专题26以旋转为载体的几何综合问题 -挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题26以旋转为载体的几何综合问题 【例1】（2022山东济南中考真题）如图1，ABC是等边三角形，点D在ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60，得到线段AE，连接BD，DE，CE(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_；如图3，当点F为线段BC中点，且EDEC时，猜想BAD的度数，并说明理由【答案】(1)BD=CE，理由见解析(2)BE=AE+CE；BAD=45，理由见解析【分析】（1）利用等边三角形的

2、性质和旋转的性质易得到ABDACESAS，再由全等三角形的性质求解；（2）根据线段AD绕点A按逆时针方向旋转60得到AE得到ADE是等边三角形，由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；过点A作AGEF于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到BAF=DAG，AGAD=AFAB，进而得到BADFAG，进而求出ADB=90，结合BD=CE，EDEC得到BD=AD，再用等腰直角三角形的性质求解（1）解：BD=CE证明：ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=60线段AD绕点A按逆时针方向旋转60得到AE，AD=AE，DAE=60，BAC=DAE，BACDAC=DAEDAC，即BAD

3、=CAE在ABD和ACE中AB=ACBAD=CAEAD=AE，ABDACESAS，BD=CE；（2）解：BE=AE+CE理由：线段AD绕点A按逆时针方向旋转60得到AE，ADE是等边三角形，AD=DE=AE，由（1）得BD=CE，BE=DE+BD=AE+CE；过点A作AGEF于点G，连接AF，如下图ADE是等边三角形，AGDE，DAG=12DAE=30，AGAD=cosDAG=32ABC是等边三角形，点F为线段BC中点，BF=CF，AFBC，BAF=12BAC=30，AFAB=cosBAF=32，BAF=DAG，AGAD=AFAB，BAF+DAF=DAG+DAF，即BAD=FAG，BADFAG

4、，ADB=AGF=90BD=CE，EDEC，BD=AD，即ABD是等腰直角三角形，BAD=45【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键【例2】（2022山东菏泽中考真题）如图1，在ABC中，ABC=45,ADBC于点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE(1)直接写出CE与AB的位置关系；(2)如图2，将BED绕点D旋转，得到BED（点B，E分别与点B，E对应），连接CE、AB，在BED旋转的过程中CE与AB的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请

5、说明理由；(3)如图3，当BED绕点D顺时针旋转30时，射线CE与AD、AB分别交于点G、F，若CG=FG,DC=3，求AB的长【答案】(1)CEAB，理由见解析(2)一致，理由见解析(3)53【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得ABC=DAB=45，DCE=DEC=AEH=45，可得结论；（2）通过证明ADBCDE，可得DAB=DCE，由余角的性质可得结论；（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得AB=3AD，即可求解【详解】（1）如图，延长CE交AB于H，ABC=45，ADBC，ADC=ADB=90，ABC=DAB=45，DE=CD，DCE=DEC=AEH=45，BHC=BAD+A

6、EH=90，CEAB；（2）在BED旋转的过程中CE与AB的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：如图2，延长CE交AB于H，由旋转可得：CD=DE，BD=AD，ADC=ADB=90，CDE=ADB，CDDE=ADDB=1，ADBCDE,DAB=DCE，DCE+DGC=90，DGC=AGH，DAB+AGH=90，AHC=90，CEAB；（3）如图3，过点D作DHAB于点H，BED绕点D顺时针旋转30，BDB=30,BD=BD=AD，ADB=120,DAB=ABD=30，DHAB,AD=BD，AD=2DH，AH=3DH=BH，AB=3AD，由（2）可知：ADBCDE，DAB

7、=DCE=30，ADBC，CD=3，DG=1，CG=2DG=2，CG=FG=2，DAB=30,DHAB，AG=2GF=4，AD=AG+DG=4+1=5，AB=3AD=53【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键【例3】（2022内蒙古通辽中考真题）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A (1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求2CE2DG的值为多少；(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转(090)，如图2，求：CEDG的值为多少；(3)AB=82，

8、AG=22AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转(0360)，当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度【答案】(1)2(2)2(3)4642或46+42【分析】（1）根据题意可得GEDC，根据平行线分线段成比例即可求解；（2）根据（1）的结论，可得AGAE=ADAC=12，根据旋转的性质可得DAG=CAE，进而证明GADEAC，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，证明ADGACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案（1）解：正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A，点G在AD上，F在AB上，GEDCAGDG=AEECECDG=AEAG四边形AFEG是正

9、方形 AE=2AG 2CE2DG =2CEDG=2AEAG=22=2（2）解：如图，连接AE，正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转(090)，DAG=CAEAGAE=ADAC=12GADEAC CEDG=ACAD=2，（3）解：如图， AB=82，AG=22AD，AD=AB=82,AG=2282=8,AC=2AB=16，G,E,C三点共线，RtAGC中，GC=AC2AG2=16282=83，CE=GCGE=838，由（2）可知GADEAC， CEDG=ACDA=2，DG=DACEAC=8283816 =462=4642如图：由（2）知ADGACE，DGCE=ADAC=22，DG=22CE，四边形

10、ABCD是正方形，AD=BC=82，AC=AB2+BC2=16，AG=22AD，AG=22AD=8，四边形AFEG是正方形，AGE=90，GE=AG=8，C，G，E三点共线AGC=90CG=AC2AG2=16282=83，CE=CG+EG=83+8，DG=22CE=46+42综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为4642或46+42【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键【例4】（2022山东潍坊中考真题）【情境再现】甲、乙两个含45角的直角三角尺如图放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点

11、O顺时针旋转一个锐角到图位置小莹用作图软件Geogebra按图作出示意图，并连接AG,BH，如图所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明OBEOAF，可得OE=OF请你证明：AG=BH【迁移应用】延长GA分别交HO,HB所在直线于点P，D，如图，猜想并证明DG与BH的位置关系【拓展延伸】小亮将图中的甲、乙换成含30角的直角三角尺如图，按图作出示意图，并连接HB,AG，如图所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系【答案】证明见解析；垂直；BH=3AG【分析】证明BOHAOG，即可得出结论；通过BHO=AGO，可以求出DGH+BHO+OHG=90，得出结论AGBH；证明BOHA

12、OG，得出AGBH=OAOB=33，得出结论；【详解】证明： AB=AC,AOBC， OA=OB,AOB=90， BOH+AOH=90,AOG+AOH=90， BOH=AOG， OH=OG， BOHAOG， AG=BH；迁移应用：DGBH，证明： BOHAOG， BHO=AGO， DGH+AGO=45， DGH+BHO=45， OHG=45， DGH+BHO+OHG=90， HDG=90， DGBH；拓展延伸：BH=3AG，证明：在RtAOB中，tan30=OAOB=33，在RtHOG中，tan30=OGOH=33， OAOB=OGOH，由上一问题可知，BOH=AOG， BOHAOG， AGB

13、H=OAOB=33， BH=3AG【点睛】本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质【例5】（2022辽宁锦州中考真题）如图，在ABC中，AB=AC=25,BC=4，D，E，F分别为AC,AB,BC的中点，连接DE,DF (1)如图1，求证：DF=52DE；(2)如图2，将EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DPAB时，求DN的长【

14、答案】(1)见解析(2)FN=52EM，理由见解析(3)103【分析】（1）连接AF，可得AFBC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=12AC=5，根据中位线定理可得DE=12BC=2，即可得证；（2）证明DNFDME，根据（1）的结论即可得FN=52EM；（3）连接AF，过点C作CHAB于H，证明AGDAHC，可得GD=12HC=455，勾股定理求得GE,AG，根据tanADG=AGGD=34，EMG=ADG，可得tanEMG=EGMG=34，进而求得MG，根据MD=MG+GD求得MD，根据（2）的结论DN=52DM，即可求解（1）证明：如图，连接AF， AB=AC=25,B

15、C=4，D，E，F分别为AC,AB,BC的中点，DE=12BC=2，AFBC， DF=12AC=5， DF=52DE，（2）FN=52EM，理由如下，连接AF，如图， AB=AC=25,BC=4，D，E，F分别为AC,AB,BC的中点，EF=12AC=CD,EFDC，四边形CDEF是平行四边形，DEF=C， DF=12AC=DC，DFC=C，DEF=DFC，180DEF=180DFC， DEM=DFN，将EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到PDQ， EDF = PDQ，FDN+NDE=EDM+NDE，FDN=EDM，DNFDME，NFEM=DFDE=52， FN=52EM，（3）如图，连接AF

16、，过点C作CHAB于H，RtAFC中，FC=12BC=2, AF=AC2FC2=4，SABC=12BCAF=12ABCH，HC=BCAFAB=4425=855， DPAB，AGDAHC，GDHC=ADAC=12，GD=12HC=455，RtGED中，GE=ED2GD2=224552=255，RtAGD中，AG=AD2GD2=524552=355，tanADG=AGGD=355455=34，EFAD，EMG=ADG，tanEMG=EGMG=34，MG=43GE=43255=8515，MD=MG+GD=8515+455=453， DNFDME，DNDM=DFDE=52，DN=52DM=52453=

17、103【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键一、解答题【共20题】1（2022辽宁阜新中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，DEF绕点D旋转（DEAB），EDF=90，DE=DF，连接AE，CF(1)如图1，求证：ADECDF；(2)直线AE与CF相交于点G如图2，BMAG于点M，BNCF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值【答案】(1)见解析(2)见解析26【分析】1根据SAS证明

18、三角形全等即可；2根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；作DHAG交AG于点H，作BMAG于点M，证明BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得结论【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形，AD=DC，ADC=90DE=DF，EDF=90ADC=EDF，ADE=CDF，在ADE和CDF中，DA=DCADE=CDFDE=DF ADECDFSAS；（2）证明：如图2中，设AG与CD相交于点P ADP=90，DAP+DPA=90ADECDF，DAE=DCFDPA=GPC，DAE+DPA=GPC+GCP=90PGN=90，BMAG，BNGN，四边形BMGN是矩形，MBN=90四边形ABCD是正方形

19、，AB=BC，ABC=MBN=90ABM=CBN又AMB=BNC=90，AMBCNBMB=NB矩形BMGN是正方形；解：作DHAG交AG于点H，作BMAG于点M， DHA=AMB=90,ADH=90DAH=BAM,AD=ABAMBDHABM=AHAH2=AD2DH2，AD=4，DH最大时，AH最小，DH最大值=DE=2BM最小值=AH最小值=23由2可知，BGM是等腰直角三角形，BG最小值=2BM=26【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题2（2022江苏南通中

20、考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于BAC，连接CF(1)当点E在BC上时，作FMAC，垂足为M，求证AM=AB；(2)当AE=32时，求CF的长；(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值【答案】(1)见详解(2)3或13(3)35【分析】（1）证明ABEAMF即可得证（2）分情况讨论，当点E在BC上时，借助ABEAMF，在RtCMF中求解；当点E在CD上时，过点E作EGAB于点G，FHAC于点H，借助AGEAHF并利用勾股定理求解即可（3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，

21、DF的最小值也不同，综合比较取最小即可（1）如图所示，由题意可知，AMF=B=90，BAC=EAF，BAE=MAF，由旋转性质知：AE=AF，在ABE和AMF中，B=AMFBAE=MAFAE=AF，ABEAMF，AM=AB（2）当点E在BC上时，在RtABE中，AB=4，AE=32，则BE=AE2AB2=2，在RtABC中，AB=4，BC=3，则AC=AB2+BC2=5，由（1）可得，MF=BE=2，在RtCMF中，MF=2，CM=ACAM=54=1，则CF=MF2+CM2=3，当点E在CD上时，如图，过点E作EGAB于点G，FHAC于点H，同（1）可得AGEAHF，FH=EG=BC=3,AH

22、=AG=3,HC=2，由勾股定理得CF=32+22=13；故CF的长为3或13（3）如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作DHFM于点H，由（1）知，AMF=90，故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小在CMJ与CDA中，CMJ=ADCMCJ=ACD，RtCMJRtCDA，CMCD=MJAD=CJAC，即14=MJ3=CJ5，MJ=34，CJ=54，DJ=CDCJ=454=114，在CMJ与DHJ中，CMJ=DHJCJM=DJH，RtCMJRtDHJ，CMDH=CJDJ，即1DH=54114，DH=115，故DF的最小值115；如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕

23、点A顺时针旋转BAC的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作DQAR，DKFR，由题意可知，DAE=RAF，在ARF与ADE中，AD=ARDAE=RAFAE=AF，ADEARF，ARF=ADE=90，故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小；由于DQAR，DKFR，ARF=90，故四边形DQRK是矩形；DK=QR，AQ=ADcosBAC=345=125，AR=AD=3，DK=QR=ARAQ=3125=35，故此时DF的最小值为35；由于35115，故DF的最小值为35【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是

24、各性质定理的综合应用3（2022辽宁盘锦中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，ECF为等腰直角三角形，ECF90，点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将RtECF绕点C顺时针旋转，旋转角为（0360）(1)如图1，当0时，DG与PG的关系为；(2)如图2，当90时求证：AGDFGM；（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由【答案】(1)DG=PG且DGGP(2)见解析；成立，理由见解析【分析】（1）先判断出ABEADF，得出AE=AF，DAF=BAE，再用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和三角形中位线定理、三角形外角

25、和定理，即可得出结论；（2）先判断出DAG=MFG，再判断出AF=FG，即可得出结论；由知，AGDFGM，得DG=MG，AD=FM=BC得出CM=CF，根据题（1）DE=CE，得出CM=DE，得ADEDCM，得AE=DM又根据点G是DM的中点，PG是AEF的中位线，等量代换得DG=PG根据ADEDCM得DAE=CDM，且EDA=EDN+ADN=90，推出AND=90，又根据PGAF，同旁内角互补，得NGP=90，即DGGP（1）解：四边形ABCD是正方形B=ADC=90，AB=BC=AD=CDECF为等腰直角三角形CE=CFCECF，BE=DFABEADFAE=AF，DAF=BAE点G是AF的

26、中点DG=12AFDG=12AEP为EF中点，G为AF中点PG是AEF的中位线PG=12AE，PGAEDG=PG，FAE=FGP又在ADF中DG=AG=GFDAF=ADG且DAF+ADG=DGF2DAF=DGFDAF+FAE+EAB=902DAF+FAE=90DGF+FAE=90DGF+FGP=90DGGP故DG=PG且DGGP故答案是：DG=PG且DGGP；（2）证明：四边形ABCD是正方形，DAG=MFGADBC点G是AF的中点AG=FG在AGD和FGM中DAG=MFGAG=FGAGD=FGMAGDFGM(ASA)解：（1）中的结论DG=PG且DGGP成立证明：由知，AGDFGMDG=MG

27、，AD=MF=BGBM=CF=12BCCM=CFDE=CFCM=DE又AD=CD，ADE=DMC=90ADEDCMAE=DM，DAE=CDM点G是DM的中点DG=MG=12DM=12AE又P为EF中点，G为AF中点PG是AEF的中位线PG=12AF，PGAFDG=PG又EDA=EDN+ADN=90DAE+ADN=90AND=90ENG=90又PGAFENG+NGP=180NGP=90DGGP故DG=PG且DGGP【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是全等三角形性质，三角形中位线定理，等量代换的转换运用4

28、（2022山东青岛中考真题）如图，在RtABC中，ACB=90,AB=5cm,BC=3cm，将ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到ADE，连接CD点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/sPQ交AC于点F，连接CP,EQ设运动时间为t(s)(0t5)解答下列问题：(1)当EQAD时，求t的值；(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使PQCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)165s(2)S=12t23710t+14(3)存在，t=6529s【分析

29、】（1）利用AQEAED得AQAE=AEAD，即t4=45，进而求解；（2）分别过点C，P作CMAD,PNBC，垂足分别为M，N，证ABCCAM得，ABCA=BCAM=ACCM，求得AM=125，CM=165，再证BPNBAC得BPBA=PNAC，得出PN=45t，根据S=S四边形PCDQ=SABC+SACDSAPQSBPC即可求出表达式；（3）当PQCD时AQP=ADC，易证APQMCD，得出APMC=AQMD，则5t165=t135，进而求出t值（1）解：在RtABC中，由勾股定理得，AC=AB2BC2=259=4ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到ADEAD=5，DE=3，AE=4，AE

30、D=90，BAD=90EQADAQE=AED=90又EAQ=DAEAQEAEDAQAE=AEADt4=45t=165答：当EQAD时，t的值为165s（2）解：分别过点C，P作CMAD,PNBC，垂足分别为M，NB+BAC=90,CAM+BAC=90B=CAM又BCA=AMC=90ABCCAMABCA=BCAM=ACCM54=3AM=4CMAM=125，CM=165B=B，BNP=BCA=90BPNBACBPBA=PNACt5=PN4PN=45tSABC=12BCAC=1234=6,SACD=12ADCM=125165=8SPBC=12BCPN=12345t=65t,SAPQ=12AQAP=1

31、2t(5t)S=S四边形PCDQ=SABC+SACDSAPQSBPC=6+812t(5t)65t=12t23710t+14S=12t23710t+14（3）解：假设存在某一时刻t，使PQCDAD=5,AM=125DM=ADAM=5125=135PQCDAQP=ADC又PAQ=CMD=90APQMCDAPMC=AQMD5t165=t135t=6529存在时刻t=6529s，使PQCD【点睛】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图形是解决问题的关键，是中考中的常考题5（2022辽宁本溪市教师进修学院中考真题）在ABC中，BAC=90,AB=AC，线段A

32、B绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为，DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC(1)如图，当=20时，AEB的度数是_；(2)如图，当090时，求证：BD+2CE=2AE；(3)当0180,AE=2CE时，请直接写出BDED的值【答案】(1)45(2)见解析(3)22+2或222【分析】（1）根据旋转的性质可知AB=AD，当=20时可根据等腰三角形的性质计算ADB的角度，再由BAC=90，AE是DAC的平分线可知DAE=35，由三角形外角的性质，通过AEB=ADBDAE即可得出答案；（2）延长DB到F，使BF=CE，连接AF，先证明ADEACE，可推导DEA=CEA

33、、ADE=ACE、DE=CE，再由已知条件及等腰三角形的性质推导DEA=CEA=45，然后证明ABFACE，推导FAE=90，在RtAFE中，由三角函数可计算EF=2AE，即可证明BD+2CE=2AE；（3）分两种情况讨论：当090时，借助（2）可知BD=(222)CE，再求BDED的值即可；当90180时，在线段BD上取点F，使得BF=CE，结合（2）中ADEACE，可知DE=CE、ADE=ACE，易证明ABFACE，可推导BAF=CAE、AE=AF、EAF=90， AEF=AFE=45，在RtAFE中，由三角函数可计算EF=2AE，即可推导BD=(22+2)CE，再求BDED的值即可（1）

34、解：由旋转可知，AB=AD，当=20时，可知ABD=ADB=1802=180202=80，BAC=90，AE是DAC的平分线，DAE=BAC2=90202=35，AEB=ADBDAE=8035=45故答案为：45；（2）证明：延长DB到F，使BF=CE，连接AFAB=AC，AD=AB，AD=AC，AE平分DAC，DAE=CAE，AE=AE，ADEACE，DEA=CEA，ADE=ACE，DE=CE，AB=AD，ABD=ADB，ADE+ADB=180，ACE+ABD=180，BAC=90，BEC=360(ACE+ABD)BAC=36018090=90，DEA=CEADEA=CEA=1290=45，

35、ABF+ABD=180，ACE+ABD=180，ABF=ACE，AB=AC，BF=CE，ABFACE，AF=AE，AFB=AEC=45，FAE=180AFBDEA=1804545=90，在RtAFE中，FAE=90，cosAEF=AEEF，EF=AEcosAEF=AEcos45=2AE，EF=BF+BD+DE=CE+BD+CE=BD+2CE，BD+2CE=2AE；（3）当090时，由（2）可知，DE=CE，BD+2CE=2AE，BD=2AE2CE，当AE=2CE时，可知BD=22CE2CE=(222)CE，BDED=(222)CEED=(222)CECE=222；当90180时，如下图，在线段

36、BD上取点F，使得BF=CE，由（2）可知，ADEACE，DE=CE，ADE=ACE，AB=AC，ABF=ADE，ABF=ACE，BF=CE，ABFACE(SAS)，BAF=CAE，AE=AF，EAF=CAF+CAE=CAF+BAF=BAC=90，AEF=AFE=180EAF2=45，在RtAFE中，cosAEF=AEEF，EF=AEcosAEF=AEcos45=2AE，BD=BF+EF+DE=CE+2AE+CE=2AE+2CE，当AE=2CE时，可知BD=22CE+2CE=(22+2)CE，BDED=(22+2)CEED=(22+2)CECE=22+2综上所述，当0180,AE=2CE时，

37、BDED=22+2或BDED=222【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角函数解直角三角形的知识，解题关键是熟练掌握相关性质，并通过作辅助线构建全等三角形6（2022广西梧州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y=518x2+bx+c恰好经过这两点(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是0,6，将ACO绕着点C逆时针旋转90得到ECF，点A的对应点是点E写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；若点P是y轴上的任一点，求35BP+EP取最小值时，点P的坐标【答案】(1)y=518x212x4(2

38、)点E在抛物线上；P（0，32）【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；（2）根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；过点E作EHAB，交y轴于P，垂足为H，sinABO=AOAB=HPBP=35，则HP=35BP，得35BPEPHPPE，可知HPPE的最小值为EH的长，从而解决问题（1）解：当x=0时，y=-4，当y=0时，43x4=0，x=-3，A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入抛物线y=518x2+bx+c，得518(3)23b+c=0c=4，b=12c=4，抛

39、物线解析式为y=518x212x4（2）解：A（-3，0），C（0，6），AO=3，CO=6，由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，FCO=90E到x轴的距离为6-3=3，点E的坐标为（6，3），当x=3时，y=518621264=3，点E在抛物线上；过点E作EHAB，交y轴于P，垂足为H，A（3，0），B（0，4），OA3，OB4，AB5，sinABO=AOAB=HPBP=35，HP=35BP，35BPEPHPPE，HPPE的最小值为EH的长，作EGy轴于G，GEPABO，tanGEPtanABO，PGEG=AOBO，PG6=34，PG92，OP92332，P（0，32）【点睛】本题是二

40、次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将35BP转化为HP的长是解题的关键7（2022湖南岳阳中考真题）如图，ABC和DBE的顶点B重合，ABC=DBE=90，BAC=BDE=30，BC=3，BE=2(1)特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：ADCE=_，直线AD与直线CE的位置关系是_；(2)探究证明：如图2，将图1中的DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图3，将图1中的DBE绕点B顺时针

41、旋转(1960)，连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF=BE时，求tan60的值【答案】(1)3，垂直(2)成立，理由见解析(3)859311【分析】（1）解直角三角形求出EC，AD，可得结论；（2）结论不变，证明ABDCBE，推出ADEC=ABBC=3，ADB=BEC，可得结论；（3）如图3中，过点B作BJAC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KTAC于点K.求出BJ，JK，可得结论(1)解：在RtABC中，B=90，BC=3，A=30，AB=3BC=33，在RtBDE中，BDE=30，BE=2，BD=3BE=23，EC=1，AD=3，ADEC=3，此时ADEC，故答案为：3，垂直

42、；(2)结论成立理由：ABC=DBE=90，ABD=CBE，AB=3BC，BD=3BE，ACBC=DBEB，ABDCBE，ADEC=ABBC=3，ADB=BEC，ADB+CDB=180，CDB+BEC=180，DBE+DCE=180，DBE=90，DCE=90，ADEC；(3)如图3中，过点B作BJAC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KTAC于点KAJB=90，BAC=30，ABJ=60，KBJ=60AB=33，BJ=12AB=332，AJ=3BJ=92，当DF=BE时，四边形BEFD是矩形，ADB=90，AD=AB2BD2=(33)2(23)2=15，设KT=m，则AT=3m，AK=2m

43、，KTB=ADB=90，tan=KTBT=ADBD，mBT=1523，BT=255m，3m+255m=33，m=4561511，AK=2m=90121511，KJ=AJAK=9290121511=24158122，tan60=KJBJ=859311【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题8（2022湖北十堰中考真题）已知ABN=90，在ABN内部作等腰ABC，AB=AC，BAC=090点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，连接EC并

44、延长交射线BN于点F(1)如图1，当=90时，线段BF与CF的数量关系是_；(2)如图2，当090时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)若=60，AB=43，BD=m，过点E作EPBN，垂足为P，请直接写出PD的长（用含有m的式子表示）【答案】(1)BF=CF(2)成立；理由见解析(3)PD=6m2或PD=0或PD=m26【分析】（1）连接AF，先根据“SAS”证明ACEABD，得出ACE=ABD=90，再证明RtABFRtACF，即可得出结论；（2）连接AF，先说明EAC=BAD，然后根据“SAS”证明ACEABD，得出ACE=ABD=90，再证明Rt

45、ABFRtACF，即可得出结论；（3）先根据=60，AB=AC，得出ABC为等边三角形，再按照BAD60，BAD=60，BAD60三种情况进行讨论，得出结果即可（1）解：BF=CF；理由如下：连接AF，如图所示：根据旋转可知，DAE=90，AE=AD，BAC=90，EAC+CAD=90，BAD+CAD=90，EAC=BAD，AC=AB，ACEABD（SAS），ACE=ABD=90，ACF=18090=90，在RtABF与RtACF中AB=ACAF=AF，RtABFRtACF（HL），BF=CF故答案为：BF=CF（2）成立；理由如下：连接AF，如图所示：根据旋转可知，DAE=，AE=AD，BA

46、C=，EACCAD=，BADCAD=，EAC=BAD，AC=AB，ACEABD，ACE=ABD=90，ACF=18090=90，在RtABF与RtACF中AB=ACAF=AF，RtABFRtACF（HL），BF=CF（3）=60，AB=AC，ABC为等边三角形，ABC=ACB=BAC=60，AB=AC=BC=43，当BAD60时，连接AF，如图所示：根据解析（2）可知，RtABFRtACF，BAF=CAF=12BAC=30，AB=43，tanBAF=tan30=BFAB，即BF=ABtan30=4333=4，CF=BF=4，根据解析（2）可知，ACEABD，CE=BD=m，EF=CF+CE=4

47、+m，FBC=FCB=9060=30，EFP=FBC+FCB=60，EPF=90，FEP=9060=30，PF=12EF=124+m=2+m2，BP=BF+PF=4+2+m2=6+m2，PD=BPBD=6+m2m=6m2；当BAD=60时，AD与AC重合，如图所示：DAE=60，AE=AD，ADE为等边三角形，ADE=60，ADB=90BAC=30，ADE=60+30=90，此时点P与点D重合，PD=0；当BAD60时，连接AF，如图所示：根据解析（2）可知，RtABFRtACF，BAF=CAF=12BAC=30，AB=43，tanBAF=tan30=BFAB，即BF=ABtan30=4333

48、=4，CF=BF=4，根据解析（2）可知，ACEABD，CE=BD=m，EF=CF+CE=4+m，FBC=FCB=9060=30，EFP=FBC+FCB=60，EPF=90，FEP=9060=30，PF=12EF=124+m=2+m2，BP=BF+PF=4+2+m2=6+m2，PD=BDBF=m6+m2=m26；综上分析可知，PD=6m2或PD=0或PD=m269（2022山西中考真题）综合与实践问题情境：在RtABC中，BAC=90，AB=6，AC=8直角三角板EDF中EDF=90，将三角板的直角顶点D放在RtABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，

49、AC交于点M，N，猜想证明：（1）如图，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图，在三角板旋转过程中，当B=MDB时，求线段CN的长；（3）如图，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）CN=258；（3）AN=257【分析】（1）由三角形中位线定理得到MDAC ，证明A=AMD=MDN=90，即可证明结论；（2）证明NDC是等腰三角形，过点N作NGBC于点G，证明CGNCAB，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长ND，使DH=DN，证明BDHCDN，推出B

50、H=CN，DBH=C，证明MBH=90，设AM=AN=x，在RtBMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形理由如下：点M为AB的中点，点D为BC的中点，MDAC，AMD+A=180，A=90，AMD=90，EDF=90，A=AMD=MDN=90，四边形AMDN为矩形；（2）在RtABC中，A=90，AB=6，AC=8，B+C=90，BC=AB2+AC2=10点D是BC的中点，CD=12BC=5EDF=90，MDB+1=90B=MDB，1=CND=NC过点N作NGBC于点G，则CGN=90CG=12CD=52C=C，CGN=CAB=90，CGNCABCGC

51、A=CNCB，即528=CN10，CN=258；（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，MDHN，MN=MH，D是BC中点，BD=DC，又BDH=CDN，BDHCDN，BH=CN，DBH=C，BAC=90，C+ABC=90，DBH+ABC=90，MBH=90，设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=2x，在RtBMH中，BM2+BH2=MH2，(6-x)2+(8-x)2=(2x)2，解得x=257，线段AN的长为257【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题

52、10（2022湖北武汉中考真题）如图是由小正方形组成的96网格，每个小正方形的顶点叫做格点ABC的三个顶点都是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示(1)在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点先将点B绕点E旋转180得到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DGBC；(2)在图（2）中，P是边AB上一点，BAC=先将AB绕点A逆时针旋转2，得到线段AH，画出线段AH，再画点Q，使P，Q两点关于直线AC对称【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【分析】（1）取格点，作平行四边形，利用平行四边形对角顶点关于对角线交点对称即可求点F；平行四边形对边在网格中与格线的

53、交点等高，连接等高点即可作出DGBC；（2）取格点，作垂直平分线即可作出线段AH；利用垂直平分线的性质，证明三角形全等，作出P，Q两点关于直线AC对称（1）解：作图如下：取格点F，连接AF，AFBC且AF=BC，所以四边形ABCF是平行四边形，连接 BF，与AC的交点就是点E，所以BE=EF，所以点F即为所求的点； 连接CF，交格线于点M，因为四边形ABCF是平行四边形，连接DM交AC于一点，该点就是所求的G点；（2）解：作图如下：取格点D、E，连接DE，AC平行于DE，取格点R，连接BR并延长BR交DE于一点H，连接AH，此线段即为所求作线段；理由如下：取格点W连接AW、CW，连接CR，AW

54、CRCB，WAC=CRB， WAC+ACW=90，CRB+ACW=90， RKC=90，ACBH，DHCK， BKBH=BCBD ，点C是BD的中点，点K是BH的中点， 即BK=KH，AC垂直平分BH，AB=AH连接PH，交AC于点M，连接BM交AH于点Q，则该点就是点P关于AC直线的对称点理由如下：AC垂直平分BH，BMH是等腰三角形，PAM=QAM， BMK=AMQ=HMK=AMP，AMPAMQ，AP=AQ，P，Q两点关于直线AC对称.【点睛】本题考查了用无刻度直尺在网格中作图的知识，找准格点作出平行四边形和垂直平分线是解决本题的关键11（2022四川广元中考真题）在RtABC中，ACBC

55、，将线段CA绕点C旋转（090），得到线段CD，连接AD、BD(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转，则ADB的度数为 ；(2)将线段CA绕点C顺时针旋转时在图2中依题意补全图形，并求ADB的度数；若BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明【答案】(1)135(2)（2）补全图形见解析；ADB=45；2BE-AD=2CE理由见解析【分析】（1）由题意得点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的C上，利用圆内接四边形的性质即可求解；（2）根据题意补全图形即可；同（1），利用圆周角定理即可求解；过点C作CHEC于点C，交ED

56、的延长线于点H，证明BE=DE，CEH是等腰直角三角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论【详解】（1）解：由题意得：CA=CD=CB，点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的C上，如图，在优弧AB上取点G，连接AG，BG，RtABC中，BCA=90，BGA=45，四边形ADBG是圆内接四边形，ADB=180-45=135，故答案为：135；（2）补全图形，如图：由题意得：CA=CD=CB，点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的C上，如图，RtABC中，BCA=90，ADB=45；2BE-AD=2CE理由如下：过点C作CHEC于点C，交ED的延长线于点H，如图：CD

57、=CB，CE是BCD的平分线，CE是线段BD的垂直平分线，BE=DE，EFD=90，由知ADB=45，DEF=45，CEH是等腰直角三角形， DEF=H=45，CE=CH，CD=CA，CAD=CDA，则CAE=CDH，AECDHC，AE=DH，EH=2ED-AD=2BE-AD，CEH是等腰直角三角形，2BE-AD=2CE【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和等腰直角三角形解决问题12（2022江苏连云港中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角

58、板按照如图1所示的方式摆放其中ACB=DEB=90，B=30，BE=AC=3【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转(1)如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长(2)若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离(3)连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长(4)如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是_【答案】(1)23(2)61(3)536(4)734【分析】（1）在RtBEF中，根据余弦的定义求解即可；（2）分点E在BC上方和下

59、方两种情况讨论求解即可；（3）取BC的中点O，连接GO，从而求出OG=3，得出点G在以O为圆心，3为半径的圆上，然后根据弧长公式即可求解；（4）由（3）知，点G在以O为圆心，3为半径的圆上，过O作OHAB于H，当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点G到直线AB的距离的最大，在RtBOH中求出OH，进而可求GH.（1）解：由题意得，BEF=BED=90，在RtBEF中，ABC=30，BE=3，cosABC=BEBFBF=BEcosABC=3cos30=23（2）当点E在BC上方时，如图一，过点D作DHBC，垂足为H，在ABC中，ACB=90，ABC=30，AC=3，tanABC=ACBC，B

60、C=ACtanABC=3tan30=33在BDE中，DEB=90，DBE=ABC=30，BE=3，tanDBE=DEBE，DE=BEtan30=3点C、E、D在同一直线上，且DEB=90，CEB=180DEB=90又在CBE中，CEB=90，BC=33，BE=3，CE=BC2BE2=32，CD=CE+DE=32+3在BCD中，SBCD=12CDBE=12BCDH，DH=CDBEBC=6+1当点E在BC下方时，如图二，在BCE中，CEB=90，BE=3，BC=33，CE=BC2BE2=32CD=CEDE=323过点D作DMBC，垂足为M在BDC中，SBDC=12BCDM=12CDBE，DM=61

61、综上，点D到直线BC的距离为61（3）解：如图三，取BC的中点O，连接GO，则GO=12BD=3点G在以O为圆心，3为半径的圆上当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150所对的圆弧，圆弧长为15036023=536点G所经过的路径长为536（4）解：由（3）知，点G在以O为圆心，3为半径的圆上，如图四，过O作OHAB于H，当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点G到直线AB的距离的最大，在RtBOH中，BHO=90，OBH=30，BO=12BC=332，OH=BOsinOBH=332sin30=334，GH=OG+OH=3+334=7

62、34，即点G到直线AB的距离的最大值为734.【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点E在BC上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键.13（2022四川达州中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，ACB=ECD=90，随后保持ABC不动，将CDE绕点C按逆时针方向旋转（090），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当EDBC时，则=_；(2)【初步探究】如图3，

63、当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：_；(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由(4)【拓展延伸】如图5，在ABC与CDE中，ACB=DCE=90，若BC=mAC，CD=mCE（m为常数）保持ABC不动，将CDE绕点C按逆时针方向旋转（090），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由【答案】(1)45(2)BF=AF+2CF(3)BF=AF+2CF仍然成立，理由见解析(4)BF=1+m2FC+mAF【分析】（1）根据等腰直角三角形

64、的性质，可得ACBC，根据题意可得ACED，根据等原三角形的性质可得AC平分ECD，即可得ACE=45，根据旋转的性质可知ECA=；（2）证明ACE BCD，可得AE=DB，根据等腰直角三角形可得ED=2CE，由BE=BD+ED，即可即可得出BF=AF+2CF；（3）同（2）可得ACE BCD，过点C，作CHFC，交BF于点H，证明FECHDC，AFC BHC，可得BH=AF，即可得出BF=AF+2CF；（4）过点C作CGCF，交BF于点G，证明ACEBCD，可得BG=mAF，GC=mFC，在RtFCG中，勾股定理可得FG=1+m2FC，即可得出BF=1+m2FC+mAF【详解】（1）等腰直角

65、三角形ABC和等腰直角三角形CDE，ECD=90，ACBCEDBCEDACACE=45故答案为：45（2）ACB=ECD=90ACE+ACD=ACD+BCDACE=BCD在ACE与BCD中，AC=BCACE=BCDEC=DC ACE BCD AE=DBBE=BD+ED又ED=2CEBE=AE+2CEE,F重合，BF=AF+2CF故答案为：BF=AF+2CF（3）同（2）可得ACE BCDAE=DB，EAC=DBC过点C，作CHFC，交BF于点H，则ECF+FCD=FCD+DCH=90， ECF=DCH，在FEC与HDC中，FEC=HDCEC=CDECF=DCH， FECHDC，FC=CH，CF

66、H是等腰直角三角形，FH=2FC，CH=FC，FCH=ACF+ACH=90,ACB=BCH+ACH=90，ACF=BCH，在AFC与BHC中，FC=HCACF=BCHAC=BC， AFC BHC，BH=AF，BF=FH+BH=2CF+AF，即BF=AF+2CF，（4）过点C作CGCF，交BF于点G， BC=mAC，CD=mCE，BCAC=CDCE，ACEC=BCDC，ACE=BCD=，ACEBCD，CBG=CAF， FCA+ACG=GCB+ACG， FCA=GCB，AFCBGC，BGAF=GCFC=BCAC =m，BG=mAF，GC=mFC，RtFCG中，FG=FC2+CG2=1+m2FC，

67、BF=FG+GB=1+m2FC+mAF，即BF=1+m2FC+mAF【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键14（2021辽宁沈阳中考真题）在ABC中，AB=AC，CDE中，CE=CD（CECA），BC=CD，D=，ACB+ECD=180，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB=PD（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则ECD=_，ABP=_，（用含的代数式表示）；（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分ABC；（3）若ABC=60，BC=3+1，将

68、图3中的CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BPDE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长【答案】（1）1802，；（2）见解析；（3）GM的长为3+22或12【分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可（2）如图2中，连接BD证明PBC=CDE=，可得结论（3）分两种情形：如图31中，设BP交AC于J图32中，设PC交BC于K，当BPPC时，利用三角形的中位线定理，可得GM=12PB，求出PB，可得结论【详解】（1）解：如图1中，CE=CD，D=E=，ECD=1802，ECB=E+D=2，AB=AC，ABC=ACB=2，PB=PD，PBD=D=，ABP=A

69、BCPBD=，（2）证明：如图2中，连接BDCB=CD，PB=PD，CBD=CDB，PBD=PDB，PBC=PDC=，ABC=2，ABP=PBC=，PB平分ABC（3）解：如图31中，设BP交AC于JBPPD，BP=PD，PBD是等腰直角三角形，CB=CD，PB=PD，PG垂直平分线段BG，BG=DG，PM=MD，GM=12PB，ABC=ACB=60，ECD=18060=120，ACB是等边三角形，CE=CD，CDE=30，PBC=PDC=30，BJC=90，CJ=12BC=3+12，BJ=3CJ=3+32，CPD=CPJ=45，PJ=JC=3+12，PB=BJ+PJ=3+2，GM=3+22如

70、图32中，设PC交BC于K，当BPPC时，同法可证GM=12PBPBC=30，GPB=PBC+PCB=45，PCB=PCD=15，KCE=1201515=90，E=30，CE=CB=3+1，CK=EC3=1+33，KB=BCCK=233，PB=BKcos30=23332=1，GM=12PB=12，综上所述，GM的长为3+22或12【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题15（2021

71、山东日照中考真题）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=23，ABD=30，点E是边AB的中点，过点E作EFAB交BD于点F实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF绕点B按逆时针方向旋转90，如图2所示，得到结论：AEDF=_；直线AE与DF所夹锐角的度数为_（2）小王同学继续将BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由拓展延伸：在以上探究中，当BEF旋转至D、E、F三点共线时，则ADE的面积为_【答案】（1）32，30；（2）成立，理由见解析；拓展延伸：133+398或133398【分析】（1）通过证明FBDEBA

72、，可得AEDF=BEBF=32，BDF=BAE，即可求解；（2）通过证明ABEDBF，可得AEDF=BEBF=32，BDF=BAE，即可求解；拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE，DG的长，即可求解【详解】解：（1）如图1，ABD=30，DAB=90，EFBA，cosABD=BEBF=ABDB=32，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，BEF绕点B按逆时针方向旋转90，DBF=ABE=90，FBDEBA， AEDF=BEBF=32，BDF=BAE，又DOB=AOF，DBA=AHD=30，直线AE与DF所夹锐角的度数为30，故答案为：32，30；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3

73、，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，将BEF绕点B按逆时针方向旋转，ABE=DBF，又 BEBF=ABDB=32，ABEDBF， AEDF=BEBF=32，BDF=BAE，又DOH=AOB，ABD=AHD=30，直线AE与DF所夹锐角的度数为30拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DGAE于G，AB=23，ABD=30，点E是边AB的中点，DAB=90，BE=3，AD=2，DB=4，EBF=30，EFBE，EF=1，D、E、F三点共线，DEB=BEF=90，DE=BD2BE2=163=13，DEA=30，DG=12DE=132，由（2）可得：AEDF=BEBF=32， AE

74、13+1=32，AE=39+32，ADE的面积=12AEDG=1239+32132=133+398；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DGAE，交EA的延长线于G，同理可求：ADE的面积=12AEDG=123932132=133398；故答案为：133+398或133398【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键16（2022江苏淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）（1）如图1，在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD39，连接AC，BD交于点M填空：ACBD的值为

75、，AMB的度数为 ；（2）如图2，在OAB和OCD中，AOBCOD90，OBAODC60，连接AC交BD的延长线于点M请判断ACBD的值，并说明理由；（3）在（2）的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD1，OB6；点Q为CD的中点，则在旋转的过程中，AQ的最大值为 【答案】（1）1，39；（2）3，理由见解析；（3）32+1【分析】（1）根据已知条件证明COADOB，即可证明AC=BD；根据COADOB可得CAO=DBO，根据已知条件可得OAB+ABO=141，然后在AMB中，根据等角的转换即可得到答案；（2）根据已知条件证明AOCBOD，即可求出；（3）找出

76、Q的运动轨迹是以点O为圆心的圆上，根据一箭穿心模型即可求出AQ的最大值【详解】解：（1）如图1，AOB=COD=40，COA=DOB，OC=OD，OA=OB，COADOB（SAS），AC=BD，ACBD=1，COADOB，CAO=DBO，AOB=39，OAB+ABO=141，在AMB中，AMB=180（CAO+OAB+ABD）=180（DBO+OAB+ABD）=180141=39，（2）如图2，ACBD=3理由是：在RtCOD中，DCO=30，DOC=90，ODOC=tan30=33，同理得：OBOA=tan30=33，OBOA=ODOC，AOB=COD=90，AOC=BOD，AOCBOD，A

77、CBD=OCOD=3；（3）解：连接OQ，Q为CD的中点，COD为直角三角形，OQ=12CD ，又OCD=30 ，OD=1，CD=2，OQ=1，点Q在以O为圆心，1为半径的圆上，当A,O,Q三点共线时，AQ最大，BOA为直角三角形，OB=6，OBA=60，OA=OBtan60=63=32，AQ=AO+OQ=32+1【点睛】本题考查全等三角形和相似三角形的判定和性质的综合应用，本题涉及两个常见的几何模型：手拉手全等模型，手拉手相似模型，以及利用隐形圆求最值本题的难度较大，是中考题中常见的几何综合题17（2022广东深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）【操作与发现】如图，在正方形ABCD中，点N，M

78、分别在边BC、CD上连接AM、AN、MNMAN45，将AMD绕点A顺时针旋转90，点D与点B重合，得到ABE易证：ANMANE，从而可得：DM+BNMN(1)【实践探究】在图条件下，若CN6，CM8，则正方形ABCD的边长是_(2)如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，MAN45，若tanBAN=13，求证：M是CD的中点(3)【拓展】如图，在矩形ABCD中，AB12，AD16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知MAN45，BN4，则DM的长是_【答案】(1)12(2)见解析(3)8【分析】（1）利用旋转的性质结合SAS可以证明ANMAN

79、E，从而得到DM+BNMN，设正方形ABCD的边长为x，则BNx6，DMx8，利用勾股定理求得MN=10，从而列得方程求解即可求出正方形边长（2）根据设BNm，DMn，则MNm+ n，利用tanBAN=13，可得正方形边长为3m，从而得到CM=3m-n，CN2m，根据勾股定理得到：CM2+CN2=MN2，代入可得关于m，n得方程，继而得到3m2n，最后代入CM=3m-n得到DMCM，即M是CD的中点（3）延长AB至P，使BPBN4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，将图补充成边长为16的正方形，从而得到与前两问的图形，利用PQBC可得ABNAPE，继而求出PE

80、的长度，从而利用前面的结论，并利用勾股定理列方程即可求出结果（1）解：四边形ABCD是正方形，ABCDAD，BADCD90，由旋转的性质得：ABEADM，BEDM，ABED90，AEAM，BAEDAM，BAE+BAMDAM+BAMBAD90，即EAM90，MAN45，EAN904545，MANEAN，在AMN和AEN中，AM=AEMAN=EANAN=AN，AMNAEN（SAS），MNEN，ENBE+BNDM+BN，MNBN+DM，在RtCMN中，由勾股定理得：CM2+CN2=MN2MN=CN2+CM2=62+82=10，则BN+DM10，设正方形ABCD的边长为x，则BNBCCNx6，DMCD

81、CMx8，x6+x810，解得：x12，即正方形ABCD的边长是12；故答案为：12；（2）证明：设BNm，DMn，由（1）可知，MNBN+DMm+n，B90，tanBAN=13，tanBAN=BNAB=13，AB3BN3m，CNBCBN2m，CMCDDM3mn，在RtCMN中，由勾股定理得：CM2+CN2=MN2（2m）2+（3mn）2（m+n）2，整理得：3m2n，CM2nnn，DMCM，即M是CD的中点；（3）解：延长AB至P，使BPBN4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，如图所示：则四边形APQD是正方形，PQDQAPAB+BP12+416，设DMa

82、，则MQ16a，PQBC，ABNAPE，BNPE=ABAP=1216=34，PE=43BN=163，EQPQPE16163=323，由（1）得：EMPE+DM=163+a，在RtQEM中，由勾股定理得：EQ2+MQ2=EM2(323)2+(16a)2=(163+a)2，解得：a8，即DM的长是8；故答案为：8【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理解直角三角形等知识，灵活运用前两问中结论DM+BNMN，已知直角三角形CMN中勾股定理结论CM2+CN2=MN2是解题的关键18（2021四川乐山三模）在ABC中，CACB，ACB点P是平面内不与点A

83、，C重合的任意一点，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP(1)观察猜想如图1，当60时，BDCP的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 (2)类比探究如图2，当90时，请写出BDCP，并就图2的情形说明理由(3)解决问题当90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时ADCP的值【答案】(1)1，60(2)2(3)2+2或2-2【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O证明CAPBAD（SAS），即可解决问题（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E证明DABPAC，即

84、可解决问题（3）分两种情形：如图31中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H证明ADDC即可解决问题如图32中，当点P在线段CD上时，同法可证：DADC解决问题（1）解：如图1中，延长CP交BD的延长线于ECA=CB,ACB=60，CAB为等边三角形，又将线段AP绕点P逆时针旋转60得到线段DPAP=DP，APD=60APD为等边三角形，CABA，PADA，PADCAB60，PAD-PABCAB-PABCAPBAD，CABA，PADA，CAPBAD（SAS），PCBD，ACPABD，AOCBOE，BEOCAO60，BDPC=1，故答案为1，60（2）BDCP=2，理由：如图2中，设

85、BD交AC于点OPADCAB45，PACDAB，ABACADAP2，DABPAC，PCADBA，BDPC =ABAC2，（3）如图31中，当点D在线段PC上时CEEA，CFFB，EFAB，EFCABC45，PAO45，PAOOFH，POAFOH，HAPO，APC90，EAEC，PEEAEC，EPAEAPBAH，HBAH，BHBA，ADPBDC45，ADB90，BDAH，DBADBC22.5，ADBACB90，A，D，C，B四点共圆，DACDBC22.5，DCAABD22.5，DACDCA22.5，DADC，设ADa，PD22a，ADCP=aa+22a=22解法二：在RtPAD中，E是AC的中点

86、，PEEAEC，EPCECP，CEF45EPC+ECP，EPCECP22.5，PDA45ACD+DAC，DAC22.5，ADDC，设PDa，则ADDC2a，ADCP=2aa+2a=22，如图33中，当点P在线段CD上时，同理可得DA=DC,设ADa，PD22a，PCa22a，ADPC=aa22a=2+2【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.19（2021山东济南一模）如图1，在RtABC中，C90

87、，A30，BC1，点D，E分别为AC，BC的中点CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为（0360），记直线AD与直线BE的交点为点P(1)如图1，当0时，AD与BE的数量关系为_，AD与BE的位置关系为_；(2)当0360时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；(3)CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值【答案】(1)AD3BE，ADBE(2)结论仍然成立，证明见解析(3)P点运动轨迹的长度是43；P点到直线BC距离的最大值是32【分析】（1）分别求出AD、BE的长即可解答；（2）先证明BCEACD ，可

88、得ADBE=ACBC3，CBOCAD即可解答；（3）利用锐角三角函数可求EBC=30，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值即可（1）解：在RtABC中，C=90，A=30，BC=1，AC=3BC=3，AB=2BC=2，ADBE点D，E分别为AC，BC的中点AD=CD=12AC=32，BE=EC=12BC=12 AD3BE故答案为：AD3BE，ADBE（2）解：结论仍然成立，理由如下：AC3，BC1，CD32，EC12，BCAC=33，ECCD33，BCAC=ECDC，CDE绕点C顺时针旋转，BCEACD，BCEACD，ADBE=ACBC3，CBOC

89、AD，AD3BE， CBO+BOC90，CAD+AOP90，APO90，BEAD（3）解：APB90，点P在以AB为直径的圆上，如图3，取AB的中点G，作G，以点C为圆心，CE为半径作C，当BE是C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PHBC，交BC的延长线于H，连接GP，BE是C切线，CEBE，ECBC12，EBC30，GBP30，GBGP，GBPGPB30，BGP120，点P的运动轨迹为点C点P点C点B点C，P点运动轨迹的长度1201180243，ABP30，BPAP，AP12AB1，BP3AP3，CBP30，PHBH，PH12BP32P点到直线BC距离的最大值32【点睛】本题是几何变换

90、综合题，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键20（2022黑龙江齐齐哈尔市富拉尔基区教师进修学校三模）综合与实践如图，RtABC中，ACB= 90 ，CD为RtABC的斜边上的中线，在证明CD=AD= BD的过程中，我们可以延长CD到E，使得CD=DE ，连接BE很容易证明ACDBED，进而证明ABCECB，所以AB=CE，所以CD= AD= BD我们可以得到直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半实践操作：将两个全等的RtABD，RtACE拼在一起 ，如图，ABD不动问题解决：（1）将ACE绕点A逆时

91、针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB，MC，如图，求证：MB=MC；拓展延伸：（2）若将图中的CE向上平移，且CAE不变，连接DE ，M是DE的中点，连接MB ，MC，如图，则线段MB，MC的数量关系为 ；问题再探：（3）在（2）的条件下，若CAE改变大小，如图，其他条件不变，请你判断线段MB ，MC的数量关系还成立吗?请说明理由【答案】（1）见解析；（2）MB=MC；（3）成立，理由见解析【分析】（1）由旋转得到AD=AE,DB=CE，ADB=AEC，继而证明ADE=AED，再证明BDM=CEM，接着由BDMCEM(SAS)得到MB=MC；（2）由平移的性质得到DB=CE,DBCE，继

92、而得到BDE=CED，接着由BDMCEM(SAS)得到MB=MC；（3）延长BM交CE于点F，证明BDMFEM(AAS)，由此得到MB=MF，再结合直角三角形斜边中线的性质解得即可【详解】解：（1）由题意知RtABDRtACEADB=AEC旋转AD=AE,DB=CEADE=AEDBDM=CEMM是DE的中点DM=MEBDMCEM(SAS)MB=MC（2）由题意，平移DB=CE,DBCEBDE=CED M是DE的中点DM=MEBDMCEM(SAS)MB=MC故答案为：MB=MC；（3）成立，理由如下，如图，延长BM交CE于点F，平移DBCEBDE=CED，MBD=MFE M是DE的中点DM=MEBDMFEM(AAS)MB=MFACE=90BCF=90MC=12BF=MB【点睛】本题考查几何变换，涉及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键