2020-2021学年新教材高考数学 第三章 圆锥曲线的方程 3.1 抛物线及其标准方程学案 新人教A版选择性必修第一册.docx

1、抛物线及其标准方程【学习目标】课程标准学科素养1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题(难点)1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的思考：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)Fxy22px(p0)x22py(p0)Fyx22py(p0)【小试牛刀】1抛物线的方程都是二次函数(

2、)2抛物线的焦点到准线的距离是p.()3抛物线的开口方向由一次项确定()4.平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线()5.y4x2的焦点坐标为(1,0)()6.以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x24y()【经典例题】题型一求抛物线的标准方程1用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；(3)注意p与的几何意义例1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y；(2)焦点在y

3、轴上，焦点到准线的距离为5.跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)经过点(3，1)；(2)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点例2 抛物线定义的应用1.抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件2.解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0.例2已知动圆

4、M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，求动圆圆心M的轨迹方程跟踪训练2若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程例3如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此时P点坐标跟踪训练3 已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A. B. C2 D.1题型三抛物线的实际应用故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：(1)建系：建立适当的坐标系(2)假设：设出合适的抛物线标准方程(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程(4)求解：求出需要求出的量

5、(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.例4 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值跟踪训练4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？【当堂达标】1若动点P到定点F(4,0)的距离与到直线x4的距离相等，则P点的轨迹是()A抛物线 B线段 C直线 D射线2过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为()A圆B椭圆C直线D抛

6、物线3准线与x轴垂直，且经过点(1，)的抛物线的标准方程是()Ay22xBy22xCx22yDx22y4已知抛物线y2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为()A(1,0) B. C. D(0,1)5一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x24y上，则l的方程为()Ax1 Bx Cy1 Dy6.已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1B2C4D87若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_8设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_9抛物线y22px(p0)上有一点M的横坐标为9，

7、它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标10.已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x3相切，求动圆圆心M的轨迹方程【参考答案】【自主学习】相等焦点准线思考：点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线FxFy【小试牛刀】【经典例题】例1 解(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且，则p，故所求抛物线的标准方程为x2y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y.跟踪训练1 解(1)因为点(3，1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x

8、22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p.故所求抛物线的标准方程为y2x或x29y.(2)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，3，p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，4，p8，此时抛物线的标准方程为y216x.所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.例2 解设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，3)的距离与到直线y3的距离相等由抛物线的定义可知：

9、动圆圆心的轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y.跟踪训练2 解由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x的距离相等由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y22px(p0)的形式，而，所以p1,2p2，例3解将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d.由图可知，当PAl时，|PA|d最小，最小值为.即|PA|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2.点P坐标为(2,2)跟

10、踪训练3 D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.例4 解以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示设抛物线方程为x22py(p0)AB是OD的4倍，点B的坐标为.由点B在抛物线上，得2p，p.抛物线方程为x2ay.设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程x2ay，得0.82ay0，y0，点E到拱底AB的距离h|y0|，令h3，则3，解得

11、a6或a6(舍去)a的最小整数值为13.跟踪训练4 解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航【当堂达标】1.A解析动点P的条件满足抛物线的定义2.D由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到直线y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故应选D.3.

12、B由题意可设抛物线的标准方程为y2ax，则()2a，解得a2，因此抛物线的标准方程为y22x，故选B.4.C解析由抛物线y2px2过点(1,4)，可得p2，抛物线的标准方程为x2y，则焦点坐标为，故选C.5.C解析因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x24y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y1.6.A由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01，故选A.故点M的轨迹方程为y22x(x0)7.2x1解析抛物线y22px的焦点坐标为，1，p2.抛物线的准线方程为x1.8.6由抛物线的方程得2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为426.9.解设焦点为F，M点到准线的距离为d，则d|MF|10，即910，p2，抛物线方程为y24x.将M(9，y)代入抛物线的方程，得y6.M点坐标为(9,6)或(9，6)10.解设动点M(x，y)，M与直线l：x3的切点为N，则|MA|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x3的距离相等，点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x3为准线，3，p6，故动圆圆心M的轨迹方程是y212x.