专题27 二次函数与平行四边形存在问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版）.docx

1、专题27 二次函数与平行四边形存在问题1（20212022黑龙江九年级期中）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA2OC8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点，连接AC，过点P做PEy轴，与AC交于点E（1）求此抛物线的解析式；（2）当PCAB时，求点P的坐标；（3）用含x的代数式表示PE的长，并求出当PE的长取最大值时对应的点P的坐标；（4）在（3）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由【答案】（1）；（2）（-7，-4）；（3）；（4）存在，或或【

2、分析】（1）根据题意得出的坐标，然后运用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）当PCAB时，即点和点是抛物线的两个对称点，求解即可；（3）求出直线的解析式，则PE的长等于点的纵坐标减去点的纵坐标，运用二次函数求最值即可；（4）根据（3）中点的坐标分三种情况进行讨论即可【详解】解：（1）抛物线yax2+bx4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，当时，即，OA2OC8OB，则将代入抛物线解析式，得，解得，抛物线解析式为：；（2）点P是第三象限内抛物线上的一动点，PCAB，点和点是抛物线的两个对称点，抛物线解析式为，抛物线的对称轴为：，点，即；（3）,设直线的解析式为：，则，解得，直线的解析式为：，设

3、点，则点，当时，取得最大值，此时点；（4）存在；当点位于图中位置时，根据点的平移规律，点到向右平移四个单位长度，向下平移十个单位长度，点向右平移四个单位长度，向下平移十个单位长度为点；当点位于图中位置时，根据点的平移规律，点到向右平移四个单位长度，向上平移六个单位长度，点向右平移四个单位长度，向上平移六个单位长度为点；当点位于图中位置时，根据点的平移规律，点到向左平移四个单位长度，向下平移六个单位长度，点向左平移四个单位长度，向下平移六个单位长度为点；综上：点得坐标为或或【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求二次函数以及一次函数解析式，平行四边形的性质等知识，根据题意画出符合情况的图

4、形，根据图形解题是关键2（2021西藏中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点与y轴交于点C且点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，5）（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲）若点P是第一象限内抛物线上的一动点当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx24x5；（2）P（，）；（3）存在，M的坐标为：（3，8）或（3，16）或（7，16）【分析】（1）将A的坐标（1，0）

5、，点C的坐（0，5）代入yx2bxc，即可得抛物线的解析式为yx24x5；（2）过P作PDx轴于D，交BC于Q，过P作PHBC于H，由yx24x5可得B（5，0），故OBOC，BOC是等腰直角三角形，可证明PHQ是等腰直角三角形，即知PH，当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为ykx5，将B（5，0）代入得直线BC解析式为yx5，设P（m，m24m5），（0m5），则Q（m，m5），PQ（m）2，故当m时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）；（3）抛物线yx24x5对称轴为直线x2，设M（s，s24s5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），以MN、BC为对角线，则

6、MN、BC的中点重合，可列方程组，即可解得M（3，8），以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，同理可得，解得M（3，16），以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，则，解得M（7，16）【详解】解：（1）将A的坐标（1，0），点C的坐（0，5）代入yx2bxc得：，解得，抛物线的解析式为yx24x5；（2）过P作PDx轴于D，交BC于Q，过P作PHBC于H，如图：在yx24x5中，令y0得x24x50，解得x5或x1，B（5，0），OBOC，BOC是等腰直角三角形，CBO45，PDx轴，BQD45PQH，PHQ是等腰直角三角形，PH，当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为ykx

7、5，将B（5，0）代入得05k5，k1，直线BC解析式为yx5，设P（m，m24m5），（0m5），则Q（m，m5），PQ（m24m5）（m5）m25m（m）2，a10，当m时，PQ最大为，m时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）；（3）存在，理由如下：抛物线yx24x5对称轴为直线x2，设M（s，s24s5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：，解得，M（3，8），以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：，解得，M（3，16），以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：，解得，M（7，16）；综

8、上所述，M的坐标为：（3，8）或（3，16）或（7，16）【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度3（2021湖南湘西中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点（1）求抛物线的解析式；（2）连接，求直线的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3），此时

9、的最小值为；（4）存在，或【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；（2）设直线的解析式为，然后把点B、C的坐标代入求解即可；（3）由题意易得点A、B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得，要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，然后问题可求解；（4）由题意可设点，然后可分当AC为对角线时，当AM为对角线时，当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解【详解】解：（1）抛物线经过，两点，解得：，抛物线的解析式为；（2）由（1）可得抛物线的解析式为，抛物线与y轴的交点为C，设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：，解得：，直线的解析式为；（3

10、）由抛物线可得对称轴为直线，由题意可得如图所示：连接BP、BC，点A、B关于抛物线的对称轴对称，要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，此时BC与对称轴的交点即为所求的P点，的最小值为，点P在直线BC上，把代入得：，；（4）存在，理由如下：由题意可设点，当以、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：当AC为对角线时，如图所示：连接MN，交AC于点D，四边形ANCM是平行四边形，点D为AC、MN的中点，根据中点坐标公式可得：，即，解得：，；当AM为对角线时，同理可得：，即，解得：，；当AN为对角线时，同理可得：，即，解得：，；综上所述：当以、四点为顶点的四边形是平行四边形，

11、点的坐标为或【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键4（2021湖南郴州中考真题）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线抛物线与轴交于点，与轴交于点已知，点是抛物线上的一个动点（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点作，垂足为，求的面积的最大值；（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）的面积最大值为；（3）点的坐标为或或【分析】（1）由

12、题意易得平移后的抛物线的表达式为，然后把点A的坐标代入求解即可；（2）由（1）及题意易得，则有AOC是等腰直角三角形，CAO=ACO=45，进而可得直线AC的解析式为，设点，则，然后可得AED和PEF都为等腰直角三角形，过点F作FTPD于点，则有，由三角形面积公式可得，要使面积最大则PE的值为最大即可，最后问题可求解；（3）由题意可知当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分当以AC为平行四边形的边时，当以AC为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可【详解】解：（1）由题意得：平移后的抛物线的表达式为，则把点代入得：，解得：，

13、抛物线的表达式为，即为；（2）由（1）可得抛物线的表达式为，则有，AOC是等腰直角三角形，CAO=ACO=45，AED=CAO=45，AED=PEF=45，PEF是等腰直角三角形，过点F作FTPD于点，如图所示：，要使面积最大则PE的值为最大即可，设直线AC的解析式为，代入点A、C的坐标得：，解得：，直线AC的解析式为，设点，则，-10，开口向下，当时，PE有最大值，即为，PEF面积的最大值为；（3）存在以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）可得，CAO=ACO=45，抛物线的对称轴为直线，CAO=ADQ=45，当以AC为平行四边形的边时，如图所示：过点P作PGl于点

14、G，四边形APQC是平行四边形，ACPQ，ADQ=PQG=45，PQG是等腰直角三角形，点P的横坐标为-4，；当以AC为平行四边形的边时，如图所示：同理可得点P的横坐标为2，；当以AC为平行四边形的对角线时，如图所示：四边形AQCP是平行四边形，设点，由中点坐标公式可得：，；综上所述：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键5（2021重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C （

15、1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，过程见解析【分析】（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作PEy轴交直线AD于E，设P（m，m2-3m-4）

16、，用m表示出APD的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对角线、EF为对角线三种情况进行讨论即可【详解】解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得，解得：，该抛物线的解析式为y=x2-3x-4，（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，C（0，-4），抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为点D与点C关于直线l对称，D（3，-4），A（-1，0），设直线AD的解析式为y=kx+b；，解得：，直线AD的函数关系式为：y=-x-1，设P（m，m2-

17、3m-4），作PEy轴交直线AD于E，E（m，-m-1），PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，当m=1时，的面积最大，最大值为：8（3）直线AD的函数关系式为：y=-x-1，直线AD与x轴正方向夹角为45，抛物线沿射线AD方向平移平移个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），设平移后的抛物线的解析式为则，解得：，平移后y1=x2-11x+20，抛物线y1的对称轴为：，P（1，-6），E（5，-10），以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：设G（n，n2-11n+20），F（，y），当DE为对角

18、线时，平行四边形的对角线互相平分，当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分，当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分，或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想6（2020湖南郴州中考真题）如图，抛物线与轴交于，与轴交于点已知直线过两点（1）求抛物线和直线的表达式；（2）点是抛物线上的一个动点，如图，若点在第一象限内，连接，交直线于点设的面积为，的面积为，求的最大值；如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作，垂足为点是对称轴上的一个动点，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在

19、，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）；存在，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)【分析】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3，0)，C的坐标代入即可求解；（2）设点D的坐标为(，)，利用待定系数法求得直线PA的表达式为，解方程，求得点P的横坐标为，利用平等线分线段成比例定理求得，得到，整理得（t+1）m2+（2t-3）m+t=0，根据0，即可解决问题根据等腰直角三角形的性质求得点的坐标为(2，)，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解【详解】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入得：，解

20、得：，抛物线的表达式为，令，则，点C的坐标为(0，3)，把B(3，0)，C(0，3)代入得：，解得：，直线的表达式为；（2）PA交直线BC于点，设点D的坐标为(，)，设直线PA的表达式为，解得：，直线PA的表达式为，整理得：，解得：(不合题意，舍去)，点D的横坐标为，点P的横坐标为，分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图：DMPN，OM=，ON=，OA=1，设整理得，（t+1）m2+（2t-3）m+t=0，0，（2t-3）2-4t（t+1）0，解得 有最大值，最大值为；存在，理由如下：作于G，如图，的对称轴为：，OE=1，B(3，0)，C(0，3)OC=OB=3，OCB=90，OC

21、B是等腰直角三角形，EFB=90，BE=OB-OE=2，OCB是等腰直角三角形，EG=GB=EG=1，点的坐标为(2，)， 当EF为边时，EFPQ为平行四边形，QE=PF，QEPF轴，点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当时，点P的坐标为(2，)，QE=PF=3-1=2，点Q的坐标为(1，2)；根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形当EF为对角线时，如图，四边形PEQF为平行四边形，QE=PF，QEPF轴，同理求得：点P的坐标为(2，)，QE=PF=3-1=2，点Q的坐标为(1，)；综上，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)，P（0，3）时，Q

22、（1，4）时；【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的对边的判定和性质，（3）注意要分AB是对角线与边两种情况讨论7（2020辽宁葫芦岛中考真题）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线（1）求抛物线的解析式；（2）在直线上方的抛物线上存在点，使，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，点的坐标为，点在抛物线上，点在直线上，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标【答案】（1）；（2）点坐标为；（3），【分析】（1）将A、C点坐标

23、分别代入抛物线中，联立即可求得a和c的值，从而求出抛物线解析式；（2）过点作轴交抛物线于点，则，过点作交抛物线于点，设，借助，即可求得t的值，从而求得D点坐标；（3）先求出直线BC的解析式，设，分DF为边和DF为对角线两种情况讨论，表示出M点坐标，代入抛物线中求得n的值，即可得出N点坐标【详解】解：（1）：抛物线经过点，解得抛物线的解析式为 （2）过点作轴交抛物线于点，则过点作交抛物线于点过点作于点，则设点的横坐标为，则点是与轴的交点，解得的坐标为，解得（舍去），点的纵坐标为：则点坐标为 （3）设直线BC的解析式为：，将C（0,3），B（4，0）分别代入得，解得，直线BC的解析式为：，设，当F

24、D为平行四边形的边时，如图，当N点在M点左侧时，则即整理得，即,故，解得：，此时；同理当N点在M点右侧时可得，故，解得，此时；当FD为平行四边形的对角线时，则,即故，整理得，该方程无解综上所述：，【点睛】本题考查二次函数综合，分别考查了求二次函数解析式，相似三角形的性质，和二次函数与平行四边形问题（1）中直接代入点的坐标即可，难度不大；（2）中能正确作辅助线，构造相似三角形是解题关键；（3）中能分类讨论是解题关键，需注意平行四边形对边平行且相等，可借助这一点结合图象表示M点坐标8（2021四川阿坝中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴

25、的正半轴相交于点（1）求抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一点，求AP的长；（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，点N的坐标为(，3) 或(，)或（-4，-5）【分析】（1）利用直线与y轴的交点求得点B的坐标，然后把点B、C的坐标代入，即可求解；（2）先求得点A的坐标，证得PAOCAB，利用对应边成比例即可求解；（3）分点N在AB的上方或下方两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，利用三角形全等，即可求解【详解

26、】（1）令，则，点B的坐标为(0，3)，抛物线经过点B (0，3)，C (1，0)，解得，抛物线的解析式为：；（2）令，则，解得：，点A的坐标为(，0)，OA=3，OB=3，OC=1，且，PAOCAB，即，；（3）存在，过点P作PDx轴于点D，OA=3，OB=3，AOB=，BAO=ABO=，PAD为等腰直角三角形，PD=AD=2，点P的坐标为(，2)，当N在AB的上方时，过点N作NEy轴于点E，如图，四边形APMN为平行四边形，NMAP，NM=AP=，NME=ABO=，NME为等腰直角三角形，RtNMERtAPD，NE=AD=2，当时，点N的坐标为(，3)，当N在AB的下方时，过点N作NFy轴

27、于点F，如图，同理可得：RtNMFRtAPD，NF=AD=2，当时，点N的坐标为(，)，当AP为平行四边形的对角线时，点N的横坐标为-4，N（-4，-5），综上，点N的坐标为(，3)、 (，)或（-4，-5） 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点正确作出图形是解题的关键9（2021广东珠海市九洲中学一模）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，以为边作矩形，其中边经过抛物线的顶点，点是抛物线上一动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线与直线交于点，与直线交于点

28、，连接交直线于点（1）求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；（2）当线段时，求点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点，使得以点，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），顶点的坐标为；（2）点的坐标为或；（3）存在，点【分析】（1）根据抛物线yx2bxc经过A（0，3），B（4，3）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点M的坐标；（2）根据题意，可以表示出线段PH和GH的长，然后即可得到点P的坐标；（3）根据题意，画出相应的图象，然后利用分类讨论的方法即可得到点P的坐标【详解】解：（1）抛物线经过，两点，得，即该抛物线的解析式为，顶

29、点的坐标为；（2）四边形是矩形，且边经过抛物线的顶点，设直线的解析式为，直线经过点，解得，直线的解析式为，点是抛物线上一动点，设，则，解得，点不与点，重合不符合要求，当线段时，点的坐标为或；（3）当时，得，则点的坐标为，点的坐标为，直线的解析式为，联立，得，如图1所示，当点在直线下方时，与互相垂直平分，当点在点的位置时，四边形是平行四边形，此时；如图2所示，当点在点的左侧时，若四边形是平行四边形，则，抛物线经过点，不符合实际，舍去；如图3所示，当点在点的右侧时，若四边形是平行四边形，则，抛物线经过点，不符合实际，舍去；综上所述，存在点时，使得以点，为顶点的四边形是平行四边形【点睛】本题是一道二

30、次函数综合题目，主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答10（2021重庆实验外国语学校三模）抛物线交轴于、两点（点位于点左侧），交轴于点直线：交轴于点，交抛物线于、两点（1）如图1，求点的坐标；图1（2）如图2，为直线上方抛物线上一动点，求线段的最大值及此时对应点的坐标；图2（3）如图3，将抛物线沿射线平移一定的距离得新抛物线，使得新抛物线过点，点为新抛物线的顶点点为抛物线上的一动点，点、为直线上的两个动点当以，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有符

31、合条件的点的坐标，并选一个点坐标写出推理过程图3【答案】（1）D（-4，3）（2）PQ最大值为，此时点的坐标（-1，）；（3）（-1+，）或（-1-，）或（0，3）或（-2，4）【分析】（1）先求出B（2，0）代入求出b，再联立两函数即可求出D点坐标；（2）过点P作PRy轴，交l于R点，证明PQRBOE，得到，设P（x，）（-4x2）表示出R点坐标，求出PR的关系式，得到PQ=，故可求解；（3）先根据平移的特点求出F点坐标，再根据平行四边形的性质分三种情况分别讨论求解即可【详解】（1）令=0解得x1=-6，x2=2A（-6，0），B（2，0），经过点0=-1+b解得b=1联立解得或故D（-4，

32、3）（2）过点P作PRy轴，交l于R点PRCEPRQ=CER=BEO又，EOBOPQR=BOE=90PQRBOE由，令x=0，得y=1，E（0，1）令y=0，解得x=2，B（2，0）OE=1，OB=2在RtBOE中，BE=设P（x，）（-4x2）R（x，）则PR=（）-（）=PQ=故当x=-1时，PQ最大值为，此时点的坐标（-1，）；（3）y=顶点为（-2，4）新抛物线为原抛物线沿BD平移所得，故B点（2，0）在新抛物线的对应点为D点（-4，3）则原抛物线向左平移6个单位、向上平移3个单位得到新抛物线故新抛物线的得到为F（-8，7）点、为直线上的两个动点，点为抛物线上的一动点，故设M（x1，）

33、，（x2，），G（x0，）以，为顶点的四边形为平行四边形有如下3种情况MN为对角线，此时MN的中点与FG中点重合解得x0=-1+或x0=-1-G（-1+，）或（-1-，）；MF为对角线时，此时MF的中点与NG中点重合解得x0=0或x0=-2G（0，3）或（-2，4）；MG为对角线时，此时MG的中点与NF中点重合解得x0=0或x0=-2G（0，3）或（-2，4）；综上，G点坐标为（-1+，）或（-1-，）或（0，3）或（-2，4）【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的特点11（2021海南三亚中考一模）如图，已知抛物线与

34、x轴交于点和两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点M为抛物线第二象限上一点，连接交线段于点D，与的面积比为求点M的坐标；过点D作直线轴，点E是直线l上的点，点F是抛物线上一动点，是否存在这样的E、F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E，F的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；存在点E、F使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，；【分析】（1）把和两点坐标代入，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）求出OD解析式，联立一次函数和二次函数解析式，求出交点即可；使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，分类讨论：1）当为对角

35、线时，2）当为边，、为对角线时，3）当为边，、为对角线时，根据已知求出E，F即可；【详解】解：（1）抛物线经过点，将点代入解析式得：，解得：抛物线的解析式为（2）由抛物线解析式得，如图，设直线l与x轴交于点P，同理可得，直线的解析式为联立方程组得，解得（舍去第四象限的解），存在，理由如下：由上可知，设，1）如图，当为对角线时，的中点坐标为：，的中点坐标为：，、互相平分，解得：，2）如图，当为边，、为对角线时，的中点坐标为：，的中点坐标为：，、互相平分，解得：，3）如图，当为边，、为对角线时，的中点坐标为：，的中点坐标为：，、互相平分，解得：，综上所述，存在点E、F使得以A、C、E、F为顶点的四

36、边形是平行四边形，；【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查用待定系数法求二次函数解析式、一次函数的性质等、平行四边形的性质和判断，图形与坐标特点等知识，综合性比较强，有一定难度，学会构建方程是本题的关键，另外第三问中正确画出图象也是解决问题的关键12（2021重庆市育才中学中考三模）如图1，抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作交BC于点N（1）求此抛物线的解析式；（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的

37、坐标；（3）如图2，将抛物线yax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程【答案】（1）yx2+x+4；（2），所以当m2时，PN有最大值，P（2，）；（3）F的坐标为（，）或（，）或（，），过程见解析【分析】（1）将点A（3，0），B（4，0）代入yax2+bx+4，即可求函数解析式；（2）先出BC的解析式为yx+4，设P（m，m2+m+4），Q（m，m+4），求得，过点N作交PM

38、于点D，利用，求得，利用三角函数求得，根据，可得，所以当m2时，PN有最大值，P（2，）；（3）由抛物线沿着射线CB的方向平移，可设抛物线沿x轴正方向平移t（t0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，则平移后的函数解析式为，再由新抛物线y过原点，可求t2，则可求新的抛物线解析式为yx2+x，联立x2+xx2+x+4，求出D（3，2），由点E在y上，则E点的横坐标为，由点F为新抛物线y上，设F点横坐标为n，当以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，有三种情况：当AE与DF为平行四边形的对角线时，3+n+3，得F（，）；当AF与ED为平行四边形对角线时，3+n3+，得F（，）；当AD与EF为

39、平行四边形对角线时，3+3n+，得F（，）【详解】解：（1）将点A（3，0），B（4，0）代入yax2+bx+4，得，解得：，yx2+x+4；（2）抛物线与y轴交于点C，C（0，4），设直线BC的解析式为ykx+d，将点B与点C代入可得，解得， yx+4，点P的横坐标为m，PMx轴，P（m，m2+m+4），Q（m，m+4），过点N作交PM于点D，由，即当m2时，PN有最大值，P（2，）；（3）yx2+x+4，抛物线沿着射线CB的方向平移，设抛物线沿x轴正方向平移t（t0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，平移后的函数解析式为，新抛物线y过原点，0，解得t2或t6（舍），x2+x，点D为原抛物

40、线y与新抛物线y的交点，联立x2+xx2+x+4，x3，D（3，2），yx2+x+4的对称轴为直线x，E点的横坐标为，点F为新抛物线y上一动点，设F点横坐标为n，当AE与DF为平行四边形的对角线时，3+n+3，n，F（，）；当AF与ED为平行四边形对角线时，3+n3+，n，F（，）；当AD与EF为平行四边形对角线时，3+3n+，n，F（，）；综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，F的坐标为（，）或（，）或（，）【点睛】本题是二次函数综合题综合性较强，主要考查学生对二次函数图象及其性质的运用和理解，同时也需要具备一定的运算能力13（2021重庆一中中考三模）如图，在平面直角坐标

41、系中，抛物线（）与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的右侧），且点的坐标为，连接，过点作交轴于点，（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点为射线上一点，点为第二象限内抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，平移后点的对应点为点，点为线段的中点，点为新抛物线的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点，使以点，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程【答案】（1）；（2）四边形面积的最大值为，此时点P（，）；（3）M（，）或M（，）或M（，）【分析】（1）先求得点B坐标，再将A、B坐标代入抛物线解

42、析式中解得a、b即可求解；（2）易证是定值，只需求出的最大值，过P作PQy轴交BC于Q，即求出PQ的最大值即可；（3）先求出平移后的新抛物线的解析式和点、N的坐标，设Q（，n），根据平行四边形的性质，分为边和对角线两种情况，套用中点坐标公式求解相应的点M的坐标即可【详解】解：（1）点A坐标为（，0），OA= ，OB=3OA，OB=，点B坐标为（，0），将点A（，0）、B（，0）坐标代入中，得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）当x=0时，y=3，C（0，3），OC=3，点为射线上一点，且AB=,=，要使四边形面积的最大，只需求出的最大值，过P作PQy轴交BC于Q，即求出PQ的最大值即可设直线B

43、C的解析式为y=kx+t，将B（，0）、C（0，3）代入得：，解得：，直线BC的解析式为，设P（m，）（m0），则Q（m，），PQ=（）=，当m=时，PQ有最大值，最大值为，的最大值为 =，四边形面积的最大值为+=，此时点P坐标为（，）；（3）由（1）知抛物线= 的对称轴为直线x= ，将原抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线经过点，原抛物线沿轴正方向平移个单位长度得到新抛物线，=，它的对称轴为直线x=，（，0），设直线AD的表达式为，将A（，0）代入得：c=1，D（0，1），N为AD的中点，N（，），设Q（，n），根据题意，以点，为顶点的四边形为平行四边形，当边时，由中点坐标公式得：或， 即或，解

44、得：或，M1（，）或M2（，）；当为对角线时，由中点坐标公式得：，即，解得：，M3（，），综上，满足条件的点M的坐标为M（，）或M（，）或M（，）【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求抛物线解析式、二次函数的图象与性质、抛物线的平移问题、坐标与图形、求二次函数的最值、三角形的面积公式、平行四边形的性质、中点坐标公式、解一元一次方程等知识，综合性强，计算量大，难度较难，解答的关键是理解题意，寻找相关知识的关联点，利用数形结合和分类讨论思想方法进行推理、探究和计算14（2021云南盘龙中考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一

45、象限交于点（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）求直线的函数解析式及的值；（3）连接，若过点的直线交线段于点，将的面积分成1：2的两部分，请求出点的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点，使以点、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），顶点；（2），；（3）P点坐标为(2，2)或(0，4)；（4）存在，点的坐标为(6，6)或(-6，-6)或(-2，6)【分析】（1）将A、C的坐标代入即可求解（2）根据OB=OA，即可求出点B坐标，利用A、B坐标即可求出直线解析式，利用抛物线解析式可求出顶点M结合几何图形和线段长度可求出ABO的度数，即可求三角

46、函数值（3）先画出图形，结合AOC的面积分成1：2的两部分，可知AP=AC或AC构造三角形相似，即可求解;（4）分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：解得：，故抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：顶点；（2）点，故点，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为；，；（3）连接，作与，于点，如图：过点的直线交线段于点，将的面积分成1：2的两部分，或，当时，点坐标为，当时，点坐标为，点坐标为或；（3）存在，点的坐标为或或，设点，而点、的坐标分别为、，当是边时，点向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O右平移6个单位向上平移6个

47、单位得到点N，故点N(0+6，0+6)即N(6，6)；点C向左平移6个单位向下平移6个单位得到点A，同样点O左平移6个单位向下平移6个单位得到点N，故点N(0-6，0-6)即N(-6，-6)；故点N(6，6)或(-6，-6)；当是对角线时，由中点公式得：，解得：，故点N (-2，6)；综上，点的坐标为(6，6)或(-6，-6)或(-2，6)【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的解析式和性质、二次函数的解析式和性质、平行四边形的判定、图形的平移、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏15（2021四川开江中考一模）如图，抛物线yx2bxc交x轴于A、B两点（点A在点B

48、的左侧），其中点B（5，0），交y轴于点C（0，5），连接 BC（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，将直线 BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作PM/y轴交DE 于点M，求 PM的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将CB绕点C逆时针旋转a（0a90）得到CB，使点B恰好落到直线ED上，已知点F是抛物线上的动点，在直线 ED上是否存在一点Q，使得以点C、 B、F、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）最大值为，；（3）存在，或

49、或或（12，1）【分析】（1）把点B（5，0），点C（0，5）代入，用待定系数法即可得答案；（2）求出平移后的直线解析式，再设设P（m，m26m+5），则M（m，m+11），表示出PM长度即可依据二次函数的性质得到答案；（3）求出B坐标，设F、Q坐标，用平行四边形两条对角线的中点重合分类列方程即可得答案【详解】解：（1）将B（5，0），C（0，5）代入yx2+bx+c得：，解得：，抛物线的解析式是yx26x+5；（2）设BC解析式为ykx+b，将B（5，0）、C（0，5）代入得：，解得，BC解析式为yx+5，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，DE解析式为yx+11，

50、设P（m，m26m+5），则M（m，m+11），PM（m+11）（m26m+5）m2+5m+6，当m时，PM最大为：（）2+5+6，此时P（，），PM最大值为，P点坐标为（，）；（3）将CBP绕点C逆时针旋转（090）得到CBP，此时点B恰好落到直线ED上，CBCB，而B（5，0）、C（0，5），设B（a，a+11），则（50）2+（05）2（a0）2+（a+115）2，解得a7或a1（此时旋转角大于90舍去），B（7，4），点F是抛物线上的动点，Q在直线ED上，设F（b，b26b+5），Q（c，c+11），以点C、B、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况：CB、FQ为对角线，CB中点为（，），FQ中点为（，），CB中点与FQ中点重合，解得（此时F与C重合舍去）或，Q（2，9），CF、BQ为对角线，同理可得，解得或，Q（，）或（，），CQ、BF为对角线，则，解得：（此时F与C重合舍去）或，Q（12，1），总上所述，以点C、B、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，Q（2，9）或（，）或（，）或（12，1）【点睛】本题考查二次函数综合知识，难度较大，设相关点坐标，表示出线段长度，再根据已知列方程是解题的重点