专题09 平面直角坐标系与函数基础（解析版）.docx

1、主题三 函数专题09 平面直角坐标系与函数基础目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）考向一 不等式的性质考向二 不等式的解集考向三 在数轴上表示不等式的解集考向四 解一元一次不等式考向五 一元一次不等式的整数解考向六 一元一次不等式的应用考向七 解一元一次不等式组考向八 一元一次不等式组的整数解考向九 一元一次不等式组的应用最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1. 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标；2. 在实际问

2、题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；3. 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；4. 结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例；5. 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；6. 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值；7. 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系；8. 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论该版块内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，是非常基础也是非常重要的，年年都会考查，分值为8分左右，预计2024年各地中考还将出现，在选填题中出现的可能性较大. 考向一 点的坐标解题技巧/易

3、错易混/特别提醒1.有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置有序数对一般用来表示位置，如用“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等2.确定点在坐标平面内的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断，根据题中的已知条件，判断横坐标、纵坐标是大于0，等于0，还是小于0，就可以确定点在坐标平面内的位置1（2023丽水）在平面直角坐标系中，点P（1，m2+1）位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【思路点拨】依据m2+10，即可得出点P（1，m2+1）在第二象限【规范解答】解：m2+10，点P（1，m2+1）在第二象限故选：B【真题剖析】本题考查了各象限

4、内点的坐标的符号特征和平方的非负性，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（，+）；第三象限（，）；第四象限（+，）2（2023大庆）已知a+b0，ab0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）A（a，b）B（a，b）C（a，b）D（a，b）【思路点拨】因为ab0，所以a、b同号，又a+b0，所以a0，b0，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，然后解答即可【规范解答】解：a+b0，ab0，a0，b0，A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；B、（a，b）在第二象限，因为小手盖住的点

5、在第四象限，故此选项不符合题意；C、（a，b）在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；D、（a，b）在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意故选：D【真题剖析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（，+）；第三象限（，）；第四象限（+，）3（2023衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为 （1，3）【思路点拨】根据A、B两点的坐标确定平面直角坐标系的位置，即可得C点的坐标【规范解答】解：如图：由A的坐标为

6、（0，1），点B的坐标为（2，2），坐标可确定原点位置和坐标系：由图可得C（1，3），故答案为：（1，3）【真题剖析】本题考查平面直角坐标系与点的位置，属于基础题考向二 规律型：点的坐标4（2023日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+100人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+n（n是正整数）有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai（xi，yi），其中i1，2，3，n，且xi，yi是整数记anxn+yn，如A1（0，0），即a10，A2（1，0），即a2

7、1，A3（1，1），即a30，以此类推则下列结论正确的是（）Aa202340Ba202443C2n6D2n4【思路点拨】利用图形寻找规律A（2n1）2（n1，n1），再利用规律解题即可【规范解答】解：第1圈有1个点，即A1（0，0），这时a10； 第2圈有8个点，即A2到A9（1，1），这时a91+12；第3圈有16个点，即A10到A25（2，2），这时a252+24；，依次类推，第n圈，A（2n1）2（n1，n1）；由规律可知：A2023是在第23圈上，且A2025（22，22），则A2023（20，22），即a202320+2242，故A选项不正确；A2024是在第23圈上，且A2024（

8、21，22），即a202421+2243，故选项B正确；第n圈，A（2n1）2（n1，n1），所以a（2n1）22n2，故C，D选项不正确；故选：B【真题剖析】本题考查了图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键5（2023泰安）已知，OA1A2，A3A4A5，A6A7A8，都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放点A2，A3，A5，都在x轴正半轴上，且A2A3A5A6A8A91，则点A2023的坐标是 （2023，）【思路点拨】根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，因此点A2023横坐标为2023，再根据这些正三

9、角形的排列规律得出点A2023在第一象限，求出点A2023的纵坐标为，得出答案【规范解答】解：如图，过点A1，A4，A7，A10，A13，A2023分别作x轴的垂线，A1A2O是边长为2正三角形，OBBA21，A1B，点A1横坐标为1，由题意可得，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，因此点A2023横坐标为2023，202336741，而674是偶数，点A2023在第一象限，点A2023的纵坐标为，即点A2023（2023，），故答案为：（2023，）【真题剖析】本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键考向三 坐标与图

10、形性质解题技巧/易错易混/特别提醒1象限角平分线上的点的坐标特征：（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数；（2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等2点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为3.一般地，点P与点P1关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；点P与点P2关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，点P与点P3关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数，简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”6（2023鄂州）如图，在

11、平面直角坐标系中，O为原点，OAOB3，点C为平面内一动点，BC，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA1：2当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）A（，）B（，）C（，）D（，）【思路点拨】由题意可得点C在以点B为圆心为半径的OB上，在x轴的负半轴上取点D（，0），连接BD，分别过C和M作CFOA，MEOA，垂足为F、E，先证OAMDAC，得，从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，然后分别证BDOCDF，AEMAFC，利用相似三角形的性质即可求解【规范解答】解：点C为平面内一动点，BD，点C在以点B为圆心，

12、为半径的OB上，在x轴的负半轴上取点D（，0），连接BD，分别过C、M作CFOA，MEOA，垂足为F、E，OAOB，ADOD+OA，CM：MA1：2，OAMDAC，OAMDAC，当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，OAOB，OD，BD，CDBC+BD9，OM6，y轴x轴，CFOA，DOBDFC90，BDOCDF，BDOCDF，即，解得CF，同理可得，AEMAFC，即，解得ME，OE，当线段OM取最大值时，点M的坐标是（，），故选D【真题剖析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌

13、握相似三角形的判定及性质是解题的关键7（2023台湾）如图，坐标平面上直线L的方程式为x5，直线M的方程式为y3，P点的坐标为（a，b）根据图中P点位置判断，下列关系何者正确（）Aa5，b3Ba5，b3Ca5，b3Da5，b3【思路点拨】利用直角坐标系中点的坐标的特点，图形的性质解答【规范解答】解：坐标平面上直线L的方程式为x5，直线M的方程式为y3，直线L与直线M交点的坐标为（5，3），P点的坐标为（a，b），根据图中P点位置得a5，b3故选：A【真题剖析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练掌握直角坐标系中点的坐标的特点考向四 函数关系式8（2022益阳）已知一个函数的因变量y与自变

14、量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（）x1012y2024Ay2xByx1CyDyx2【思路点拨】观察表中x，y的对应值可以看出，y的值恰好是x值的2倍从而求出y与x的函数表达式【规范解答】解：根据表中数据可以看出：y的值是x值的2倍y2x故选：A【真题剖析】本题考查了列正比例函数表达式，解题的关键是根据所给的数据找出自变量与因变量之间的关系9（2022大连）汽车油箱中有汽油30L如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km当0x300时，y与x的函数解析式是（）Ay0.1xBy0.1x+30CyDy0.1x2+30

15、x【思路点拨】直接利用油箱中的油量y总油量耗油量，进而得出函数关系式，即可得出答案【规范解答】解：由题意可得：y300.1x，（0x300）故选：B【真题剖析】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，正确得出函数关系式是解题关键10（2020台湾）如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱桃蛋糕若阿凯原本的结账金额为x元，后来的结账金额为y元，则x与y的关系式不可能为下列何者？（）AyxByx+5Cyx+10Dyx+15【思路点拨】根据题意，需要对第一次买的蛋糕进行讨论

16、，和后来添加的黑樱桃蛋糕的价格进行对比，再进行解答【规范解答】解：阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，后来多买了一个50元的黑樱桃蛋糕，优惠方式为：价格最低的蛋糕免费若原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格等于50元或高于50元，最后买的黑樱桃蛋糕是最便宜的，免费，此时原本结账金额等于后来结账的金额，即yx；如果原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格低于50元，则这个最便宜的蛋糕就变成免费，改以黑樱桃蛋糕计费，价格发生变化如果原本四个蛋糕中最便宜的是40元（伯爵茶蛋糕），买了黑樱桃蛋糕后，伯爵茶蛋糕变成免费，需要付黑樱桃蛋糕，多付10元，此时，yx+10；如果原本四个蛋糕中最便宜的是45元，买了黑樱桃蛋糕后，多付5元

17、，此时，yx+5故选：D【真题剖析】本题主要考查一次函数的应用，分类讨论思想，理解题意，进行正确的分类讨论是解决本题的关键考向五 函数自变量的取值范围11（2023牡丹江）函数y中，自变量x的取值范围是（）Ax1Bx1Cx1Dx1【思路点拨】根据二次根式（a0）可得x+10，然后进行计算即可解答【规范解答】解：由题意得：x+10，解得：x1，故选：B【真题剖析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式（a0）是解题的关键12（2023西藏）函数中自变量x的取值范围是 x5【思路点拨】根据分式有意义的条件即可求得答案【规范解答】解：由题意可得：x50，即x5，故答案为：x5【真题剖析】本

18、题考查求自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键13（2023广安）函数y的自变量x的取值范围是 x2且x1【思路点拨】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解【规范解答】解：根据题意得：，解得：x2且x1故答案为：x2且x1【真题剖析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数考向六 函数的图象14（2023自贡）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示下列结论错误的是（）A小亮从家到羽毛球馆用了7分钟B小亮从羽毛

19、球馆到报亭平均每分钟走75米C报亭到小亮家的距离是400米D小亮打羽毛球的时间是37分钟【思路点拨】根据图象逐个分析即可【规范解答】解：A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意；B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：（1.00.4）（4537）0.075（千米/分）75（米/分），故B选项不符合题意；C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意；D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37730（分钟），故D选项符合题意；故选：D【真题剖析】本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键15（2023绍兴）已知点M（4，a2）

20、，N（2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）ABCD【思路点拨】由点N（2，a），P（2，a）关于y轴对称，可排除选项A、C，再根据M（4，a2），N（2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，从而排除选项D【规范解答】解：由N（2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项A、C不符合题意；由M（4，a2），N（2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，故选项B符合题意；故选：B【真题剖析】此题考查了函数的图象注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键16（2023盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是

21、（3，0），（1，0），（3，0），对此，小华认为：当y0时，3x1；当x3时，y有最小值；点P（m，m1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点其中正确的结论有（）A4个B3个C2个D1个【思路点拨】通过观察函数图象判断即可；写出点P所在的函数，并画出其图象，根据它们交点的个数判断即可；通过观察函数图象判断即可【规范解答】解：当y0时，3x1或x3，不正确由图象可知，当x3时，y有最小值，正确令xm，ym1，yx1，点P（m，m1）在直线yx1上yx1的函数图象为：由图象可以看出，它们有三个交点，符合要求的点P有3个，不正确将函数y的图象向

22、右平移1个单位长度时，原图象上坐标为（1，0）的点过原点；将函数y的图象向右平移3个单位长度时，原图象上坐标为（3，0）的点过原点；正确综上，只有正确故选：C【真题剖析】本题考查函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是本题的关键考向七 动点问题的函数图象解题技巧/易错易混/特别提醒1动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行2把动点产生的线段长用时间变量t表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了17（2023齐齐哈尔）如图，在正方形ABCD中，AB4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND设点M

23、运动的路程为x（0x4），DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（）ABCD【思路点拨】根据点N的运动情况，写出每种情况y和x之间的函数关系式，即可确定图象【规范解答】解：0x4时，M在AB上，N在BC上，依题意可知：设AMBNx，CN4x，SS正方形ABCDSAMDSBMNSDNC444x（4x）x4（4x）（x2）2+6；该二次函数图象开口向上，当x2时，二次函数的最小值为6；当x0或4时，二次函数的最大值为8；故选：A【真题剖析】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形的面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际

24、意义，理解动点的完整运动过程18（2023遂宁）如图，在ABC中，AB10，BC6，AC8，点P为线段AB上的动点以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止过点P作PMAC于点M作PNBC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（）A（5，5）B（6，）C（，）D（，5）【思路点拨】根据矩形的性质和直角三角形的性质，可以得到CPAB时，CP取得最小值，此时MN取得最小值，然后即可求得点E的坐标【规范解答】解：连接CP，AB10，BC6，AC8，AC2+BC282+62102AB2，ABC是直角三角形，ACB90，PM

25、AC，PNBC，PMCPNC90，PMCPNCACB90，四边形CMPN是矩形，MNCP，当CPAB时，CP取得最小值，此时CP，AP，函数图象最低点E的坐标为（，），故选：C【真题剖析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答19（2023河北）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AMCN现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为MADCN和NCBAM若移动时间为x，两个机器人之间距离为y则y与x关系的图象大致是（）ABCD【思路点拨】设圆的半径为R，根据机器人移动

26、时最开始的距离为AM+CN+2R，之后同时到达点A，C两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿ADC和CBA移动时，此时两个机器人之间的距离是2R，当机器人分别沿CN和AM移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，据此得出结论即可【规范解答】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R，两个机器人最初的距离是AM+CN+2R，两个机器人速度相同，同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A、C；当两个机器人分别沿ADC和CBA移动时，此时两个机器人之间的距离是2R，保持不变，当机器人分别沿CN和AM移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故

27、排除B；故选：D【真题剖析】本题考查动点函数图象，找到运动时的特殊点用排除法是关键考向八 函数的表示方法20（2020威海）下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系其函数表达式为yx2+2x+3x1013y0340【思路点拨】根据表中y与x的数据设函数关系式为：yax2+bx+c，将表中（1，4）、（1，0）、（0，3）代入函数关系式，即可得结论【规范解答】解：根据表中y与x的数据设函数关系式为：yax2+bx+c，将表中（1，4）、（1，0）、（0，3）代入函数关系式，得，解得，函数表达式为yx2+2x+3当x3时，代入yx2+2x+30，（3，0）也适合所求得的函数关系式故答案为：

28、yx2+2x+3【真题剖析】本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是掌握函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法21（2022阿坝州）在某火车站托运物品时，不超过1kg的物品需付款2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元则托运x kg（x为大于1的整数）物品的费用为 0.5x+1.5元【思路点拨】根据题意：不超过1kg的物品需付款2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，当x1时，费用为：2元+超出部分的费用，即2+0.5（x1）元【规范解答】解：设费用为y元，当x1时，y2，当x1时，y2+0.5（x1）0.5x+1.5，故答案为：0

29、.5x+1.5【真题剖析】本题考查了分段函数的应用，解决问题时一定注意当物品超出1千克时，用2元加上超出部分的费用22（2021永州）已知函数y，若y2，则x2【思路点拨】根据题意，进行分类解答，即可求值【规范解答】解：y2当x22时，x0x1x（舍去）当2x22时，x2故答案为：2【真题剖析】本题考查根据函数值，求自变量的值关键在于求出自变量的值一定要符合取值范围1（2023台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（2，2），则“炮”所在位置的坐标为（）A（3，1）B（1，3）C（4，1）D（3，2）【思路点拨】直接利用“車”位于点（2，2）

30、，得出原点的位置，进而得出答案【规范解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）故选：A【真题剖析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键2（2023黄石）函数的自变量x的取值范围是（）Ax0Bx1Cx0且x1Dx1【思路点拨】由题意可得x0且x10，解得x的取值范围即可【规范解答】解：由题意可得x0且x10，解得：x0且x1，故选：C【真题剖析】本题考查函数自变量的取值范围，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握3（2022枣庄）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当xn时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N21，则称函数y1和y2是“和谐函数”则下

31、列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（）Ay1x2+2x和y2x+1By1和y2x+1Cy1和y2x1Dy1x2+2x和y2x1【思路点拨】根据题意，令y1+y21，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”【规范解答】解：A、令y1+y21，则x2+2xx+11，整理得：x2+x0，解得：x10，x21，函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意；B、令y1+y21，则+x+11，整理得：x2+10，此方程无解，函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意；C、令y1+y21，则x11，整理得：x2+2x+10，解得：x11，x21，函数y1和

32、y2是“和谐函数”，故C不符合题意；D、令y1+y21，则x2+2xx11，整理得：x2+x20，解得：x11，x22，函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意；故选：B【真题剖析】本题考查了解一元二次方程公式法，根据题意令y1+y21，然后进行计算是解题的关键4（2023温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，各路段路程相等，各路段路程相等，两路段路程相等【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线用时3小时25分钟；小州游路线，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟【问题】路线各路段路程之和为（）A4

33、200米B4800米C5200米D5400米【思路点拨】设各路段路程为x米，各路段路程为y米，各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线用时3小时25分钟”可进行求解【规范解答】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+104045（分钟），小温游玩行走的时间为205100105（分钟），设各路段路程为x米，各路段路程为y米，各路段路程为z米由图象可得：，解得：x+y+z2700，游玩行走的速度为：（27002100）1060 （米/分），由于游玩行走速度恒定，则小温游路线的路程为：3x+3y105606300，x+y2100，路线各

34、路段路程之和为：2x+2y+zx+y+z+x+y2700+21004800（米）故选：B【真题剖析】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系5（2023滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH7时溶液呈碱性，当pH7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（）ABCD【思路点拨】根据化学知识和函数图象的知识，分析几个选项即可【规范解答】解：根据题意：将给定的NaOH溶液加水稀释，那么开始pH7，随着慢慢加水，溶液碱性越来越弱，pH值逐渐

35、减小故选：B【真题剖析】本题属于数学与化学知识相结合的题型，难度不大，认真分析图形即可6（2023南通）如图1，ABC中，C90，AC15，BC20点D从点A出发沿折线ACB运动到点B停止，过点D作DEAB，垂足为E设点D运动的路径长为x，BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则ab的值为（）A54B52C50D48【思路点拨】根据勾股定理求出AB25，再分别求出0x15和15x35时的PD，AD的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可【规范解答】解C90，AC15，BC20，AB25，当0x15时，点P在AC边上，如图所示，此时ADx，EDAB，DEA90C，CABEA

36、D，CABEAD，AE，DE，BE25，yBEDE（25）10x，当x10时，y76，a76，当15x35时，点P在BC边上，如图所示，此时BP35x，DEAB，DEB90C，DBEABC，DBEABC，BE28，DE21，yDEBE（28）（21）（14）（21），当x25时，y24，b24，ab762452，故选：B【真题剖析】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握7（2023锦州）如图，在RtABC中，ACB90，AC3，BC4，在DEF中，DEDF5，EF8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合ABC以每秒1个单位长

37、度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，ABC停止运动设运动时间为t秒，ABC与DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）ABCD【思路点拨】分0t4，4t8，8t12三种情况，分别求出函数解析即可判断，【规范解答】解：过点D作DHCB于H，DEDF5，EF8，EHFHEF4，DH3，当0t4时，如图，重叠部分为EPQ，此时EQt，PQDH，EPQEDH，即，PQt，S2，当4t8时，如图，重叠部分为四边形PQCB，此时BBCCt，PBDEBFBC+CFBB12t，FC8t，PBDE，PBFDCF，又SDCF，SPBF，DHBCABC90，AC

38、DH，CQFHFD，即，SSPBFSCQF，当8t12时如图，重叠部分为PFB，此时BBCCt，PBDEBFBC+CFBB12t，PBDEPBFDCF，即，SSPBF，综上，符合题意的函数图象是选项A故选：A【真题剖析】此题结合图象平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度8（2023辽宁）如图，MAN60，在射线AM，AN上分别截取ACAB6，连接BC，MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EFAM交AM于点F，作EGAM交射线AD于点G，过点G作GHAM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动设点E运动的路程为

39、x，四边形EFHG与ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）ABCD【思路点拨】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可【规范解答】解：MAN60，ACAB6，ABC是边长为6的正三角形，AD平分MAN，MADNAD30，ADBC，CDDB3，当矩形EFHG全部在ABC之中，即由图1到图2，此时0x3，EGAC，NADAGE30，AEEGx，在RtAEF中，AEx，EAF60，EFAEx，Sx2；图3时，AE+AFAC，即x+x6，解得x4，由图2到图3，此时3x4，如图4，由题意可知EQB是正三角形，EQEBBQ6x，GQ

40、x（6x）2x6，SS矩形EFHGSPQGx2（2x6）2x2+12x18，图6时，x6，由图3到图6，此时4x6，如图5，由题意可知EKB是正三角形，EKEBBK6x，FCACAF6x，EFx，SS梯形EFCK（6x+6x）xx2+3x，综上所述，S与x的函数关系式为S，因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，故选：A【真题剖析】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键9（2023绥化）如图，在菱形ABCD中，A60，AB4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒

41、2个单位长度沿折线ABC向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为x秒，AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）ABCD【思路点拨】连接BD，过B作BEAD于E，根据已知条件得到ABD是等边三角形，根据相似三角形的判定定理得到AMNABN，根据相似三角形的性质得到ANMAEB90，当0x2时，点M在AB上，当2x4时，点M在BC上，根据三角形的面积公式即可得到结论【规范解答】解：连接BD，过B作BEAD于E，当0x2时，点M在AB上，在菱形ABCD中，A60，AB4，ABAD，ABD是等边三角形

42、，AEEDAD2，BEAE2，AM2x，ANx，AA，AMNABE，ANMAEB90，x，yxxx2，当2x4时，点M在BC上，y，综上所述，当 0x2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2x4时，函数图象是直线的一部分，故选：A【真题剖析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键10（2023东营）如图，一束光线从点A（2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2mn的值是 1【思路点拨】点A（2，5）关于y轴的对称点为A（2，5），根据反射的

43、性质得，反射光线所在直线过点B（0，1）和A（2，5），求出AB的解析式为：y2x+1，再根据反射后经过点C（m，n），2m+1n，即可求出答案【规范解答】解：点A（2，5）关于y轴的对称点为A（2，5），反射光线所在直线过点B（0，1）和A（2，5），设AB的解析式为：ykx+1，过点A（2，5），52k+1，k2，AB的解析式为：y2x+1，反射后经过点C（m，n），2m+1n，2mn1故答案为：1【真题剖析】本题考查一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，求出AB的解析式11（2023东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O，点

44、C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2，正方形A2023B2023C2023C2022，则点B2023的横坐标是 （1+）2022【思路点拨】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5的坐标，进而得到B2、B3、B4、B5的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论【规范解答】解：当y0时，有x10，解得：x1，点A1的坐标为（1，0）四边形A1B1C1O为正方形，OA1A1B1OC11，点B1（1，1），B1的

45、横坐标为1；y1时，1x，解得：x，点A2的坐标为（，1），A2B2C2C1是正方形，A2B2C2C1A2C1，点B2（，2+），即B2的横坐标为；当y2+时，2+x，解得：x（），点A3（），2+），A3B3C3C2是正方形，A3B3C3C2A3C2（），点B3的横坐标为（）（1+）2，以此类推，则点B2023的横坐标是（1+）2022故答案为：（1+）2022【真题剖析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标的规律，数形结合是解答本题的关键12（2023齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OAOB4，连接AB，过点O作OA1AB于点A1，

46、过点A1作A1B1x轴于点B1；过点B1作B1A2AB于点A2，过点A2作A2B2x轴于点B2；过点B2作B2A3AB于点A3，过点A3作A3B3x轴于点B3；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为 （4，）【思路点拨】根据题意，结合图形依次求出 A1，A2，A3 的坐标，再根据其规律写出 A2023 的坐标即可【规范解答】解：在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OAOB4，OAB 是等腰直角三角形，OBA45，OA1AB，OA1B 是等腰直角三角形，同理可得：OA1B1，A1B1B均为等腰直角三角形，A1（2，2），根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：A2（3

47、，1），A3（4，），A4（4，），由此可推出：点A2023的坐标为（4，），故答案为：（4，）【真题剖析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出A1，A2，A3 的坐标，找出其坐标的规律13（2023贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（2，7），则龙洞堡机场的坐标是 （9，4）【思路点拨】确定平面直角坐标系，即可确定龙洞堡机场的坐标【规范解答】解：由题中条件确定点O即为平面直角坐标系原点，龙洞堡机场的坐标为（9，

48、4）；故答案为：（9，4）【真题剖析】本题考查根据已知条件确定平面直角坐标系，解题的关键是明确平面直角坐标系x轴、y轴的正方向以及确定点的坐标14（2023连云港）画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30、60、90、120、330的射线，这样就建立了“圆”坐标系如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，60）、B（5，180）、C（4，330），则点D的坐标可以表示为 （3，150）【思路点拨】在该坐标系中，某点的坐标用两个参数来描述：一个是该点与原点的距离，另一个是原点与该点所在的射

49、线与x轴正半轴之间的夹角【规范解答】解：点D与圆心的距离为3，射线OD与x轴正方向之间的夹角为150，点D的坐标为（3，150）故答案为：（3，150）【真题剖析】该题较简单，主要考查在不同坐标系中点的表示方法15（2023黑龙江）在函数y中，自变量x的取值范围是x3【思路点拨】因为二次根式的被开方数要为非负数，即x+30，解此不等式即可【规范解答】解：根据题意得：x+30，解得：x3故答案为：x3【真题剖析】当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数16（2023哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 x8【思路点拨】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案【规范解答】解：由题意得：

50、x80，解得：x8，故答案为：x8【真题剖析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键17（2023临沂）小明利用学习函数获得的经验研究函数yx2+的性质，得到如下结论：当x1时，x越小，函数值越小；当1x0时，x越大，函数值越小；当0x1时，x越小，函数值越大；当x1时，x越大，函数值越大其中正确的是 （只填写序号）【思路点拨】由题意，利用图象法作答，可以得解【规范解答】解：如图所示，当x1时，x越小，函数值越大，故错误当1x0时，x越大，函数值越小，故正确当0x1时，x越小，函数值越大，故正确当x1时，x越大，函数值越大，故正确故答案为：【真题剖析】本题考查

51、了探究函数的增减性问题，解题时需要灵活运用方法是关键18（2022上海）已知f（x）3x，则f（1）3【思路点拨】把x1代入函数关系式即可求得【规范解答】解：因为f（x）3x，所以f（1）313，故答案为：3【真题剖析】本题考查了函数的关系式，解题的关键是对函数关系式进行正确的理解19（2023永州）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：时间t（单位：分钟）12345总水量y（单位：毫升）712172227（1）探

52、究：根据上表中的数据，请判断和ykt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；（2）应用：请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天【思路点拨】（1）根据上表中的数据，可知y与t成一次函数关系，根据点的坐标利用待定系数法即可求出该函数关系式；（2）当t20时，求出y的值即可；当t24601440分钟时，求出y的值，即可求出答案【规范解答】解：（1）根据上表中的数据，ykt+b（k，b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系，当t1时，y

53、7，当t2时，y12，y5t+2；（2）当t20时，y100+2102，即估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升；当t24601440分钟时，y51440+27202（毫升），当t0时，y2，144（天），答：估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天【真题剖析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答20（2021浙江）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米80米为“中途期”，80米100米为“冲刺期”市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所

54、示（1）y是关于x的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议【思路点拨】（1）根据函数的定义，可直接判断；（2）由图象可知，“加速期”结束时，即跑30米时，小斌的速度为10.4m/s（3）答案不唯一建议合理即可【规范解答】解：（1）y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s（3）答案不唯一例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩【真题剖析】本题主要考查函数图象的应用，结合题干中“百米赛跑数学模型”读出图中

55、的数据是解题关键21（2021大连）如图，在正方形ABCD中，AB2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，AFEF，设BEx，AFy，当0x2时，y关于x的函数解析式为 y+（0x2）【思路点拨】由勾股定理表示AE，通过作垂线构造直角三角形，由等腰三角形的性质得出AMME，分别用含有x、y的代数式表示AM，AE，再根据相似三角形对应边成比例即可得出y与x之间的函数关系式【规范解答】解：过点F作FMAE，垂足为M，AFEF，AMME，在RtABE中，AE，AM，BAMF90，FAMAEB，ABEFMA，即，xy，即y+（0x2），故答案为：y+（0x2）【真题剖析】本题考查函数关系式，掌握等

56、腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键22（2023大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线yx相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D设点P的横坐标为tDPA与COA重叠部分的面积为SS关于t的函数图象如图2所示（其中0tm与mt4时，函数的解析式不同）（1）点A的坐标是 （4，0），COA的面积是 （2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围【思路点拨】（1）从图2知，OA4，即点A（4，0），当点D和点B重合时，SSAOC，即可求解；（2）当t4时，则SAPPDAP

57、PAtanBOA（4t）2（t4）2；当0t时，则SSOCASOPHPHOPt2，即可求解【规范解答】解：（1）如图1，设PD交OC于点C，从图2知，OA4，即点A（4，0），当点D和点B重合时，SSAOC；故答案为：（4，0），；（2）SSAOCAOyC2yC，则yC，则点C（，），则m，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx+2，则点B（0，2）；由直线AC的表达式知，tanBOA；当t4时，则SAPPDAPPAtanBOA（4t）2（t4）2；当0t时，如图1，则SSOCASOPHPHOPt2，则S【真题剖析】此题主要考查了动点问题的函数图象，分类求解和解直角三角形是解题的关键23

58、（2022广东）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系ykx+15下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系x025y151925（1）求y与x的函数关系式；（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量【思路点拨】（1）把x2，y19代入ykx+15中，即可算出k的值，即可得出答案；（2）把y20代入y2x+15中，计算即可得出答案【规范解答】解：（1）把x2，y19代入ykx+15中，得192k+15，解得：k2，所以y与x的函数关系式为y2x+15（x0）；（2）把y20代入y2x+15中，得202x+15，解得：x2.5所挂物体的质量为2.5kg【真题剖析】本题主要考查了函数关系式及函数值，熟练掌握函数关系式及函数值的计算方法进行求解是解决本题的关键