专题27 三角形的内切圆（提优）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、专题27 三角形的内切圆（提优）一选择题1如图，已知等边ABC的内切圆O半径为3，则AB的长为（）A33B35C63D65【分析】过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解即可【解答】解：过O点作ODBC，则OD3；O是ABC的内心，OBD30；RtOBD中，OBD30，OD3，OB6，BD33，ABBC2BD63故选：C【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质，解决本题的关键是将正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形2如图，在ABC中，C58，点O为ABC的内心，则AOB的度数为（）A119B120C121

2、D122【分析】根据三角形的三个内角的平分线相交的点为内心，可知BAO=12CAB，ABO=12CBA，由C的度数和三角形内角和为180，可求出CAB+CBA122，进而可求出AOB的度数【解答】解：点O为ABC的内心，AO平分CAB，BO平分CBA，BAO=12CAB，ABO=12CBA，AOB180-12（CAB+CBA），C58，CAB+CBA122，AOB18061119，故选：A【点评】本题考查了三角形的内心的性质根据是根据内心的性质，得出三角形两内角平分线的夹角与第三个角之间的等量关系是解题的关键3如图，在ABC中，点D为ABC的内心，A60，CD2，BD4则DBC的面积是（）A4

3、3B23C2D4【分析】过点B作BHCD的延长线于点H由点D为ABC的内心，A60，得BDC120，则BDH60，由BD4，求得BH，根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：过点B作BHCD的延长线于点H点D为ABC的内心，A60，DBC+DCB=12（ABC+ACB）=12（180A），BDC90+12A90+1260120，则BDH60，BD4，DH2，BH23，CD2，DBC的面积=12CDBH=12223=23，故选：B【点评】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30角的直角三角形的性质是解题的关键4如图，O是等边ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF

4、上一点，则EPF的度数是（）A65B60C58D50【分析】如图，连接OE，OF求出EOF的度数即可解决问题【解答】解：如图，连接OE，OFO是ABC的内切圆，E，F是切点，OEAB，OFBC，OEBOFB90，ABC是等边三角形，B60，EOF120，EPF=12EOF60，故选：B【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型5下列说法正确的是（）A三角形的外心一定在三角形的外部B三角形的内心到三个顶点的距离相等C外心和内心重合的三角形一定是等边三角形D直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125【分析】利用三角形内心以及

5、三角形外心的性质判断得出即可【解答】解：A、三角形的外心不一定在三角形的外部，错误；B、三角形的内心到三个边的距离相等，错误；C、外心和内心重合的三角形一定是等边三角形，正确；D、直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为135，错误；故选：C【点评】此题主要考查了三角形内外心的区别，正确把握相关性质是解题关键6如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，O为ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长是（）A5B2C3D3【分析】根据勾股定理可得AB10，再根据三角形内切圆的性质可得正方形CGOF，根据切线长定理可求得内切圆半径，再根据勾股定理即可求得OD的长【解答】解：如图，在RtABC

6、中，C90，AC6，BC8，AB10，设O与ABC的三边的切点为E、F、G，连接OE、OF、OG，得正方形CGOF设OFOEOGCGCFx，则AGAE6x，BEBF8x，6x+8x10，解得x2，AE6x4，点D是斜边AB的中点，AD5，DEADAE1，在RtODE中，根据勾股定理，得OD=OE2+DE2=22+12=5故选：A【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心7如图，不等边ABC内接于O，I是其内心，且AIOI，AB2，BC3，则AC的长为（）A4B32C22D322【分析】延长AI交O于D，连接OA、OD、BD和BI，可

7、得BDIDAI易证BD=CD，则ODBC，作IGAB于G，又DBEIAG，则BDAI，所以RtBDERtAIG，从而得出AB+AC2BC，代入数据即可得到结论【解答】证明：如图1，延长AI交O于D，连接OA、OD、BD和BI，OAOD，OIAD，AIID，又DBIDBC+CBIDAC+CBI，=12（BAC+ABC）DIB，因此，BDIDAI，I是其内心，AD是BAC的平分线，BD=CD，ODBC，记垂足为E，BE=12BC，作IGAB于G，DBEIAG，BDAI，BDEAIG（AAS），AGBE=12BC，如图2，过O作OMAC，ONBC，I是其内心，AGAM，CMCN，BGBN，AGACC

8、MAC（BCBN）ACBC+BNACBC+（ABAG），AG=12（AB+ACBC），AB+AC2BC，AB2，BC3，AC4，故选：A【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键8如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，I为ABC的内心，AI的延长线交BC于D，若OIAD，则sinCAD的值为（）A12B22C52D55【分析】延长AD交O于R，连接BI，BR，易证BRI为等腰直角三角形，OI为ABR的中位线，设OIa，则BR2aIRAI，则OA=5a，则sinCADsinOAI=55【解答】解：如图，延长AD交O于R，连接BI，BR，I为A

9、BC的内心，CARBAR，ABICBI，CARCBR，RIBIAB+IBACAR+CBICBR+CBIRBI，RBBI，AB是O的直径，BRA90，BRI为等腰直角三角形，O是AB中点，OIBR，I是AR的中点，OI为ABR的中位线，设OIa，则BR2aIRAI，在RtAOI中，根据勾股定理，得OA=AI2+OI2=5a，sinCADsinOAI=OIOA=a5a=55所以sinCAD的值为55故选：D【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外接圆与外心、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识9将线段OB绕点O逆时针旋转60形成扇形COB，过C作CDOB，垂足为D，

10、E是COD的内切圆，OB6，则OE的长为（）A33B33-3C33+3D2(3+3)3【分析】解直角三角形得到OD=12OC3，CD=OC2-OD2=62-32=33，根据三角形内切圆的性质得到EFO90，EOF30，EF=CD+OD-OC2=33-32，于是得到结论【解答】解：CDOB，CDO90，BOC60，OCOB6，OD=12OC3，CD=OC2-OD2=62-32=33，E是COD的内切圆，点F是切点，EFO90，EOF30，EF=CD+OD-OC2=33+3-62=33-32，OE2EF33-3，故选：B【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，旋转的性质，解直角三角形，正确的识别图

11、形是解题的关键10如图，矩形ABCD，AD6，AB8，点P为BC边上的中点，点Q是ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是（）A13-1B13+1C3.2D32【分析】由矩形的性质得出D90，CDAB8，由勾股定理得出AC=AD2+CD2=10，设AD的内切圆O的半径为r，则1210r+128r+126r=1286，解得r2，连接BQ，易证PM是BCQ的中位线，得出PM=12BQ，当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最长，作OEAD于E，OFAB于F，则BFABAF6，OFAEADDE4，由勾股定理得出BO=BF2+OF2=213，则BQBO+OQ213+2，即可

12、得出结果【解答】解：四边形ABCD是矩形，D90，CDAB8，AC=AD2+CD2=62+82=10，设AD的内切圆O的半径为r，则1210r+128r+126r=1286，解得：r2，连接BQ，P是BC边上的中点，点M是CQ的中点，PM是BCQ的中位线，PM=12BQ，当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最长，作OEAD于E，OFAB于F，则BFABAF826，OFAEADDE624，BO=BF2+OF2=62+42=213，BQBO+OQ213+2，PM=12BQ=13+1；故选：B【点评】本题考查了三角形内切圆与内心、勾股定理、矩形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识；熟练掌握矩形

13、的性质和三角形中位线定理是解题的关键11如图，ABC内切圆是O，折叠矩形ABCD，使点D、O重合，FG是折痕，点F在AD上，G在ABC上，连接OG，DG，若OG垂直DG，且O的半径为1，则下列结论不成立的是（）ACD+DF4BCDDF23-3CBC+AB23+4DBCAB2【分析】设O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，根据折叠的性质得到OGDG，根据全等三角形的性质得到OMGC1，CDGMBCBMGCBC2求得BCAB2设ABa，BCb，ACc，O的半径为r，根据勾股定理得到a2+b2（a+b2）2，求得BC+AB23+4再设DFx，在RtONF中，FN3+3，OFx，ON1+

14、3，根据勾股定理得到CDDF=3，CD+DF=3【解答】解：如图，设O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，OGDG，OGDG，MGO+DGC90，MOG+MGO90，MOGDGC，在OMG和GCD中，OMG=DCG=90MOG=DGCOG=DG，OMGGCD，OMGC1，CDGMBCBMGCBC2ABCD，BCAB2设ABa，BCb，ACc，O的半径为r，O是RtABC的内切圆可得r=12（a+bc），ca+b2在RtABC中，由勾股定理可得a2+b2（a+b2）2，整理得2ab4a4b+40，又BCAB2即b2+

15、a，代入可得2a（2+a）4a4（2+a）+40，解得a1+3或a1-3（不合题意舍去），BC+AB23+4再设DFx，在RtONF中，FN3+3-1x，OFx，ON1+3-1=3，由勾股定理可得（2+3-x）2+（3）2x2，解得x4-3，CDDF=3+1（4-3）23-3，CD+DF=3+1+4-3=5综上只有选项A错误，故选：A【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键12如图，在ABC中，BAC60，其周长为20，I是ABC的内切圆，其半径为3，则BIC的外接圆半径为（）A7B73C722D

16、733【分析】设BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CDAB于点D，在圆O上取点F，连接FB，FC，作OEBC于点E，设ABc，BCa，ACb，根据三角形内心定义可得SABC=12lr=12203=12ABCD，可得bc40，根据勾股定理可得BCa7，再根据I是ABC内心，可得IB平分ABC，IC平分ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得BOC120，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB的长【解答】解：如图，设BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CDAB于点D，在圆O上取点F，连接FB，FC，作OEBC于点E，设ABc，BCa，ACb，BAC60，AD=12b，CDACsin

17、60=32b，BDABADc-12b，ABC周长为l20，ABC的内切圆半径为r=3，SABC=12lr=12203=12ABCD，203=32bc，bc40，在RtBDC中，根据勾股定理，得BC2BD2+CD2，即a2（c-12b）2+（32b）2，整理得：a2c2+b2bc，a+b+c20，a2c2+b2bc（b+c）23bc（20a）2340，解得a7，BCa7，I是ABC内心，IB平分ABC，IC平分ACB，BAC60，ABC+ACB120，IBC+ICB60，BIC120，BFC18012060，BOC120，OEBC，BECE=72，BOE60，OB=BEsin60=7232=73

18、3故选：D【点评】本题属于圆的综合，考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识属于中考选择题的压轴题，很有难度二填空题13如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，I是ABC的内心，则BIA的度数是135【分析】根据圆周角定理求出C90，求出CAB+CBA90，根据三角形的内切圆得出IAB=12CAB，IBA=12CBA，求出IAB+IBA=12（CAB+CBA）45，根据三角形内角和定理求出即可【解答】解：ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，ACB90，CAB+CBA90，I是ABC的内心，

19、IAB=12CAB，IBA=12CBA，IAB+IBA=12（CAB+CBA）45，AIB180（CAB+CBA）18045135，故答案为：135【点评】本题考查了三角形的内切圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键14如图，点O、I分别是锐角ABC的外心、内心，若CAB8OAC48，则AOICIO30【分析】连接OC，如图，先计算出OAC6，再利用外心性质和等腰三角形的性质得到OCAOAC6，则AOC168，利用圆周角定理得到ABC84，接着计算出ACB48，从而得到BABC，利用等腰三角形的性质可判断BO垂直平分AC，OB平分ABC，所以ABC的

20、内心I在OB上，延长BO交AC于H，如图，则BHAC，然后分别计算出AOI和CIO，最后求它们的差即可【解答】解：连接OC，如图，8OAC48，OAC6，O点为ABC的外心，OAOC，OCAOAC6，AOC18066168，ABC=12AOC84，ACB+CAB+ABC180，ACB180488448，BABC，BO垂直平分AC，OB平分ABC，ABC的内心I在OB上，延长BO交AC于H，如图，则BHAC，AOIAHO+OAH90+696，I为ABC的内心，CI平分ACB，BCI=12ACB24，同理可得CBI=12ABC42，CIOCBI+BCI42+2466，AOICIO966630故答案

21、为30【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了三角形的外心和圆周角定理15如图，ABC的内切圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB5，BC13，CA12，则阴影部分的面积为262（结果保留）【分析】由勾股定理的逆定理得ABC是直角三角形，A90，证出四边形AEOF是正方形，得OEOF=12（AB+ACBC）2，正方形AEOF的面积224，求出扇形EOF的面积，得扇形OEDF的面积3，求出ABC的面积30，进而得出答案【解答】解：AB5，BC13，CA12，AB2+AC2BC2，ABC是直角三角形

22、，A90，ABC的内切圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，OEAC，OFAB，ODBC，OEOFOD，四边形AEOF是正方形，EOF90，OEOF=12（AB+ACBC）=12（5+1213）2，正方形AEOF的面积224，扇形EOF的面积=1422，扇形OEDF的面积223，ABC的面积=12ABAC=1251230，阴影部分的面积30（4）3262；故答案为：262【点评】本题考查了直角三角形的内切圆与内心、切线的性质、勾股定理的逆定理、正方形的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形内切圆半径=12（两条直角边的和斜边长）是解题的关键16如图，点

23、I是ABC的内心，连接AI并延长交ABC的外接圆于点D，若ACB70，则DBI55【分析】由三角形的内心的性质可得BADCAD，ABICBI，由外角的性质和圆周角的性质可得BIDDBI，由三角形内角和定理可求解【解答】解：点I是ABC的内心，BADCAD，ABICBI，CADCBD，BADCBD，BIDBAD+ABI，IBDCBI+CBD，BIDDBI，ACB70，ADB70，BIDDBI=180-702=55故答案为：55【点评】本题考查了三角形的内切圆与圆心，圆周角的定理，等腰三角形的性质等知识，证明BIDDBI是本题的关键17如图，I为ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且

24、DE为I的切线，DEBC若ABC的周长为8，则DE的最大值为1【分析】根据DEBC，可得ADEABC，因为相似三角形周长的比等于相似比，可列出等式，设BCx，再根据切线长定理可得，点A到I的两切线之和为：82x，进而整理可得关于DE的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求出DE的最大值【解答】解：DEBC，ADEABC，因为相似三角形周长的比等于相似比，即DEBC=CADECABC，设BCx，根据切线长定理可知：点A到I的两切线之和为：82x，所以DEx=CADE8=点A到I的两切线长之和8=2(4-x)8，所以DE=14x(4-x)=-14（x2）2+1，所以当x2时，DE的最大值为1故答

25、案为：1【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质18如图，在RtABC中，已知C90，AC6，BC8，O为ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tanODA2【分析】设圆O与AC切于点F，与BC切于点H，与AB切于点E，连接OF、OH、OE，先由等面积法算出内切圆半径，再求出DE即可得出答案【解答】解：如图，设圆O与AC切于点F，与BC切于点H，与AB切于点E连接OF、OH、OE，则OFAC，OHBC，OEAB，OFOHOE，C90，四边形CHOF为正方形，其边长设为r，AC6，BC8，AB10，D是AB中点，AD5，SACB=12BCAC=12（A

26、B+BC+CA）r，r=486+8+10=2，AEAFACCF4，DEADAE1，tanODA=OEDE=21=2故答案为：2【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心性质、直角三角形斜边中线定理，三角形面积公式、解直角三角形等知识点求出内切圆半径是解答本题的关键19如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE9，则ABC的面积为81【分析】根据切线的性质得到ADAM，CMCNr，根据圆周角定理得到ACB90，根据勾股定理得到AB2AC2+BC2，于是得到ADDB=12ACBC，由射影定理得ADD

27、BDE281，根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：设I切AC与M，切BC于N，半径为r，则ADAM，CMCNr，BDBN，r=12（AC+BCAB），AB为半圆的直径，ACB90，AB2AC2+BC2，ADDBAMBN（ACr）（BCr）AC-12（AC+BCAB）BC-12（AC+BCAB）=14（ACBC+AB）（AB+BCAC）=14（AB2AC2BC2+2ACBC）=12ACBC，由射影定理得ADDBDE281，SABC=12ACBC81，故答案为：81【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，射影定理，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键20如图，O是ABC

28、内切圆，切点为D、E、F，A90，C30，则DFE度数是60度【分析】根据三角形的内角和定理求得B60根据切线的性质定理和四边形的内角和定理求得DOE120，再根据圆周角定理求得DFE60【解答】解：A90，C30，B60，DOE360909060120，DFE60【点评】此题综合运用了切线的性质定理、三角形的内角和定理、四边形的内角和定理以及圆周角定理三解答题21已知：在ABC中，C90，I是RtABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF（1）四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由（2）若AC8，BC6，求半径IE的长【分析】（1）根据I是RtABC的内切圆，证明四边形IEC

29、F是矩形，由IEIF，可得结论；（2）根据勾股定理可得AB的长，设半径IE的长为x，根据切线长定理列出方程即可求得半径的长【解答】解：（1）四边形IECF是正方形，理由如下：I是RtABC的内切圆，即AC、BC都是I的切线，IECIFC90，C90，四边形IECF是矩形，IEIF，四边形IECF是正方形；（2）在ABC中，C90，AC8，BC6，AB=AC2+BC2=82+62=10，由切线长定理可知：AEAD，BDBF，CECF，设半径IE的长为x，则CECFx，AEAD8x，BDBF6x，（8x）+（6x）10，解得x2，IE的长为2【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，解决本

30、题的关键是掌握三角形内切圆与内心22如图，ABC内接于以AB为直径的O中，且点E是ABC的内心，AE的延长线与BC交于点F，与O交于点D，O的切线PD交AB的延长线于点P（1）试判断BDE的形状，并给予证明；（2）若APD30，BE2，求AE的长【分析】（1）如图，利用三角形内心的性质得到12，36，则利用圆周角定理得到46，则可证明5DBE，从而得到DBDE，接着利用AB为直径得到ADB90，从而可判断BDE为等腰直角三角形；（2）连接OD，如图，先根据等腰直角三角形的性质得到BDDE=2，再利用切线的性质得到ODP90，则可计算出POD60，所以PAD30，然后利用含30度的直角三角形三边

31、的关系计算出AD，从而得到AE的长【解答】解：（1）BDE为等腰直角三角形，证明如下：如图，点E是ABC的内心，BE平分ABC，AF平分BAC，12，36，而46，2+31+4，而52+3，51+4，即5DBE，DBDE，AB为直径，ADB90，BDE为等腰直角三角形；（2）连接OD，如图，BDE为等腰直角三角形，BDDE=22BE=222=2，O的切线PD交AB的延长线于点P，ODPD，ODP90，APD30，POD90OPD60，PAD=12POD30，在RtABD中，AD=3BD=32=6，AEADDE=6-2【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三

32、角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了圆周角定理和切线的性质23如图，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆相交于点D，交BC于F（1）若ABC40，C80，求CBD的度数；（2）求证：DBDE；（3）若AB6，AC4，BC5，求DE的长【分析】（1）根据ABC40，C80，利用三角形内心定义和同弧所对圆周角相等即可求CBD的度数；（2）理解BE，根据三角形内心定义和同弧所对圆周角相等DEBDBE，从而依据等角对等边即可证明DBDE；（3）利用已知AB6，AC4，和角平分线性质可得ABAC=BFFC=32，由BC5，可得BF和FC的值，再证明BDFACF和DBFDAB，再利

33、用相似三角形的性质得到关于BD的方程，即可求DE的长【解答】解：（1）ABC40，C80，BAC180408060，点E是ABC的内心，CADBAD=12BAC30，CBDCAD30答：CBD的度数为30；（2）证明：如图，连接BE，12，34，26，16，51+3，DBE6+41+3，5DBE，DBDE；（3）12，AB6，AC4，BC5，ABAC=BFCF=32，BF3，CF2，62，DC，BDFACF，BDDF=ACCF=42=2，BFAF=DFCF，DF=12BD，DFAFBFCF6，126，BDFADB，DBFDAB，BDDA=DFBD，BD2DFDADF（AF+DF）DFAF+DF

34、26+（12BD）2，解得BD22，DEBD22答：DE的长为22【点评】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确理解三角形的内心定义24如图，P为等腰ABC内一点，ABBC，BPC108，D为AC中点，BD与PC相交于点E，已知P为ABE的内心（1）求证：PEB60；（2）求PAC的度数；【分析】（1）因点P为ABE内心，所以PB、PE、PA分别是ABE、AEB、BAE角平分线，再根据三角形内角和定理即可证明；（2）由（1）ABECBE可得BECBEA，进而可求出PAC的度数【解答】解：（1）因点P为ABE内心，所以PB、PE、PA分别是A

35、BE、AEB、BAE角平分线， 即：PBE+PEB+PAE90，又BPC108，所以PBE+PEB72，所以PAE18，BAE36，因为ABBC，且D是AC中点，所以ABECBE，又BEBE，ABCB，所以ABECBE，即BCE36，又BPC108，所以CBP36，又CBEABE2PBE，所以CBE24，所以PEBBCE+CBE60，（2）由（1）ABECBE，所以BECBEA，易知CEDAEDPEB60，所以EAD30，所以PAC30+1848【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心25已知I为RtABC的内心，A90，BI，CI的延

36、长线分别交AC，AB于点D，E，SBIC12，求S四边形EDCB【分析】将EBI，DCI分别沿BD，CE翻折，点E、D落在BC边上的E1、D1 处根据翻折的性质及内切圆的性质可得，EID135，D1IE145，EIIE1，DIID1，进而可以证明SEID=SE1ID1，可得S四边形EDCB2SBIC【解答】解：将EBI，DCI分别沿BD，CE翻折，点E、D落在BC边上的E1、D1 处，I为RtABC的内心，EIBIBC+ICB=12（ABC+ACB）45，E1IBEIB45，EID135，同理：DICD1IC45，D1IE145，EIIE1，DIID1，作DHEC，D1HE1I于点H、H，DH

37、DIsin45，D1HD1Isin45，SEID=12EIDH=12EIDIsin45，SE1ID1=12E1ID1H=12E1ID1Isin45，SEID=SE1ID1，SBEISBE1I，SCDISCD1I，S四边形EDCB2SBIC24答：S四边形EDCB为24【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，解决本题的关键是证明三角形DEI和三角形IE1D1 的面积相等26如图，不等边ABC内接于O，I是ABC内心，AI交O于D点，交BC于点E，连接BD，BI（1）求证BDID；（2）连接OI，若AIOI且AB4，BC6，求AC的长【分析】（1）根据I是ABC内心，可得BADCA

38、D，进而得DBIDIB，从而证明BDID；（2）先根据垂径定理证明AIDI，再证明AGIBHD，可得AGBH3根据I是ABC内心，即可得AC的长【解答】解：（1）证明：I是ABC内心，BADCAD，CD=BD，DBCDAB，ABICBI，DBIDBC+CBIDIBDAB+ABIDBIDIB，BDID（2）连接OD，CD=BD，根据垂径定理，得ODBC于点H，CHBH=12BC3，AIOIAIDI，AIBD，作IGAB于点G，AGIBED90，DBCBAD，AGIBHD（AAS）AGBH3过点I作IMBC，INAC于点M、N，I是ABC内心，ANAG3，BMBG431，CNCM615，ACAN+

39、CN8答：AC的长为8【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、垂径定理、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是区分三角形的内心和外心27如图，AB是O的直径，点C，P为半圆上任意两点，过点P作PEOC于点E，设OPE的内心为点M，连接OM，PM，CM，CP（1）求OMP的度数；（2）试判断CMP的形状【分析】（1）根据点M是OPE的内心，可得OM和PM平分EOP和EPO，进而可以求OMP的度数；（2）根据已知条件可以证明COMPOM，可得CMPM，CMOPMO135，再求出CMP90，进而可以判断OMP的形状【解答】解：（1）PEOC，PEO90，点M是OPE的内心，OM和PM平分EOP和EP

40、O，MOP+MPO=12（EOP+EPO）45，OMP135；（2）OM平分EOP，COMPOM，在COM和POM中，CO=POCOM=POMOM=OM，COMPOM（SAS），CMPM，CMOPMO135，CMP36013513590，CMP是等腰直角三角形【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识28如图，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆O相交于点D，过D作直线DGBC（1）求证：DG是O的切线；（2）若DE6，BC62，求阴影部分的面积【分析】（1）连接OD交BC于H，连接OB、OC，根据圆

41、周角定理和切线的判定即可证明；（2）根据垂径定理和扇形面积公式即可求出结果【解答】（1）证明：连接OD交BC于H，连接OB、OC，如图，点E是ABC的内心AD平分BAC，即BADCAD，BODCOD，BD=DC，ODBC，BHCH，DGBC，ODDG，DG是O的切线；（2）解：点E是ABC的内心，ABECBE，DBCBAD，DEBBAD+ABEDBC+CBEDBE，DBDE6，BH=12BC32，在RtBDH中，sinBDH=BHBD=326=22，BDH45，OBOD，OBD为等腰直角三角形，BOD90，BD6，OBOD32，DOCBOD90，阴影部分的面积S扇形DOCSDOC=90(32)

42、2360-123232 =929【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，扇形面积公式，解决本题的关键是综合运用以上知识29如图，点I是ABC的内心，BI的延长线与ABC的外接圆O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，ADF的平分线交AF于点G（1）求证：DG是O的切线；（2）若DE4，BE5，求DI的长【分析】（1）连接OD，根据点I是ABC的内心，和垂径定理可得ODAC，根据四边形ABCD是圆内接四边形，可得ADFABC，得DGAC，进而可以解决问题；（2）结合（1）证明DADI，根据DAEDBA，对应边成比例即可求

43、出AD的长，进而可得结论【解答】（1）证明：连接OD点I是ABC的内心，CBDABD，CD=AD，ODAC，DG平分ADF，ADG=12ADF，CBD=12ABC，四边形ABCD是圆内接四边形，ADFABC，ADGCBD，CADCBD，ADGCAD，DGAC；ODDG，DG是O的切线；（2）解：点I是ABC的内心，BAICAI，EIAIBA+IABCAD+CAI，即DIADAI，DADI，DAEDBA，ADEBDA，DAEDBA，AD：DBDE：DA，即AD：94：AD，AD6，DI6【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的判定与性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的

44、判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识30如图，O是ABC的外接圆，BC为O的直径，点E为ABC的内心，连接AE并延长交O于D点，连接BD并延长至F，使得BDDF，连接CF、BE（1）求证：DBDE；（2）求证：直线CF为O的切线；（3）若CF4，求图中阴影部分的面积【分析】（1）欲证明DBDE，只要证明DBEDEB；（2）欲证明直线CF为O的切线，只要证明BCCF即可；（3）连接OD，利用三角形中位线和扇形面积公式解答即可【解答】（1）证明：E是ABC的内心，BAECAE，EBAEBCBEDBAE+EBA，DBEEBC+DBC，DBCEAC，DBEDEB（2）连接CDDA平分BAC，DABDACBDCDBDDF，CDDBDFBCF90BCCF，CF是O的切线；（3）连接ODO、D是BC、BF的中点，CF4，OD2，BCF90，BOD90，图中阴影部分的面积扇形BOD的面积BOD的面积=9022360-1222=-2【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、扇形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型