专题27 不等式组-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题27 不等式组一、求参数的值或求参数取值范围【典例】若关于x的不等式组2x+312x-a0恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（）A7a8B7a8C7a8D7a8【解答】解：2x+312x-a0，解不等式，得x4.5，解不等式，得xa，所以不等式组的解集是4.5xa，关于x的不等式组2x+312x-a0恰有3个整数解（整数解是5，6，7），7a8，故选：C【巩固】关于x的不等式组-(x-a)31+2x3x-1恰有2个整数解，则a的取值范围是 【解答】解：解不等式（xa）3，得：xa3，解不等式1+2x3x1，得：x4，不等式组有2个整数解，2a33，解得5a6故答案为：5a6二、方案类问题

2、【典例】某商场若购进2部甲型号手机和3部乙型号手机，共需7400元；若购进3部甲型号手机和5部乙型号手机，共需11700元（1）求甲、乙型号手机每部的进价；（2）商场计划用不少于44400元且不多于50000元的资金购进这两种型号手机共30部求有多少种进货方案；若每部甲，乙型号手机的售价分别为2500元，1950元，采用中甲型手机进货量最少的方案进货，为了促销商场决定每售出一部甲型号手机，返还顾客现金a元，每售出一部乙型号手机，返还顾客现金b元（a50，b50且a、b为50的整数倍），要保证该进货方案（全都售完）获利达到16500元，直接写出a、b的值【解答】解：（1）设每部甲型号手机的进价为

3、x元，每部乙型号手机的进价为y元，依题意得：2x+3y=74003x+5y=11700，解得：x=1900y=1200答：每部甲型号手机的进价为1900元，每部乙型号手机的进价为1200元（2）设购进m部甲型号手机，则购进（30m）部乙型号手机，依题意得：1900m+1200(30-m)444001900m+1200(30-m)50000，解得：12m20，又m为整数，m可以为12，13，14，15，16，17，18，19，20，共有9种进货方案依题意得：（2500a1900）12+（1950b1200）（3012）16500，a350-32b又a50，b50且a、b为50的整数倍，a=200

4、b=100或a=50b=200答：a、b的值为200，100或50，200【巩固】2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的大客车（每种型号至少一辆）送549名学生和11名教师参加此次实践活动，每辆汽车上至少要有一名教师甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如表所示：甲种客车乙种客车载客量/（人/辆）4055租金/（元/辆）500600（1）共需租 辆大客车；（2）最多可以租用多少辆甲种型号大客车？（3）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？【解答】解：（1）549+11560（人），5605510（辆）10（人），10+1

5、11（辆），且共有11名教师，每辆客车上至少要有一名教师，共需租11辆大客车故答案为：11（2）设租用x辆甲种型号大客车，则租用（11x）辆乙种型号大客车，依题意得：40x+55（11x）560，解得：x3答：最多可以租用3辆甲种型号大客车（3）x3，且x为正整数，x1或2或3，有3种租车方案，方案1：租用1辆甲种型号大客车，10辆乙种型号大客车；方案2：租用2辆甲种型号大客车，9辆乙种型号大客车；方案3：租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车选择方案1所需租车费用为5001+600106500（元），选择方案2所需租车费用为5002+60096400（元），选择方案3所需租车费用为500

6、3+60086300（元）650064006300，租车方案3最节省钱三、不等式组与方程组综合【典例】关于x，y的方程组12x+y=a|x|-y=1只有唯一的一组解，那么a的取值为 【解答】解：关于x，y的方程组12x+y=a|x|-y=1只有唯一的一组解，|x|0，即x0，把x0代入方程组得：y=a-y=1，解得：ay1，故答案为：1【巩固】若方程组3x+y=k+1x+3y=3的解x，y满足0x+y1，则k的取值范围是（）A4k0B1k0C0k8Dk4【解答】解：3x+y=k+1x+3y=3，+得：4x+4yk+4，即x+y=k+44，由题意可得0k+441，即0k+44k+441，解得：4

7、k0，所以k的取值范围是4k0故选：A四、多项式的最值【典例】若a、b、c、d是正整数，且a+b20，a+c24，a+d22，设a+b+c+d的最大值为M，最小值为N，则MN（）A28B12C48D36【解答】解：a+b20，a+c24，a+d22，b20a，c24a，d22a，a+b+c+da+20a+24a+22a662a，a、b、c、d是正整数，且a+b20，0a20，a，b为正整数，a的最小值为1，a的最大值为19，当a1时，a+b+c+d的最大值为M66264，当a19时，a+b+c+d的最小值为N6621928，MN642836，故选：D【巩固】已知三个非负数a、b、c满足3a+2

8、b+c5和2a+b3c1，若m3a+b7c，求m的最大值和最小值【解答】解：由已知条件得3a+2b=5-c2a+b=1+3c解得a=7c-3b=7-11c则m3c2，由a0b0c0解得7c-307-11c0c037c711-573c2-111，故m的最大值为-111，最小值为-57；巩固练习1若x表示不超过x的最大整数，如1.31，4.25已知a5，b3，c2，则a2b+c可以取到的值的个数为（）A2B3C4D5【解答】解：a5，b3，c2，5a6，3b2即42b6，2c1，7a2b+c11，则a2b+c7，8，9，10故选：C2已知关于x的不等式组|x+1|4x-1xa无解，则实数a的取值范

9、围是（）Aa23Ba23Ca23Da23【解答】解：由不等式|x+1|4x1得x23，关于x的不等式组|x+1|4x-1xa无解，所以a23，故选：B3已知关于x的不等式组3x-a0|x|b2的整数解有且仅有4个：1，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对（a，b）的个数有（）A1B2C4D6【解答】解：3x-a0|x|b2，由解得：xa3，由解得：-b2xb2，不等式组的整数解有且仅有4个：1，0，1，2，故a3xb2，则2a3-1，b5或6时符合题意故a3或4或5，b5或者b6时符合题意因此整数对（a，b）有6个，故选：D4已知a，b是不超过15的自然数，若关于x的方程axb的

10、解满足14x13，则这样的a，b共有 组【解答】解：axb，x=ba，14x13，a，b是不超过15的自然数，即14ba13，解得，ba=27或310，311，413，414，415，故答案为：65已知正整数a、b、c满足abc，且1a+1b+1c=1，求a，b，c的值【解答】解：abc，1a+1b+1c=1，a2，1b+1c=12，b3，c66已知方程组x-y=2mx+y=6，若方程组有非负整数解，求正整数m的值【解答】解：解方程组x-y=2mx+y=6，+得，（m+1）x8，x=8m+1，代入得，8m+1-y2，y=6-2mm+1，x0y0，8m+106-2mm+10即m+106-2m0，

11、解得m的取值范围是，1m3方程组有非负整数解，当m2时x=8m+1为分数，m2故m的正整数解为：m1或m37某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？【解答】解：（1）设甲型货车每辆可装载x箱材料，乙型货

12、车每辆可装载y箱材料，依题意得：30x+50y=150020x+60y=1400，解得：x=25y=15答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料（2）设租用m辆甲型货车，则租用（70m）辆乙型货车，依题意得：25m+15(70-m)124570-m3m，解得：352m392又m为整数，m可以取18，19，该公司共有2种租车方案，方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车8“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进1件甲种农机具和2件乙种农机具共需2.

13、5万元，购进2件甲种农机具和3件乙种农机具共需4.5万元（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共8件，且投入资金不少于7.8万元又不超过10万元，设购进甲种农机具a件，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元，依题意得：x+2y=2.52x+3y=4.5，解得：x=1.5y=0.5答：购进1件甲种农机具需要1.5万元，1件乙种农机具需要0.5万元；（2）购进甲种农机具a件，则购进乙种农机具（8a）件，投入资金不

14、少于7.8万元又不超过10万元，7.81.5a+0.5（8a）10，解得3.8a6，a是整数，a可取4，5，6，有3种购买方案：购进甲种农机具4件，则购进乙种农机具4件；购进甲种农机具5件，则购进乙种农机具3件；购进甲种农机具6件，则购进乙种农机具2件；（3）购进甲种农机具4件，则购进乙种农机具4件，所需资金为41.5+40.58（万元）；购进甲种农机具5件，则购进乙种农机具3件，所需资金为51.5+30.59（万元）；购进甲种农机具6件，则购进乙种农机具2件，所需资金为61.5+20.510（万元）；8910，购进甲种农机具4件，则购进乙种农机具4件，需要的资金最少，最少资金是8万元9甲组同

15、学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学？【解答】解：设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人则由题意得 28a+30b+31c36528（a+b+c）28a+30b+31c365，得a+b+c3652813.04a+b+c1331（a+b+c）28a+30b+31c365，得a+b+c3653111.7a+b+c12a+b+c12或13当a+b+c12时，则28a+30b+31c28（a+b+c）+2b+3c2812+2b+3c365，即2b+3c29；当a+b+c13时，则28a+30b+31c28（a+b

16、+c）+2b+3c2813+2b+3c365，即2b+3c1，此方程无解；答：三个小组共有12名同学10已知关于x，y的方程组x-2y=m，2x+3y=2m+4的解满足不等式组3x+y0，x+5y0，求满足条件的m的整数值【解答】解：x-2y=m2x+3y=2m+4，2，得2x4y2m，得7y4，所以y=47，把y=47代入，得xm+87，所以x=m+87y=47将x=m+87y=47代入不等式组，得3m+247+470m+87+2070，即3m+40m+40，解得4m-43，则m的整数值为3或211某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准

17、备招聘一批新工人已知1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？（2）共享单车安装公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人（an），由于时间紧急，工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，若要求必须在30天内交付运营公司5700辆合格品投入市场，求a、n的所有可能结果【解答】解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意，得：x+2y=282x=3y，解得x=12y=8，答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车；（2）根据题意，得：30（8n+12a）（15%）5700，整理，得：n25-32a，an，a25-32a，解得a10，n、a均为正整数，n=1a=16，n=4a=14，n=7a=12