=-12（b3）2+4.5，-120，FGH的最大面积为4.5，故答案为：4.518（2022昆山市校级一模）定义：a，b，c为二次函数yax2+bx+c（a0）的特征数下面给出特

33、征数为m，lm，2m的二次函数的一些结论：当m1时，函数图象的对称轴是y轴；当m2时，函数图象过原点；当m0时，函数有最小值：若m0，则当x12时，y随x的增大而减小其中所有正确结论的序号是 【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为m，1m，2m的二次函数的表达式为ymx2+（1m）x+2m此抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1-m2m=m-12m，当m1时，对称轴为直线x0，即y轴故正确；当m2时，此二次函数表达式为y2x2x，令x0，则y0，函数图象过原点，故正确；当m0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故正确；m0，对称轴x=m-12m=12-12m，抛物线开口向下，在对称轴的左

34、侧，y随x的增大而增大即x12-12m时，y随x的增大而增大而1212-12m，当x12时，y随x的增大而增大，故错误故答案为：19（2022鼓楼区校级三模）在函数y（x1）2+1中，当x1时，y随x的增大而 增大（填“增大”或“减小”）【解答】解：函数y（x1）2+1，a10，抛物线开口向上，对称轴为直线x1，当x1时，y随x的增大而增大故答案为：增大20（2022鼓楼区校级二模）小淇利用绘图软件画出函数y=-12x（x1）（x+1）（2x2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：图象与x轴有两个交点；图象关于原点中心对称；最大值是3，最小值是3；当x1时，y随x的增大而减小其中，所有正确说

35、法的序号是 【解答】解：图象与x轴有三个交点，故错误；图象关于原点中心对称，故正确；当x2时，y3，当x2时，y3，函数的最大值是3，最小值是3，故正确；当x1时，y随x的增大而减小，故正确故答案为：三解答题（共11小题）21（2022淮安）如图（1），二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标

36、；（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入yx2+bx+c，-9+3b+c=0c=3，解得b=2c=3，yx2+2x+3，yx2+2x+3（x1）2+4，顶点坐标（1，4）；（2）设直线BC的解析式为ykx+b，3k+b=0b=3，解得k=-1b=3，yx+3，设P（t，t+3），则M（t，t2+2t+3），N（2t，t2+2t+3），PM|t23t|，MN|22t|，PM=12MN，|t23t|=12|22t

37、|，解得t1+2或t1-2或t2+3或t2-3，P点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3；（3）C（0，3），D点与C点关于x轴对称，D（0，3），令y0，则x2+2x+30，解得x1或x3，A（1，0），AB4，AQ3PQ，Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，QGBC，AQAP=AGBA，34=AG4，AG3，G（2，0），OBOC，OBC45，作A点关于GQ的对称点A，连接AD与AP交于点Q，AQAQ，AQ+DQAQ+DQAD，3AP+4DQ4（DQ+34AP）4（DQ+AQ）4AD，QGACBO45，AAQG，AAG45，AGAG，AAG45，AGA90，A（2，3），

38、设直线DA的解析式为ykx+b，b=-32k+b=3，解得k=3b=-3，y3x3，同理可求直线QG的解析式为yx+2，联立方程组y=-x+2y=3x-3，解得x=54y=34，Q（54，34），DQ=510422（2022镇江）一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过点A、原点O和一次函数y=12x+1图象上的点B（m，54）（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，一次函数y=12x+n（n-916，n1）与二次函数yax2+bx+c（a0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1x2），过点C作直线l1x轴于点E，过点D作直线

39、l2x轴，过点B作BFl2于点Fx1-3-9+16n4，x2-3+9+16n4（分别用含n的代数式表示）；证明：AEBF；（3）如图2，二次函数ya（xt）2+2的图象是由二次函数yax2+bx+c（a0）的图象平移后得到的，且与一次函数y=12x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3x轴，过点Q作直线l4x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A、B，过点A作AMl3于点M，过点B作BNl4于点NAM与BN相等吗？请说明你的理由；若AM+3BN2，求t的值【解答】（1）解：直线y=12x+1与x轴交于点A，令y0，得12x+10，解得：x2，A（2，0），直线y=12x+1

40、经过点B（m，54），12m+1=54，解得：m=12，B（12，54），抛物线yax2+bx+c（a0）经过A（2，0），O（0，0），B（12，54），设yax（x+2），则54=a12（12+2），解得：a1，yx（x+2）x2+2x，这个二次函数的表达式为yx2+2x；（2）解：由题意得：x2+2x=12x+n（n-916），解得：x1=-3-9+16n4，x2=-3+9+16n4，故答案为：-3-9+16n4，-3+9+16n4；证明：当n1时，CD位于AB的上方，A（2，0），B（12，54），AE2-3-9+16n4=-5+9+16n4，BF=-3+9+16n4-12=-5+9+

41、16n4，AEBF，当-916n1时，CD位于AB的下方，A（2，0），B（12，54），AE=-3-9+16n4-（2）=5-9+16n4，BF=12-3+9+16n4=5-9+16n4，AEBF，当n-916且n1时，AEBF；（3）设P、Q平移前的对应点分别为P、Q，则PQPQ，PQAB，平移后点A、B的对应点分别为A、B，由（2）及平移的性质可知：AMBN；AM+3BN2，AMBN=12，平移前二次函数yx2+2x的图象的顶点为（1，1），平移后二次函数y（xt）2+2的图象的顶点为（t，2），新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，B（1

42、2，54）的对应点为B（t+32，174），BN=12，点Q的横坐标为t+1，代入y=12x+1，得y=12（t+1）+1=12t+32，Q（t+1，12t+32），将点Q的坐标代入y（xt）2+2中，得12t+32=（t+1t）2+2，解得：t323（2022盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在

43、直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 （3，4）或（3，4）【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画M，是否存在所描的点在M上若存在，求m的值；若不存在，说明理由【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y514，横坐标x52-42=3，点的坐标为（3，4）或（3，4）【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n1），该点的横坐标为n2-

44、(n-1)2=2n-1，该点的坐标为（-2n-1，n1）或（2n-1，n1）（2n-1）22n1，n1=2n-1-12，该点在二次函数y=12（x21）=12x2-12的图象上，小明的猜想正确【深度思考】解：设该点的坐标为（2n-1，n1），M的圆心坐标为（0，12m），(2n-1-0)2+(n-1-12m)2=12m，m=n2n-1=(n-1+1)2n-1=(n-1)2+2(n-1)+1n-1=n1+2+1n-1又m，n均为正整数，n11，m1+2+14，存在所描的点在M上，m的值为424（2022无锡）已知二次函数y=-14x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于

45、点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且CAD90（1）求该二次函数的表达式；（2）若点C与点B重合，求tanCDA的值；（3）点C是否存在其他的位置，使得tanCDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：将点B（0，3）代入y=-14x2+bx+c，可得c3，二次函数y=-14x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），-b2(-14)=1，解得：b=12，二次函数的解析式为y=-14x2+12x+3；（2）如图，过点D作DEx轴于点E，连接BD，CAD90，BAO+DAE90，ADE+DAE90，AD

46、EBAO，BOADEA90，ADEBAO，BOAE=AODE，即BODEOAAE，设D点坐标为（t，-14t2+12t+3），OEt，DE=-14t2+12t+3，AEt1，3（-14t2+12t+3）t1，解得：t=-103（舍去），t4，当t4时，y=-14t2+12t+31，AE3，DE1，在RtADE中，AD=AE2+DE2=10，在RtAOB中，AB=OA2+OB2=10，在RtACD中，tanCDA=ABAD=1；（3）存在，理由如下：如图，与（2）图中RtBAD关于对称轴对称时，tanCDA1，点D的坐标为（4，1），此时，点C的坐标为（2，1），当点C、D关于对称轴对称时，此时

47、AC与AD长度相等，即tanCDA1，当点C在x轴上方时，过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，CAD90，点C、D关于对称轴对称，CAE45，CAE为等腰直角三角形，CEAE，设点C的坐标为（m，-14m2+12m+3），CE=-14m2+12m+3，AE1m，-14m2+12m+31m，解得m3+17（舍去）或m3-17，此时点C的坐标为（3-17，17-2）；当点C在x轴下方时，过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，CAD90，点C、D关于对称轴对称，CAF45，CAF为等腰直角三角形，CFAF，设点C的坐标为（m，-14m2+12m+3），CF=14m2-12m3，AF1m，14m2-12m3

48、1m，解得m1+17（舍去）或m1-17，此时点C的坐标为（1-17，-17-2）；综上，点C的坐标为（2，1）或（3-17，17-2）或（1-17，-17-2）25（2022宿迁）如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将ABC沿BC折叠后，点A落在点A的位置，线段AC与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合（1）求二次函数的表达式；（2）求证：OCDABD；求DBBA的最小值；（3）当SOCD8SABD时，求直线AB与二次函数的交点横坐标【解答】（1）解：二次函数y=12x2+bx+c与x轴交

49、于O（0，0），A（4，0）两点，二次函数的解析式为：y=12（x0）（x4）=12x22x；（2）证明：如图1，由翻折得：OACA，由对称得：OCAC，AOCOAC，COAA，ADBODC，OCDABD；解：OCDABD，OCAB=CDBD，ABAB，BDAB=CDOC，BDAB的最小值就是CDOC的最小值，y=12x22x=12（x2）22，C（2，2），OC22，当CDOA时，CD最小，BDAB的值最小，当CD2时，BDAB的最小值为222=22；（3）解法一：SOCD8SABD，SOCD：SABD8，OCDABD，SOCDSABD=（OCAB）28，OCAB=22，OC22，ABAB1

50、，BF211，如图2，连接AA，过点A作AGOA于G，延长CB交AA于H，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，由翻折得：AACH，AHBBFC90，ABHCBD，BCFBAH，tanBCFtanGAA，BFCF=AGAG=12，设AGa，则AG2a，BG2a1，在RtAGB中，由勾股定理得：BG2+AG2AB2，a2+（2a1）212，a10（舍），a2=45，BG2a1=85-1=35，AGOQ，AGBQOB，AGOQ=BGOB，即45OQ=353，OQ4，Q（0，4），设直线AB的解析式为：ykx+m，m=43k+m=0，解得：k=-43m=4，直线AB的解析式为：y=-43x+4，-43x+

51、4=12x22x，3x24x240，解得：x=22193，直线AB与二次函数的交点横坐标是22193（3）解法二：如图3，过点M作MHOA于H，OCDABD，OCAB=CDBD=ODAD=22，OC22，ABAB1，设BDt，则CD22t，AD22-22t，OD22AD88t，OBOD+BD413，88t+t3，t=57，AD22-1027=427，ABAB，AOAC，ABDABN，ABDABM（ASA），AMAD=427，AHM是等腰直角三角形，AHMH=47，M（247，-47），易得BM的解析式为：y=-43x+4，-43x+4=12x22x，解得：3x24x240，解得：x=22193

52、，直线AB与二次函数的交点横坐标是2219326（2022亭湖区校级一模）【感受新知】已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“关联正方形”，例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数yx+1图象的其中一个“关联正方形”（1）求一次函数yx+1图象的所有“关联正方形”的边长；（2）若反比例函数的图象与一次函数图象有一个相同的“关联正方形”，则称此反比例函数为一次函数的“关联反比例函数”，一次函数yx+1是否存在“关联反比例函数”，若存在，求出反比例函数表达式，若不存在，请说明理由；

53、【灵活运用】（3）如图2，若某函数是反比例函数y=kx（k0），它的图象的“关联正方形”为ABCD，点D（2，m）（m2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；【深度探究】（4）如图3，若某函数是二次函数yax2+c（a0），它的图象的“关联正方形”为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式【解答】解：（1）一次函数yx+1，直线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，1），（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：正方形ABCD的边长为2（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：设正方形边长为a，则BC+OBOC1，即2a+2

54、2a1，解得：a=23，此时正方形的边长为23所求“伴侣正方形”的边长为2或23；（2）由（1）知，见上图，点A的坐标为（0，13），则点A向左向上平移13个单位得到点D，则点D（-13，23），设关联反比例函数的表达式为：y=kx，则k=-1323=-29，当C、D在坐标轴上时，不存在反比例函数；故反比例函数的表达式为：y=-29x；（3）存在，理由：如图，作DEx轴，CFy轴，垂足分别为点E、F，FBC+FCB90，FBC+ABO90，FCBABO，FBCOAB90，FBCOAB（AAS）同理可得：ADEBAOCBF（AAS）点D的坐标为（2，m），m2，DEOABFm，OBAECF2mO

55、FBF+OB2，点C的坐标为（2m，2）2m2（2m），解得m1反比例函数的解析式为y=2x；（4）当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，当点C（3，4）时，过点C作CMy轴于点M，过点D作DNx轴于点N，交MC于点G，由（2）知，MCGDa，CGDNb，由上图可知，a3且a+b4，则b1，即点D（4，1），将点C、D的坐标代入抛物线表达式得：16a+c=19a+c=4，解得：a=-37c=557，故抛物线的表达式为：y=-37x2+557；当点D坐标为（3，4）时，不存在；当点A在x轴的正半轴、点B在y轴的负半轴时，同理可得，点D的坐标为（3，4），则点C（1，3），同理可得：抛物线的表

56、达式为：y=18x2+238；当点A在x轴的负半轴、B在y轴的正半轴时，则当点C（3，4）时，点D（7，3），同理可得，抛物线的表达式为：y=-740x2+22340；当点A在x轴的负半轴、B在y轴的负半轴时，点C（3，4）时，点D（4，7），同理可得，抛物线的表达式为：y=37x2+17；综上，抛物线的表达式为：y=-37x2+557或y=18x2+238或y=-740x2+22340或y=37x2+1727（2022亭湖区校级二模）如图，抛物线yax2+bx+c经过点A（2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC2OA，抛物线的顶点为D，直线ymx+n经过B，C两点，与对称轴交于

57、点E（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）点M是直线BC上方抛物线上的动点，连接MB，ME，得到MBE，求出MBE面积的最大值及此时点M的坐标；（3）直线ykx（k0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与CDE相似，求k的值；（4）点N在对称轴上，满足BNCABC，求出点N的坐标【解答】解：（1）A（2，0），AO2，OC2OA，OC4，C（0，4），将点A（2，0），B（4，0），C（0，4）代入yax2+bx+c，4a-2b+c=016a+4b+c=0c=4，解得a=-12b=1c=4，y=-12x2+x+4；直线BC的解析式为ymx+n，4m+n=0n=4，解得m=-

58、1n=4，直线BC的解析式为yx+4；（2）y=-12x2+x+4=-12（x1）2+92，D（1，92），E（1，3），过点M作MNy轴交BC于点N，设M（t，-12t2+t+4），则N（t，t+4），MN=-12t2+t+4+t4=-12t2+2t，SMBE=123（-12t2+2t）=-34（t2）2+3，当t2时，MBE的面积有最大值3，此时M（2，4）；（3）D（1，92），E（1，3），C（0，4），CD=52，CE=2，DE=32，设H（s，s+4），OBE45，CEDBOC，当CEDOBH时，CEOB=CDOH，24=52OH，OH=10，s2+（s4）210，解得s1或s3，

59、H（1，3）或（3，1），H点在ykx上，k3或k=13；当CEDHBO时，CDHO=EDBO，52HO=324，解得HO=453，s2+（s4）2=809，解得s=43或s=83，H（43，83）或（83，43），k2或k=12；综上所述：k的值为3或13或2或12；（4）ABC45，BNCABC，BNC45，BOC90，作BOC的外接圆，直径为BC，圆心为G（2，2），N点为圆G与直线x1的交点，BC42，NG22，设N（1，p），1+(2-p)2=22，解得p=7+2或p=-7+2，N（1，7+2）或（1，-7+2）28（2022江都区校级三模）孔子曰：温故而知新，可以为师矣根据艾宾浩斯

60、遗忘曲线，小苏同学发现对所学知识点进行复习回顾，学习效果会更好某一天他利用30分钟时间进行自主学习假设他用于学习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于复习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）（1）求该同学的学习收益量y与用于学习的时间x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）求该同学的学习收益量y与用于复习的时间x之间的函数关系式；（3）该同学应如何分配学习和复习的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）【解答】解：（1）由图象可知，学习收益量

61、y与用于学习的时间x之间的函数为正比例函数，直线过点（2，4），设ykx，把（2，4）代入，42k，解得：k2，y2x；他利用30分钟时间进行自主学习，图乙的时间为：0x15，自变量x的取值范围是：15x30；（2）由图象可知：当0x5时，图象为抛物线，过原点，顶点坐标为：A（5，25），设ya（x5）2+25，把（0，0）代入，得25a+250，解得：a1，y（x5）2+25x2+10x，当5x15时，y25，y=-x2+10x(0x5)25(5x15)；（3）设该同学用于复习的时间为x（0x15）分钟，学习收益总量为z，则他用于学习的时间为（30x）分钟，当0x5时，zx2+10x+2（3

62、0x）x2+8x+60（x4）2+76，当x4时，学习收益总量最大，z76，当5x15时，z25+2（30x）2x+85，z随x的增大而减小，当x5时，学习收益总量最大，z75，综合所述，当x4时，学习收益总量最大，z76，此时学习时间为：30426（分钟），即该学生用于学习的的时间为26分钟，用于复习的时间为4分钟时，学习收益总量最大29（2022建湖县三模）我们规定：关于x的反比例函数y=a+bx称为一次函数yax+b的“次生函数”，关于x的二次函数yax2+bx（a+b）称为一次函数yax+b的“再生函数”（1）按此规定：一次函数yx4的“次生函数”为：y=-3x，“再生函数”为：yx2

63、4x+3；（2）若关于x的一次函数yx+b的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；（3）若一次函数yax+b与其“次生函数”交于点（1，2）、(4，-12)两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C若点D（1，3），求CBD的正切值；若点E在直线x1上，且在x轴的下方，当CBE45时，求点E的坐标【解答】解：（1）一次函数yx4中，a1，b4，一次函数yx4的“次生函数”为：y=1-4x=-3x，“再生函数”为：yx24x（14）x24x+3，故答案为：y=-3x，yx24x+3；（2）解：一次函数yx+b的“再生函数”为：yx2+bx（1+b），顶点在x轴

64、上，b24（1+b）0，解得：b2，yx22x+1（x1）2，顶点坐标为（1，0）；（3）一次函数yax+b与其“次生函数”交于点（1，2）、(4，-12)，a+b=-24a+b=-12，解得：a=12b=-52，其“再生函数”为：y=12x2-52x-(12-52)=12x2-52x+2，当y0时，12x2-52x+2=0，解得：x11，x24，A（1，0），B（4，0），如图1，当x0时，y2，C（0，2），D（1，3），CD212+（32）22，BD2（41）2+3218，BC242+2220，CD2+BD2BC2，CDB90，tanCBD=CDBD=232=13；如图2，过点C作CFB

65、C于C，交BE的延长线于F，过点F作FMy轴，过点C作MNx轴，过点B作BNMN于N，CBF45，CBF是等腰直角三角形，BCCF，BCN+FCMFCM+CFM，BCNCFM，NM90，BNCCMF（AAS），BNCM2，CNFM4，F（2，2），B（4，0），设直线BF的解析式为：ykx+n，4k+n=0-2k+n=-2，解得：k=13n=-43，BF的解析式：y=13x-43，点E在直线x1上，点E的横坐标为1，当x1时，y1，E（1，1）30（2022亭湖区校级一模）如图，已知抛物线yax2+bx3与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的顶点为D过点D作DEx

66、轴，垂足为EP为线段DE上一动点，F（m，0）为x轴上一点，且PCPF（1）求抛物线的解析式；（2）当点P与点D重合时，求m的值；在的条件下，将COF绕原点按逆时针方向旋转90并平移，得到C1O1F1，点C，O，F的对应点分别是点C1，O1，F1，若COF的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点F1的坐标；（3）当点P在线段DE上运动时，求m的变化范围【解答】解：（1）将A（2，0）、B（6，0）代入抛物线解析式yax2+bx3中得：4a-2b-3=036a+6b-3=0，解得：a=14b=-1，该抛物线的解析式为：y=14x2x3；（2）D为抛物线的顶点，D（2，4），当点P与点D重合时，如图

67、所示：过点D作GDx轴，过F点作y轴平行线交GD延长线于点H，由题意易得：CG1，GD2，FH4，而PCPF，即CDF90，CGDDHF90，CDGDFH，CGDDHF，CGDH=GDHF即，1DH=24，DH2，而四边形EDFH为矩形，EFDH2，OF4，即F（4，0），m4；按题意，将COF绕原点按逆时针方向旋转90得到COF，如图所示：显然此时C、O、F三点都不在抛物线上，故需要将COF平移才能得到两个顶点恰好落在抛物线上，根据C、O、F三点特点，可设：O1（x，y），则C1（x+3，y），F1（x，y+4），当O1C1经平移后在抛物线上，把O1（x，y），C1（x+3，y）代入y=14

68、x2x3中：y=14x2-x-3y=14(x+3)2-(x+3)-3，解得：x=12，故F1（12，916），当F1C1经平移后在抛物线上，把F1（x，y+4），C1（x+3，y）代入y=14x2x3中：y+4=14x2-x-3y=14(x+3)2-(x+3)-3，解得：x=-136，故F1（-136，49144），当O1F1经平移后在抛物线上，因为O1、F1在竖直方向，故不成立综上所述：F1（12，916）或（-136，49144），（3）D（2，4），E（2，0），C（0，3），点P为线段DE上一动点，F（m，0）为x轴上一点，且PCPF，如（2）中当点P与点D重合时，m4，取得最大，随着

69、P向E移动，m随之变化，设存在一点P使m最小，如图所示：设OFm，则FE2m；设EPy，则PQ3y，根据FEPPQC得：FEPQ=EPQC即：2-m3-y=y2，可得关系式：m=12（y-32）2+78，120，当y=32时，m取得最小值78，综上所述：78m431（2022泉山区校级三模）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品（销量产量），年销量不超过30万件年销量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（计入成本），P与x之间的函数关系如图所示，AB是一条线段，BC是抛物线P=14x

70、2-4x+m的一部分（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式ykx+b，把x5时，y30，x15时，y10代入，得5k+b=3015k+b=10，解得：k=-2b=40，y与x之间的函数关系式y2x+40（5z15）；（2）由题意知，当5x10时，P60，W（x5）yP（x5）（2x+40）602x2+50x262（x-252）2+1052，20，5x10，在5x10内，W随x的增大而增大，当x10时，W增大，最大值为40；当10x15时，P=14x24x+m把x10时，P60代入P=14x24x+m得，60=14102410+m，解得：m75，P=14x24x+75，W（x5）yP（x5）（2x+40）（14x24x+75）=-94x2+54x275=-94（x12）2+49，-940，10x15，当x12时，W有最大值，最大值为49；综上可得：当x12时，年利润W最大，最大值为49