2023年江苏省扬州市中考数学专题练——6三角形.docx

1、2023年江苏省扬州市中考数学专题练6三角形一选择题（共8小题）1（2022江都区校级三模）如图，在95的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是ABC的平分线，则BD的长为（）A102B10C3102D3102（2022扬州三模）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若ADEAED，AD=25，则ADE的面积为（）A6B5C25D2103（2022邗江区一模）如图，在ABC中，点D在BC边上，BD：CD1：2，点E是AD中点，连接BE并延长与AC交于点F，若SABC1

2、2，则BCF的面积等于（）A4B8C9D104（2022高邮市模拟）若一个等腰三角形的周长为32，则该等腰三角形的腰长x的取值范围是（）A0x32B0x16C8x16D8x325（2022高邮市模拟）如图，已知点M、N是RtABC的斜边AB的三等分点，ACBC6，点P是折线ACB上的一个动点，连接PM、PN，若PM+PN7，则满足条件的点P的个数是（）A1个B2个C3个D4个6（2022广陵区一模）如图，ABC中，ABAC，BDCE，BECF，若A50，则DEF的度数是（）A75B70C65D607（2021高邮市二模）如图，在ABC中，ACB90，CACB12，延长线段BC至点D使CD4，连

3、接AD若点P是线段BC上一个动点，过点P作PQAD交AB于点Q，连接AP，则当APQ的面积最大时，BP的长度为（）A6B7C8D98（2021江都区校级模拟）下列说法错误的是（）A定义反映出事物的本质属性既可以做性质，也可以做判定B证明两个等边三角形全等，具需证明一边相等即可C有一个角是45的等腰三角形是等腰直角三角形D在放大镜下，一个字可以变大，一条线段可以变长，但是一个角的大小是不变的二填空题（共8小题）9（2022高邮市模拟）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在作业本一条横线l1上，另两点分别落在另两条横线l2，l3上，若l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，斜边与l3所夹的锐

4、角为，则tan的值为 10（2022江都区二模）在ABC中，AC3，BC4，若C是锐角，那么AB长的取值范围是 11（2022江都区二模）如图，ABAC3，ADBC，CD5，ABD2DBC，则BD 12（2022广陵区一模）如图，ABC中，C90，AD平分CAB交BC于点D，DEAB于点E，如果AC6cm，BC8cm，则DE的长为 cm13（2022江都区一模）如图，在RtABC中，ACB90，M是AB的中点，E、F分别为MB、BC的中点，若EF3，则AB 14（2021仪征市校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，则BAC+CDE （点A，B，C，D，E是网格线交点）15（2022宝应县一模）

5、如果三角形的两边长分别是3和5，那么它的第三边x的取值范围是 16（2022宝应县一模）如图RtABC中，C90，AB10，AC8，E是AC上一点，AE5，EDAB，垂足为D，则AD的长为 三解答题（共11小题）17（2022邗江区二模）如图1，RtABC中，A90，B45，ACB的角平分线交边AB于D点，BD=2，（1）请求出AC的长；（2）如图2，E为CD上的一个动点，AEEF，ACCF，EF交AC于G点，连接AF，当E点在CD间运动时，请判断EFAE的值是否为一个定值，如果是请求出具体的值，不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AEEC，请求出EGC的面积18（2022扬州三模）如

6、图，ABC和DEC都为等腰三角形，ABAC，DEDC，BACEDCn（1）当n60时，如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系： ；如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）当n90时，如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；当BEAC，AB62，AD2时，请直接写出DC的长19（2022江都区二模）清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”（1）按照这个法则，写出2组不同的勾股数 ， （最大数不超过18）（2

7、）用等式表示这三个勾股数的数量关系并证明20（2022仪征市二模）在ABC中，A、B、C所对的边记为a、b、c（1）如图1，若C2B，请用无刻度的直尺和圆规在线段AB上作一点D，使得ACD的周长为b+c（请保留作图的相关痕迹）；试求证：c2b2ab；（2）如图2，若ABD2ACE，试求证：c2b2ac21（2022扬州一模）在ADDC，AEFDEB，E是AD的中点这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解决问题如图在ABC中，BAC90，D是BC的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F（1）求证：AEFDEB；（2）若AC3，AB4，求四边形ADCF的面积22（2022扬州三模）如图，四边

8、形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AECF，DFBE（1）求证：BOEDOF；（2）若OD=12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论23（2022扬州模拟）如图，在ABC中，点D是AC的中点，DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F，说明ADE与DCF全等的理由24（2021高邮市二模）如图，CD是ABC的高，CD8，AD4，BD3，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），PEAB于点E，DFDE，FQAB于点F，交AC于点Q，连接QE（1）若点P是BC的中点，则QE ；（2）在点P的运动过程中，EF+FQ的值为 ；当点P运动到何处时，线段QE最

9、小？最小值是多少？当AQE是等腰三角形时，求BE的长25（2021宝应县二模）在ABC中，A90，AB8cm，AC6cm，点D、点E同时从点A出发，点D沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点E从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动（点D不与A、B重合，点E不与A、C重合），设运动时间为ts（1）求证：ADEABC；（2）当t为何值时，以DE为直径的O与直线BC相切？（3）把ADE沿直线DE折叠得到DEF，若DEF与梯形BCED重叠部分的面积为s，试求s关于t的函数表达式，并求t为何值时，s的值最大，最大值是多少？26（2021邗江区二模）如图1，已知ABC中，AB10cm，AC8c

10、m，BC6cm如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为acm/s（当P、Q两个点中有一个点到达终点时，即停止）连接PQ，设P的运动的时间为t（单位：s）设CQy，运动时间为（s），y与t的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）a的值 ；当t 时，PQBC；（2）设AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某一时刻使得AQP为等腰三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由（4）如图3，连接BQ、CP交于点E，求当CPQCBQ时，t的值27（2021宝应县一模）如图，在ABC中，A

11、BAC，BC8，tanC=34，点M、N分别在AB、BC上，且AMCN2点P从点M出发沿折线MBBN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQB（1）求点P在BN上运动时，点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）求整个运动过程点Q运动的路径长2023年江苏省扬州市中考数学专题练6三角形参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1（2022江都区校级三模）如图，在95的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是ABC的平分线，则BD的长为（）A102B10C3102D310【解答】解：

12、由题意可得，BC=32+42=5，AB5，AC=32+92=310，ABBC，BD是ABC的平分线，BDAC，ADCD=12AC=3210，BD=AB2-AD2=52-(3210)2=102，故选：A2（2022扬州三模）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若ADEAED，AD=25，则ADE的面积为（）A6B5C25D210【解答】解：如图：ADEAED，ADAEAB，AEFABF，AFBE，EFBF=12BE，GEAH，GEMHAM，MGEMHA，GEMHAM（ASA），SHAMSGEM，

13、SADESADH+SDGE，AD25，DH2AH，AD2DH2+AH2，AH2，DH4，DGGE2，SADE=1224+1222=6，故选：A3（2022邗江区一模）如图，在ABC中，点D在BC边上，BD：CD1：2，点E是AD中点，连接BE并延长与AC交于点F，若SABC12，则BCF的面积等于（）A4B8C9D10【解答】解：过D点作DGAC，交BF于点G，BGGF=BDDC=12，EDGEAF，DEAE，DEGAEF，DEGAEF（ASA），EGEF，BGEGEF，SABC12，BD：CD1：2，SABD=13SABC=4，E是AD的中点，SABE=SBDE=12SABD=2，SABF=

14、32SABE=3，SBCFSABCSABF1239故选：C4（2022高邮市模拟）若一个等腰三角形的周长为32，则该等腰三角形的腰长x的取值范围是（）A0x32B0x16C8x16D8x32【解答】解：腰长为x，且等腰三角形的周长为32，底边为322x，并且322x0，得x16，又x+x322x，解得x8，x的取值范围是8x16故选：C5（2022高邮市模拟）如图，已知点M、N是RtABC的斜边AB的三等分点，ACBC6，点P是折线ACB上的一个动点，连接PM、PN，若PM+PN7，则满足条件的点P的个数是（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：作点M关于AC的对称点M，连接MN交AC与点P，

15、连接AM，MM，连接AM，AMMAMM45，MAM90，ACB90，ACBC6，BAC45，AB62，点M、N是RtABC的斜边AB的三等分点，AMMNBN22，AM22，AN42，PM+PNMN=AM2+AN2=407，PM+PN的最小值40，当点P与A重合时，AM+AN22+42=62=727，当点P与C重合时，作CDAB于D，连接CM，CN，在ACM和BCN中，AM=BNCAM=CBNAC=BC，ACMBCN（SAS），CNCM，CDAB，MDND=12MN=2，CD=12AB32，CMCN=(32)2+(2)2=20=25，CM+CN25+25=45=807，在AC上，有两个点P符合条

16、件，由对称性可知，在BC上，有两个点P符合条件，满足条件的点P的个数是4，故选：D6（2022广陵区一模）如图，ABC中，ABAC，BDCE，BECF，若A50，则DEF的度数是（）A75B70C65D60【解答】解：ABAC，BC，在DBE和ECF中，BD=ECB=CEB=CF，DBEECF（SAS），EFCDEB，A50，C（18050）265，CFE+FEC18065115，DEB+FEC115，DEF18011565，故选：C7（2021高邮市二模）如图，在ABC中，ACB90，CACB12，延长线段BC至点D使CD4，连接AD若点P是线段BC上一个动点，过点P作PQAD交AB于点Q，

17、连接AP，则当APQ的面积最大时，BP的长度为（）A6B7C8D9【解答】解：以C点为坐标原点，AC为x轴，BC为y轴，建立平面直角坐标系，则A点的坐标为（12，0），B点的坐标为（0，12），D点的坐标为（0，4）直线AB的解析式为yx+12，设直线AD的解析式为ykx+b，12k+b=0b=-4，解得k=13b=-4，直线AD的解析式为y=13x4，PQAD，可设直线PQ的解析式为y=13x+m，则P（0，m）（0m12），联立得y=-x+12y=13x+m，解得：x=34（12m），Q34（12m），13x+m，SAPQSABCSBPQSACP=121212-12（12m）34（12m）

18、-1212m=-38（m4）2+24，m4时，APQ的面积最大，BP1248解法二：如图，ACB90，CACB12，CD4，BDCB+CD16，SABD=12BDAC=12161296，设BPx，PQAD，BPQBDA，SBPQSBDA=(BPBD)2，即SBPQ96=x2162，SBPQ=3x28，SABP=12BPAC6x，SAPQSABPSBPQ6x-3x28=-38（x8）2+24，当x8，即BP8时，APQ的面积最大故选：C8（2021江都区校级模拟）下列说法错误的是（）A定义反映出事物的本质属性既可以做性质，也可以做判定B证明两个等边三角形全等，具需证明一边相等即可C有一个角是45

19、的等腰三角形是等腰直角三角形D在放大镜下，一个字可以变大，一条线段可以变长，但是一个角的大小是不变的【解答】解：A、定义反映出事物的本质属性既可以做性质，也可以做判定，是真命题；B、证明两个等边三角形全等，具需证明一边相等即可，是真命题；C、有一个角是45的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，若45是顶角，原命题是假命题；D、在放大镜下，一个字可以变大，一条线段可以变长，但是一个角的大小是不变，是真命题；故选：C二填空题（共8小题）9（2022高邮市模拟）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在作业本一条横线l1上，另两点分别落在另两条横线l2，l3上，若l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相

20、等，斜边与l3所夹的锐角为，则tan的值为 13【解答】解：如图1所示，过点A作l1 的垂线，垂足为D，过点C作l1、l3的垂线，垂足为E、F，设l1、l2之间的距离为a，则l2与l3之间的距离也为a，ABC90，DBA+EBC90，DBA+DAB90，EBCDAB，ADBBEC，ABBC，ADBBEC（AAS），ADBE2a，DBECa，AFDE3a，CFa，tan=13故答案为：1310（2022江都区二模）在ABC中，AC3，BC4，若C是锐角，那么AB长的取值范围是 1AB5【解答】解：由三角形的性质得：BCACABAC+BC（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），即：43

21、AB4+3，1AB7C为锐角，AB边最长为5，1AB5，故答案为：1AB511（2022江都区二模）如图，ABAC3，ADBC，CD5，ABD2DBC，则BD25+3【解答】解：如图，延长BA至F，使AFAB，过点F作FEBD于点E，连接AE，设DBC，FEBD，FEB90，又ABAF3，ABAEAF3，ABEAEB2，又ADBC，DBCADB，EADBEABDA，AEDE3，ADBC，FADABCABD+DBC3，ABAC，ABCACBCAD3，FADCAD，ADAD，AFAC，FADCAD（SAS），DFCD5，EF2DF2DE2523216，在RtBEF中，BE=BF2-EF2=62-1

22、6=25，BDBE+DE=25+3故答案为：25+312（2022广陵区一模）如图，ABC中，C90，AD平分CAB交BC于点D，DEAB于点E，如果AC6cm，BC8cm，则DE的长为 3cm【解答】解：AD平分CAB交BC于点D，DEAB于点E，C90，CDDE，ACAE，AC6cm，BC8cm，AB=AC2+BC2=10cm，BEABAE10AC1064，设DEx，则CDx，BD8x，在RtDEB中，BD2DE2+BE2，（8x）2x2+42，xDE3cm故答案为：313（2022江都区一模）如图，在RtABC中，ACB90，M是AB的中点，E、F分别为MB、BC的中点，若EF3，则AB

23、12【解答】解：E、F分别为MB、BC的中点，EF是MBC的中位线，CM2EF6，在RtABC中，ACB90，CM是斜边AB上的中线，AB2CM12，故答案为：1214（2021仪征市校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，则BAC+CDE45（点A，B，C，D，E是网格线交点）【解答】解：设小正方形的边长是1，连接AD，AD=32+12=10，CD=12+32=10，AC=42+22=20，ADCD，AD2+CD2AC2，ADC90，即ADC是等腰直角三角形，DACDCA45，ABDE，BAC+DAC+CDE180，BAC+CDE45，故答案为：4515（2022宝应县一模）如果三角形的两边长

24、分别是3和5，那么它的第三边x的取值范围是2x8【解答】解：由题意得：53x5+3，即：2x8，故答案为：2x816（2022宝应县一模）如图RtABC中，C90，AB10，AC8，E是AC上一点，AE5，EDAB，垂足为D，则AD的长为4【解答】解：EDAB，ADE90C，AA，ADEACB，ADAC=AEAB，即AD8=510，解得：AD4故答案为：4三解答题（共11小题）17（2022邗江区二模）如图1，RtABC中，A90，B45，ACB的角平分线交边AB于D点，BD=2，（1）请求出AC的长；（2）如图2，E为CD上的一个动点，AEEF，ACCF，EF交AC于G点，连接AF，当E点在

25、CD间运动时，请判断EFAE的值是否为一个定值，如果是请求出具体的值，不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AEEC，请求出EGC的面积【解答】解：（1）如图，作DMBC于M，CD平分ACB，DAC90，ADDM，BD=2，B45，DMBM1，ADDM1，又A90，B45，ACAB=2+1；（2）EFAE的值是一个定值，理由如下：如图2，取AF的中点为N，连接EN，CN，AEFACF90，ENCNANNF，A、E、C、F四点共圆，AFEACD，又DACAEF90，AEFDAC，EFAE=ACAD=2+1；（3）由第（2）问可知A、E、C、F四点共圆，EACCFE，AEEC，EACACE，

26、AFEACE，AFEEFC，CD平分ACB，且ACB45，ACD22.5，AFEEFC22.5，AFC45，CFAC=2+1，又tanEFCtanAFE，CGCF=AEEF，CFCG=EFAE=2+1，CG1，AG=2，EACACE，EAC+DAEACE+ADC90，ADEDAE，AEDEEC，SAEC=12SADC=12121（2+1）=2+14，SEGCSAEC=12+1，SGEC=2+1412+1=1418（2022扬州三模）如图，ABC和DEC都为等腰三角形，ABAC，DEDC，BACEDCn（1）当n60时，如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：BEAD；如图2，

27、当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）当n90时，如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；当BEAC，AB62，AD2时，请直接写出DC的长【解答】解：（1）当n60时，ABC和DEC均为等边三角形，BCAC，ECDC，BEBCEC，ADACDC，BEAD，故答案为：BEAD；BEAD，理由如下：当点D不在AC上时，ACBACD+DCB60，DCEBCE+DCB60，ACDBCE，在ACD和BCE中，AC=BCACD=BCEDC=EC，ACDBCE（SAS），ADBE；（2）BE=2AD，理由如下：当n90时，在等腰直角三角形DEC中：DCEC=sin4

28、5=22，在等腰直角三角形ABC中：ACBC=sin45=22，ACBACE+ECB45，DCEACE+DCA45，ECBDCA在DCA和ECB中，DCEC=ACBC=22DCA=ECB，DCAECB，ADBE=22，BE=2AD，当点D在ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图所示：AB62，AD2，由上可知：ACAB62，BE=2AD=22，BEAC，EBFCAF90，而EFBCFA，EFBCFA，EFCF=BFAF=BEAC=2262=13，AF3BF，而ABBF+AF62，BF=1462=322，在RtEBF中：EF=BE2+BF2=522，CF3EF3522=1522，ECEF+CF

29、102（或EC4EF102），在等腰直角三角形DEC中，DCECcos4510222=10当点D在ABC内部时，过点D作DHAC于H，ABAC62，AD2，DAC45AHDH=2，CHACAH52，CD=DH2+CH2=213，综上所述，满足条件的CD的值为10或21319（2022江都区二模）清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”（1）按照这个法则，写出2组不同的勾股数 3，4，5，6，8，10（最大数不超过18）（2）用等式表示这三个勾股数的数量关系并证明【解答

30、】解：（1）当k4时，这一组勾股数是3，4，5；当k6时，这一组勾股数是6，8，10故答案为：3，4，5；6，8，10；（2）当k大于2时，k2+（12k）212（12k）2+12证明：左边k2+（12k）212k2+14k212k2+116k4+1-12k2=116k4+12k2+1；右边（12k）2+1214k2+12=116k4+12k2+1左边右边，等式成立20（2022仪征市二模）在ABC中，A、B、C所对的边记为a、b、c（1）如图1，若C2B，请用无刻度的直尺和圆规在线段AB上作一点D，使得ACD的周长为b+c（请保留作图的相关痕迹）；试求证：c2b2ab；（2）如图2，若ABD

31、2ACE，试求证：c2b2ac【解答】（1）解：如图1，点D即为所求；证明：DF是BC的垂直平分线，CDBD，BBCD，ADCB+BCD2B，ACB2B，ACBADC，AA，ADCACB，ACAB=ADAC=CDBC，ACb，ABc，BCa，bc=ADb=c-ADa，b2ADc，abc2ADc，b2c2ab，c2b2ab；（2）证明：如图2，在DE上取一点F，使BABF，连接AF，BAFAFB，ABD2ACE，ABDBAF+AFB2AFB，ACEAFB，ACAFb，AFCACFBAF，ACFBAF，ACAB=CFAF，即bc=c-ab，b2c2ac，c2b2ac21（2022扬州一模）在ADD

32、C，AEFDEB，E是AD的中点这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解决问题如图在ABC中，BAC90，D是BC的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F（1）求证：AEFDEB；（2）若AC3，AB4，求四边形ADCF的面积【解答】解：选择条件（1）证明：E是AD的中点，AEDE，AFBC，EAFEDB，EFAEBD，在AEF和DEB中，EAF=EDBEFA=EBDAE=DE，AEFDEB（AAS）；（2）AEFDEB（AAS）；AFDB，BAC90，D是BC的中点，ADDCBD，AFDC，AFBC，四边形ADCF是菱形，四边形ADCF的面积2ADC的面积，D是BC的中点，ABC的面积

33、2ADC的面积，AC3，AB4，四边形ADCF的面积ABC的面积=1234=622（2022扬州三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AECF，DFBE（1）求证：BOEDOF；（2）若OD=12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论【解答】（1）证明：DFBE，FDOEBO，DFOBEO，O为AC的中点，OAOC，AECF，OAAEOCCF，即OEOF，在BOE和DOF中，FDO=EBODFO=BEOOE=OF，BOEDOF（AAS）；（2）若OD=12AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：证明：BOEDOF，OBOD，OD=12AC，OA

34、OBOCOD，四边形ABCD是平行四边形，BDAC，平行四边形ABCD为矩形23（2022扬州模拟）如图，在ABC中，点D是AC的中点，DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F，说明ADE与DCF全等的理由【解答】证明：点D是AC的中点，ADDC，DEBC，ADEDCF，DFCEDF，DFAB，AEDEDF，AEDDFC，在ADE和DCF中，ADE=DCFAED=DFCAD=DC，ADEDCF24（2021高邮市二模）如图，CD是ABC的高，CD8，AD4，BD3，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），PEAB于点E，DFDE，FQAB于点F，交AC于点Q，连接QE（1）若点P是BC的

35、中点，则QE34；（2）在点P的运动过程中，EF+FQ的值为 8；当点P运动到何处时，线段QE最小？最小值是多少？当AQE是等腰三角形时，求BE的长【解答】解：（1）如图1，设DGa，CDAB，PEAB，QFAB，QFCDEF，DEDF，EGQG，DG是EFQ的中位线，QF2a，tanBAC=AFFQ=ADCD，即AF2a=48，AFa，DFDE4a，BD3，BE3（4a）a1，PECD，BPPC，BEED，a14a，a=52，FQ2a5，EF2（4a）82a853，EQ=32+52=34；故答案为：34；（2）如图2，过点Q作QHCD于H，FQAB，CDAB，QFDFDHQHD90，四边形F

36、DHQ为矩形，DFQHDE，FQDH，tanACD=ADCD=QHCH=48=12，CH2QHEF，EF+FQDH+CH8：故答案为：8；由得：EF+FQ8，设EFx，则FQ8x，EQ=x2+(8-x)2=2x2-16x+64=2(x-4)2+32，当x4时，EQ取最小值为32=42，此时，DEDF2，BE321，PECD，BEED=BPPC=12，RtBDC中，由勾股定理得：BC=32+82=73，PB=733，当PB=733时，线段QE最小，最小值是42；设DEm，BE3m，DFm（0m3），AE4+m，AF4m，FQ82m，AC=42+82=16+64=45，AQ=5（4m），当AEQ为

37、等腰三角形时，存在以下三种情况：i）AQAE，则4+m=5（4m），解得：m625，BE3（625）25-3；ii）AQQE，QFAE，AFEF，4m2m，m=43，BE3-43=53；iii）AEEQ，则4+m=(2m)2+(8-2m)2，7m240m+480，解得：m14（舍），m2=127，BE3-127=97；综上所述，BE的长为25-3或53或9725（2021宝应县二模）在ABC中，A90，AB8cm，AC6cm，点D、点E同时从点A出发，点D沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点E从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动（点D不与A、B重合，点E不与A、C重合），设运动

38、时间为ts（1）求证：ADEABC；（2）当t为何值时，以DE为直径的O与直线BC相切？（3）把ADE沿直线DE折叠得到DEF，若DEF与梯形BCED重叠部分的面积为s，试求s关于t的函数表达式，并求t为何值时，s的值最大，最大值是多少？【解答】（1）证明：根据题意可知AD4t （cm），AE3t （cm），AB8cm，AC6cm，ADAB=4t8=t2，AEAC=3t6=t2，在ADE和ABC中，DAEBAC，ADAB=AEAC，ADEABC（2）根据题意在RtABC中，BC=AB2+AC2=10cm，在RtADE中，DE=AD2+AE2=5tcm，由题意O以DE为直径，O的半径r=12DE

39、=5t2 cm，设ADE中DE边上的高和ABC中BC边上的高分别为h1（cm）、h2（cm），则：SADE=12ADAE=12DEh1，解得h1=12t5 cm，SABC=12ABAC=12BCh2，解得h2=245cm，O与直线BC相切，rh2h1，即5t2=245-12t5，解得t=4849s（3）由题意可知当点P落在直线BC上时，D、E分别是AB、AC的中点，此时t1s，故需分两种情况讨论：当0t1时，重叠部分面积sSPDESADE=124t3t=6t2，当t1s时，重叠部分的面积面积最大为s6；当1t2时，如下图所示，DP、EP分别交直线BC于点M、点N，由（1）可知BADE，AD4t

40、，DEBC，EDMBMD，ADEEDM，BBMD，DBDMABAD84t，PDAD4t，PMPDDM4t（84t）8t8，DEMN，PMNPDE，SPMNSPDE=(PMPD)2=(8t-84t)2，SPDESADE=124t3t=6t2，SPMN6t2(8t-84t)2，重叠部分面积sSPDESPMN6t26t2(8t-84t)2=-18（t-43）2+8，当t=43时，重叠部分面积最大为8；综上所述：当0t1时，s6t2，当1t2时，s18（t-43）2+8，当t=43时，重叠部分面积最大，最大值为826（2021邗江区二模）如图1，已知ABC中，AB10cm，AC8cm，BC6cm如果点

41、P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为acm/s（当P、Q两个点中有一个点到达终点时，即停止）连接PQ，设P的运动的时间为t（单位：s）设CQy，运动时间为（s），y与t的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）a的值 2；当t209时，PQBC；（2）设AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某一时刻使得AQP为等腰三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由（4）如图3，连接BQ、CP交于点E，求当CPQCBQ时，t的值【解答】解：（1）由题意yCQ8at，当t2时，y4，482

42、a，a2，当PQBC时，AP：ABAQ：AC，10-2t10=2t8，t=209，故答案为：2，209（2）如图1中，过点P作PHAC于HAB10，BC6，AC8，AB2BC2+AC2，C90，AHPC90，PHBC，PHBC=APAB，PH6=10-2t10，PH=35（102t），S=122t35（102t）=-65t2+6t=-65（t-52）2+152，-650，0t4，t=52时，S有最大值，最大值为152（3）如图41中，当AQPQ时，过点Q作QTAP于TQAQP，QTAP，ATPT，cosA=ATAQ=4512(10-2t)2t=45，t=2513当APAQ时，102t2t，t=

43、52，如图42中，当PAPQ时，过点P作PJAQ于J，则AJJQ由cosA=AJAP=45，可得t10-2t=45，t=4013，综上所述，满足条件的t的值为2513或52或4013（4）如图3中，CPQCBQ，PEQBEC，PEQBEC，EPEB=EQEC，EPEQ=EBEC，PEBQEC，PEBQEC，EPBCQE，CBQ+CQB90，BPQCPQ+BPE90，cosA=APAQ=45，10-2t2t=45，t=259，当CPQCBQ时，t的值为25927（2021宝应县一模）如图，在ABC中，ABAC，BC8，tanC=34，点M、N分别在AB、BC上，且AMCN2点P从点M出发沿折线M

44、BBN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQB（1）求点P在BN上运动时，点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）求整个运动过程点Q运动的路径长【解答】解：（1）如图1，点P在BN上运动时，当APBC时，点P与点A有最短距离，ABAC，BC8，BPPC4，tanC=APBP=34，AP3，点P在BN上运动时，点P与点A的最短距离为3；（2）如图1，AP3，BP4，AB=AP2+BP2=9+16=5，当点P在MB上，如图2，APQB，PQBC，APQABC，SAPQSABC=（APAB）2，PQ将ABC的面积分成上下4：5两部分，SAPQSABC=49，AP5=23，AP=103，PMAPAM=43；（3）当点P在MB上运动时，PQBC，CQBM3，当点P在BC上，且移动到BC中点时，如图3，ABAC，BPCP4，BC，APBC，APQB，APCB+BAPAPQ+CPQ，CPQBAP，ABPBCQ，CPAB=CQBP，CQ=454=165，当点P从BC中点移动到点N时，如图4，同理可得ABPBCQ，CPAB=CQBP，CQ=256=125，整个运动过程点Q运动的路径长3+165+（165-125）7