2023年湖北武汉高二上学期9月月考数学试题（解析版）.docx

1、湖北武汉2022-2023学年上学期9月月考高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若复数满足，则下列说法正确的是（ ）A. 的虚部为B. 的共轭复数为C. 对应的点在第二象限D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.【详解】由，得，对于A，复数的虚部为，故A不正确；对于B，复数共轭复数为，故B 不正确；对于C，复数对应的点为，所以复数对应的点在第二象限，故C正确；对于D，故D不正确.故选：C.2. 在下列条件中，一定能使空间中

2、的四点共面的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量共面定理，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可判断出答案.【详解】根据向量共面定理，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可得A，B，D不正确，选项C：，所以四点共面，故选：C.3. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可【详解】因为，所以，因为平面的法向量，所以点到平面的距离.故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题4. 已知A，B，C，D，

3、E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x，y，使得，所以必要性成立；若存在实数x，y，使得，则共面，则平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立；所以 “存在实数x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分条件，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC是解

4、题的关键，属于基础题.5. 在中，角的对边分别为，且，则的面积为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理将边化为角，求得，然后利用余弦定理求得，代入三角形面积公式即可.【详解】因为，由正弦定理，因为，所以，因为，所以，根据余弦定理得，得或，所以或，故选：C.6. 为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ）甲：中位数为8，众数为7乙：中位数为8，平均数为8.4丙

5、：平均数为8，方差小于2A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合“优秀小组”的定义依次分析选项，综合可得答案.【详解】甲：中位数为8，众数为7，可知甲组的得分依次为：7、7、8、9、10，根据“优秀小组”的概念可知甲组一定是“优秀小组”当乙组得分依次为：6、8、8、10、10时，中位数为8，平均数为8.4，但乙组不符合“优秀小组”的概念，当丙组得分依次为：6、8、8、8、10时，丙：平均数为8，方差为，但丙组不符合“优秀小组”的概念.故选：A.7. 如图，已知电路中有个开关，开关闭合的概率为，其它开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A.

6、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设开关闭合为事件，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.【详解】设开关闭合为事件，则事件灯不亮可表示为，由已知， ， 事件灯亮的概率，故选：A.8. 已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接、，连接BE交于O，证明平面得DOOP，求出OP长度，确定O的位置，确定P的轨迹形状，从而可求P的轨迹长度【详解】连接、，则，平面，同理，平面设，连接BE交于O，由BOD且BD=可知OD=，则，连接OP，则，可得点P的

7、轨迹为以点O为圆心，为半径的圆在内部及其边界上的部分，OB=2OE，E为中点，及为等边三角形可知O为中心，OE=，如图：，则OFE=，OF，同理易知OG，故四边形是菱形，则长度为，故点P的轨迹长度为故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2

8、.5日均值说法正确的是（ ）A. 这10天的日均值的80%分位数为60B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C. 这10天的日均值的中位数为41D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差【答案】BD【解析】【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案.【详解】个数据为：，故80%分位数为，A选项错误.5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B选项正确.中位数是，C选项错误.根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D选项正确.故选：BD10. 下列命题：对立事件一定是互斥事件；若，为两个随机事件，则；若事件，满足，则，相互独立；若事件，满足，

9、则与是对立事件其中错误的命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率的基本性质依次判断4个命题作答.【详解】对于：对立事件一定是互斥事件，正确；对于：若，为两个随机事件，则，错误；对于：由，得，相互独立，正确；对于：记事件为抛一枚硬币正面朝上，事件为掷一枚骰子出现偶数点，则，满足，显然事件与可以同时发生，它们不是对立事件，错误.故选：BD11. 已知空间四点，则下列说法正确的是（ ）A. B. 以，为邻边的平行四边形的面积为C. 点到直线的距离为D. ，四点共面【答案】AC【解析】【分析】直接利用空间向量，向量的模，向量垂直的

10、充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角，判定A、B、C、D的结论即可【详解】空间四点，则，所以，对于A：，故A正确；对于B：，所以，所以以，为邻边的平行四边形的面积，故B错误；对于C：由于，所以，故，所以点到直线的距离，故C正确；对于D：根据已知的条件求出：，假设共面，则存在实数和使得，所以，无解，故不共面，故D错误；故选：AC12. 如图，在棱长为的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. 的最小值为B. 若，则平面截正方体所得截面的面积为C. 与底面所成的角的取值范围为D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的最小值是【答案】BCD【解析】【分

11、析】建立空间直角坐标系，设，得，利用空间向量法求得数量积，计算最小值判断；由线面平行得线线平行确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积判断B；过作的垂线，垂足为，连接，则为所求角设，运用余弦定理求出，由，计算判断C；结合正方体的对称性，利用是正方体的外接球直径判断D【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由正方体棱长为，则，.对于，设，所以，所以时，故A错误；对于B，则是上靠近的三等分点，取上靠近的三等分点，则，.显然与平面的法向量垂直，因此平面，所以截面与平面的交线与平行，作交于点，设，则，由，可得，解得，则与重合，因此取中点，易得，所以截面为，且为等腰梯

12、形，梯形的高为，截面面积为，故B正确；对于C，过作的垂线，垂足为，连接，则为所求角设，则，由余弦定理知，.因为为线段上的动点，所以.当时，.，当时，所以，故，C正确；对于D，则，同理.所以是平面一个法向量，即平面，设垂足为，则，是正方体的外接球的直径，因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转，故D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BADBAA1120，DAA160，则线段AC1的长度是_【答案】【解析】【分析】利用，即可求解【详解】，故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水

13、平14. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为_【答案】【解析】【分析】设，可得 ，所以解出，即可【详解】设；，解得：；在基底下的坐标为：故答案为：15. 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率的精确度上，首次将“”精确到小数点后第七位，即3.1415926，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a，b，则事件“”的概率为_【答案】【解析】【分析】根据给定条件，列出从4，1，5，9，2，6中任取两个数字的所有结果，再求出两

14、个数字差的绝对值不小于5的个数即可作答.【详解】依题意，“圆周率”第三到第八位有效数字分别是4，1，5，9，2，6，从中任取两个数字a，b的不同结果是：(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，9)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，9)，(4，5)，(4，6)，(4，9)，(5，6)，(5，9)，(6，9)，共15种，它们等可能，事件“”记为M，它含有的结果有：(1，6)，(1，9)，(2，9)，(4，9)，共4种，于是得，所以事件“”的概率为.故答案为：16. 设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】以方向

15、为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则， 设 则，当时的最小值是， 取 则 又因为是任意值，所以的最小值是.取 则 又因为是任意值，所以的最小值是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸17. 已知，（1）求与夹角的余弦值；（2）当时，求实数k的值【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.（2）根据列方程，从而求得的值.【小问1详解】.【小问2详解】由于，所以，所以，解得或.18. 袋中有6个大小相同颜色不全相同的小球，分别为

16、黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：（1）从中任取一球，得到黑球黄球绿球的概率各是多少？（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件，由于，为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率（2）黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率【详解】（1）解：从中任取一球，分别记得

17、到黑球、黄球、绿球为事件，由于，为互斥事件，根据已知得，解得，从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是；（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，所以所求概率为，则得到的两个球颜色不相同的概率是19. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布

18、直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数；（2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中3545岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）32.25，第80百分位数为37.5 （2）10【解析】【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；（2）利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取人和人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，方差分别为，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，进而根据方差公式，代入计算即可得答案.【小问1详解】设这20人的平均年龄为，则.设第8

19、0百分位数为，由，解得.【小问2详解】由频率分布直方图得各组人数之比为，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人，设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，方差分别为，则，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.则，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这人中年龄在3545岁的所有人的年龄方差约为10.20. 已知函数（1）若，且，求的值；（2）在锐角中，角，所对的边分别是，若，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化简解析式，由得到，从而求得，进而求得.（2）由求得，利用正弦定理化简，通过取值范围，求

20、得的取值范围.【详解】（1）因为，由，得，因，所以，所以，所以（2）由，因为，所以，所以，即由正弦定理，可得，因为是锐角三角形，所以，即所以由，得，所以21. 如图，在等腰直角三角形中，分别是，上的点，且，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结（1）证明：平面；（2）在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用面面平行的判定证明平面平面，再利用面面平行的性质即可证明；（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】在四棱锥中，取的中点，连接，因为

21、，分别为，的中点，则，因为平面，平面，则平面，同理可得，平面，又，平面，故平面平面，因为平面，故平面；【小问2详解】因为在等腰直角三角形中，所以，则在四棱锥中，因为，则，又，平面，故平面，又平面，故，因为，则，所以，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则：，故，设平面的法向量为，则，令，则，故；设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，故平面与平面夹角的余弦值为22. 如图，三棱柱中，侧面，已知，点E是棱的中点（1）求证：平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在，或【解析】【分析】（1）利用余弦定理解得，结合勾股定理得到，证得侧面，继而可证平面ABC；（2）以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M，设，由EM与平面所成角的正弦值为，可求解.【详解】（1）由题意，因为，利用余弦定理，解得，又，侧面，又，AB，平面ABC，直线平面ABC（2）以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设平面的一个法向量为，令，则，假设存在点M，设，利用平面的一个法向量为，得即，或，或【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.