专题07 全等三角形中的倍长中线模型(原卷版).docx

1、专题07 全等三角形中的倍长中线模型 【模型展示】特点已知：在ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD，连接AE则：BC平行且等于AE【证明】延长BD到E，使DEBD，连接CE，AD是斜边BC的中线ADCDADEBDCADEBDC（SAS）AEBC，DBCAEDAEBC结论倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。【模型证明】解决方案方法一：已知：如图，E是BC的

2、中点，点A在DE上，且BAECDE，则：ABCD【证明】延长DE至点F，使EFDEE是BC的中点BECE，在BEF和CED中，BEFCED（SAS）BFCD，DF又BAED，BAEFABBFABCD方法二：【证明】作BFDE于点F，CGDE于点GFCGE90又BEFCEG，BECE，在BEF和CEG中，BFECGEBFCG在ABF和DCG中，ABFDCGABCD方法三：作CFAB，交DE的延长线于点FFBAE又BAED，FDCFCD，ABEFCEABCFABCD【题型演练】一、解答题1如图，中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且(1)求证：；(2)若，试求DE的长

3、2如图，在RtABC中，ACB=90，点D是AB的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线”加倍构造全等，就可以测量CD与AB数量关系请根据小明的思路，写出CD与AB的数景关系，并证明这个结论3我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形如图，OAOB，OCOD，AOBCOD90，回答下列问题：(1)求证：OAC和OBD是兄弟三角形(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC2OP”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题请在图中通过作辅助线构造BPEDPO，并证明BEOD；求证：AC2OP4【发

4、现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图1，AD是ABC的中线，若AB8，AC6，求AD的取值范围【探究方法】小强所在学习小组探究发现：延长AD至点E，使EDAD，连接BE可证出ADC与EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到同一个ABE中，进而求出AD的取值范围方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做倍长中线法【应用方法】（1）请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD的取值范围的过程；【拓展应用】（2）已知：如图2，AD是ABC的中线，BABC，点E在BC的延长线上，ECBC写出AD与AE之间的数量关系并

5、证明5问题背景如图1，CD为ABC的中线，则有SACDSBCD；如图2，将中的ACB特殊化，使ACB90，则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明AB2CD；问题应用如图3，若点G为ABC的重心（ABC的三条中线的交点），CGBG，若AGBC16，则BGC面积的最大值是（）A2B8C4D66先阅读，再回答问题：如图1，已知ABC中，AD为中线延长AD至E，使DE=AD在ABD和ECD中，AD=DE，ADB=EDC，BD=CD，所以，ABDECD（SAS），进一步可得到AB=CE，ABCE等结论在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题

6、解决问题：如图2，在ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF7（1）如图1，若ABC是直角三角形，BAC=90，点D是BC的中点，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，可以得到ABDECD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”.求证：ACE是直角三角形（2）如图2，ABC是直角三角形，BAC=90，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF.试说明BE2+CF2=EF2；（3）如图3，在（2）的条件下，若AB=AC，BE=12，CF=5，求DEF的面积.8（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了

7、如下问题：在ABC中，AB9，AC5，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长AD到Q，使得DQAD；再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在ABQ中；利用三角形的三边关系可得4AQ14，则AD的取值范围是_感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明（3）思考：已知，如图2，AD是ABC的中线，ABAE，ACAF，BAEFAC90试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明9在利用构造全等三角形来解决的问题中

8、，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在ABC中，AB8，AC6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使ADDE，然后连接BE（如图），这样，在ADC和EDB中，由于，ADCEDB，ACEB，接下来，在ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围请你回答：（1）在图中，中线AD的取值范围是 （2）应用上述方法，解决下面问题如图，在ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DFDE交AC边于点F，连接EF，若BE4，CF2，请直接写出EF的取值范围如图，在四边形ABCD中，BCD150，ADC30，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BCCF，DFA

9、D，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论10阅读材料，解答下列问题如图1，已知ABC中，AD 为中线延长AD至点E，使 DE=AD在ADC和EDB中，AD=DE，ADC=EDB，BD=CD，所以，ACDEBD，进一步可得到AC=BE，AC/BE等结论在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题解决问题：如图2，在ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF11（1）如图1所示，在中，为的中点，求证：甲说：不可能出现，所以此题无法解决；乙说：根据倍长中线

10、法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长至点，使得，连接、，由于，所以可得四边形是平行四边形，请写出此处的依据_（平行四边形判定的文字描述）所以，中，即请根据乙提供的思路解决下列问题：（2）如图2，在中，为的中点，求的面积；（3）如图3，在中，为的中点，为的中点，连接交于，若求证：12（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在ABC中，AB8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），延长AD到M，使得DMAD；连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在ABM中；利用三角形的三边关系可得AM的取值

11、范围为ABBMAMAB+BM，从而得到AD的取值范围是 ；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明（3）深入思考：如图3，AD是ABC的中线，ABAE，ACAF，BAECAF90，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明13【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图，在中，是边上的中线，若延长至，使，连接，可根据证明，则(1)【类比探究】如图，在中，点是的中点，求中线的取值范围；(2)【拓展应用】如图，在四边形中，点是的中点若是的平分线试探究，

12、之间的等量关系，并证明你的结论14阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，ABC中，AB6，AC4，点D为BC的中点，求AD的取值范围（1）小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题他的做法是：如图2，延长AD到E，使DEAD，连接BE，构造BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：AD的取值范围是 （2）参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D求证：PACDPCBD15在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法(1)如图1，是的中线，求的取值范围我们可以延长到点M，使，连接，易证，

13、所以接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是_(2)如图2，是的中线，点E在边上，交于点F，且，求证：；16在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线（1）如图1，是的中线，求的取值范围我们可以延长到点，使，连接，易证，所以接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ；（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；（3）如图3，在四边形中，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明17问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图，已知E是的中点，点A在上，且求证：分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而与所在的两个三角形不全等因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形以下是两位同学添加辅助线的方法第一种辅助线做法：如图，延长到点F，使，连接；第二种辅助线做法：如图，作于点G，交延长线于点F.(1)请你任意选择其中一种对原题进行证明：方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题(2)方法运用：如图，是的中线，与交于点F且求证：