专题07 全等三角形中的倍长中线模型(解析版).docx

1、专题07 全等三角形中的倍长中线模型 【模型展示】特点已知：在ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD，连接AE则：BC平行且等于AE【证明】延长BD到E，使DEBD，连接CE，AD是斜边BC的中线ADCDADEBDCADEBDC（SAS）AEBC，DBCAEDAEBC结论倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。【模型证明】解决方案方法一：已知：如图，E是BC的

2、中点，点A在DE上，且BAECDE，则：ABCD【证明】延长DE至点F，使EFDEE是BC的中点BECE，在BEF和CED中，BEFCED（SAS）BFCD，DF又BAED，BAEFABBFABCD方法二：【证明】作BFDE于点F，CGDE于点GFCGE90又BEFCEG，BECE，在BEF和CEG中，BFECGEBFCG在ABF和DCG中，ABFDCGABCD方法三：作CFAB，交DE的延长线于点FFBAE又BAED，FDCFCD，ABEFCEABCFABCD【题型演练】一、解答题1如图，中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且(1)求证：；(2)若，试求DE的长

3、【答案】(1)见解析；(2)；【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；（2）由（1）结论计算线段差即可解答；（1）证明：BECF，BED=CFD，BDE=CDF，BD=CD，BDECDF（AAS）；（2）解：由（1）结论可得DE=DF，EF=AE-AF=15-8=7，DE=；【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS）和性质；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键2如图，在RtABC中，ACB=90，点D是AB的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线”加倍构造全等，就可以测量CD与AB数量关系请根据小明的思路，写出CD与AB的数景关系，并证明这个

4、结论【答案】CD=AB，证明过程详见解析【分析】延长CD到点E，使ED=CD，连接BE，根据全等三角形的判定和性质即可求解【详解】解：CD=AB，证明：如图，延长CD到点E，使ED=CD，连接BE，在BDE和ADC中，BDEADC(SAS)，EB=AC，DBE=A，BEAC，ACB=90，EBC=180-ACB=90，EBC=ACB，在ECB和ABC中，ECBABC(SAS)，EC=AB，CD=EC=AB【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线3我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形如图，OAOB，OCOD，AOBCOD90，回答下

5、列问题：(1)求证：OAC和OBD是兄弟三角形(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC2OP”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题请在图中通过作辅助线构造BPEDPO，并证明BEOD；求证：AC2OP【答案】(1)见解析(2)见解析；见解析【分析】（1）证出AOC+BOD=180，由兄弟三角形的定义可得出结论；（2）延长OP至E，使PE=OP，证明BPEDPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；证明EBOCOA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论（1）证明：AOB=COD=9

6、0，AOC+BOD=360-AOB-COD=360-90-90=180，又AO=OB，OC=OD，OAC和OBD是兄弟三角形；（2）证明：延长OP至E，使PE=OP，P为BD的中点，BP=PD，又BPE=DPO，PE=OP，BPEDPO（SAS），BE=OD；证明：BPEDPO，E=DOP，BEOD，EBO+BOD=180，又BOD+AOC=180，EBO=AOC，BE=OD，OD=OC，BE=OC，又OB=OA，EBOCOA（SAS），OE=AC，又OE=2OP，AC=2OP【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键4【发现问题】小

7、强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图1，AD是ABC的中线，若AB8，AC6，求AD的取值范围【探究方法】小强所在学习小组探究发现：延长AD至点E，使EDAD，连接BE可证出ADC与EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到同一个ABE中，进而求出AD的取值范围方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做倍长中线法【应用方法】（1）请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD的取值范围的过程；【拓展应用】（2）已知：如图2，AD是ABC的中线，BABC，点E在BC的延长线上，ECBC写出AD与AE之间的数量关系并证明【答案

8、】（1）1AD7；（2）2AD=AE理由见解析【分析】（1）延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，证明BDECDA（SAS），得出AC=BE=6，由三角形三边关系可得出答案；（2）延长AD至F，使DF=AD，由SAS证明BDFCDA，利用已知条件推出FBA=ACE，再由SAS证明ACEFBA即可得到2AD=AE【详解】（1）证明：延长AD至E，使DE=AD，AD是BC边上的中线，BD=CD，在BDE和CDA中，BDECDA（SAS），AC=BE=6，在ABE中，AB-BEAEAB+BE，8-62AD8+6，1AD7；（2）2AD=AE理由如下：证明：延长AD至F，使DF=AD，AD是BC的中

9、线，BD=CD，在BDF和CDA中，BDFCDA（SAS），AC=BF，CAD=F，ACBF，FBA+BAC=180，BA=BC，BAC=BCA，ACE+BCA=180，FBA=ACE，BA=BC，EC=BC，BA=EC，在ACE和FBA中，ACEFBA（SAS），AE=AF，2AD=AF，2AD=AE【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键5问题背景如图1，CD为ABC的中线，则有SACDSBCD；如图2，将中的ACB特殊化，使ACB90，则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明AB2CD；问题应用如图3，若点G为ABC的重心（ABC的

10、三条中线的交点），CGBG，若AGBC16，则BGC面积的最大值是（）A2B8C4D6【答案】问题背景见解析；见解析；问题应用C【分析】问题背景设AB边的高长为h，可得，再由AD=BD，即可求证；延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE，根据AD=BD，可得四边形ACBE是平行四边形，再由ACB90，可得到四边形ACBE是矩形，即可求证问题应用如图，过点G作GHBC于点H，根据题意可得点D是BC的中点，AG=2DG，从而得到，得到AG=BC，再由AGBC16，可得到AG=BC=4，再由GHBC，可得GHDG，从而得到当GH=DG时，BGC面积的最大，即可求解【详解】解：问题背景设AB边的高

11、长为h，CD为ABC的中线，即AD=BD，；如图，延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE，CD为ABC的中线，AD=BD，DE=CD，四边形ACBE是平行四边形，ACB90，四边形ACBE是矩形，AB=CE，DE=CD，AB=CD+DE=2CD；问题应用如图，过点G作GHBC于点H，点G为ABC的重心（ABC的三条中线的交点），点D是BC的中点，AG=2DG，CGBG，AG=BC，AGBC16，AG=BC=4，DG=2，GHBC，GHDG，GH2，当GH=2，即GH=DG时，BGC面积的最大，最大值为【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，重心的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理，重心的

12、性质是解题的关键6先阅读，再回答问题：如图1，已知ABC中，AD为中线延长AD至E，使DE=AD在ABD和ECD中，AD=DE，ADB=EDC，BD=CD，所以，ABDECD（SAS），进一步可得到AB=CE，ABCE等结论在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题解决问题：如图2，在ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF【答案】证明见试题解析【分析】延长AD到G，使DF=DG，连接CG，得到BD=DC，根据SAS推出BDFCDG，根据全等三角形的性质得出BF=CG，

13、BFD=G，求出AFE=G，CG=AC，推出G=CAF，求出AFE=CAF即可【详解】解：延长AD到G，使DF=DG，连接CG，AD是中线，BD=DC，在BDF和CDG中，BD=DC，BDF=CDG，DF=DG，BDFCDG，BF=CG，BFD=G，AFE=BFD，AFE=G，BF=CG，且已知BF=AC，CG=AC，G=CAF，AFE=CAF，AE=EF【点睛】本题考查了倍长中线法、三角形全等的判定、性质及等腰三角形的性质等，本题的关键是借助阅读材料中提供的方法延长AD到G，使DF=DG，进而构造三角形全等7（1）如图1，若ABC是直角三角形，BAC=90，点D是BC的中点，延长AD到点E，

14、使DE=AD，连接CE，可以得到ABDECD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”.求证：ACE是直角三角形（2）如图2，ABC是直角三角形，BAC=90，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF.试说明BE2+CF2=EF2；（3）如图3，在（2）的条件下，若AB=AC，BE=12，CF=5，求DEF的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）根据全等三角形的性质和直角三角形的判定解答即可；（2）延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，根据全等三角形的判定和性质进行解答；（3）连接AD，根据全等三角形的判定和性质和三角形的面

15、积公式解答即可【详解】（1）ABDECD ECD=BBAC=90B+BCA=90BCE+BCA =90,即ACE=90ACE是直角三角形（2）延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG， DE=DG，DFDE，DF垂直平分DE，EF=FG，D是BC中点，BD=CD，在BDE和CDG中， ，BDECDG（SAS），BE=CG，DCG=DBE，ACB+DBE=90，ACB+DCG=90，即FCG=90，CG2+CF2=FG2，BE2+CF2=EF2；（3）连接AD， AB=AC，D是BC中点，BAD=C=45，AD=BD=CD， ADE+ADF=90，ADF+CDF=90，ADE=CDF， 在

16、ADE和CDF中， ，ADECDF（ASA），AE=CF，BE=AF，AB=AC=17， S四边形AEDF=SABC，SAEF=512=30， DEF的面积=SABCSAEF= .【点睛】考查全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应边相等、对应角相等是解题基础，将待求线段转化成求等长线段是解题的关键8（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在ABC中，AB9，AC5，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长AD到Q，使得DQAD；再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在ABQ中；利用三角形的三边关系可得4AQ14，则AD

17、的取值范围是_感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明（3）思考：已知，如图2，AD是ABC的中线，ABAE，ACAF，BAEFAC90试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明【答案】（1）2AD7；（2）ACBQ，理由见解析；（3）EF2AD，ADEF，理由见解析【分析】（1）先判断出BDCD，进而得出QDBADC（SAS），得出BQAC5，最后用三角形三边关系即可得出结论；（2）由（1）知，QDBADC（SAS），得出BQDCAD，即可得出结论；

18、（3）同（1）的方法得出BDQCDA（SAS），则DBQACD，BQAC，进而判断出ABQEAF，进而判断出ABQEAF，得出AQEF，BAQAEF，即可得出结论【详解】解：（1）延长AD到Q使得DQAD，连接BQ，AD是ABC的中线，BDCD，在QDB和ADC中，QDBADC（SAS），BQAC5，在ABQ中，ABBQAQAB+BQ，4AQ14，2AD7，故答案为2AD7；（2）ACBQ，理由：由（1）知，QDBADC，BQDCAD，ACBQ；（3）EF2AD，ADEF，理由：如图2，延长AD到Q使得BQAD，连接BQ，由（1）知，BDQCDA（SAS），DBQACD，BQAC，ACAF，B

19、QAF，在ABC中，BAC+ABC+ACB180，BAC+ABC+DBQ180，BAC+ABQ180，BAEFAC90，BAC+EAF180，ABQEAF，在ABQ和EAF中，ABQEAF，AQEF，BAQAEF，延长DA交EF于P，BAE90，BAQ+EAP90，AEF+EAP90，APE90，ADEF，ADDQ，AQ2AD，AQEF，EF2AD，即：EF2AD，ADEF【点睛】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键9在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在ABC中，AB8，AC6，点D是BC边上的中点，

20、怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使ADDE，然后连接BE（如图），这样，在ADC和EDB中，由于，ADCEDB，ACEB，接下来，在ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围请你回答：（1）在图中，中线AD的取值范围是 （2）应用上述方法，解决下面问题如图，在ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DFDE交AC边于点F，连接EF，若BE4，CF2，请直接写出EF的取值范围如图，在四边形ABCD中，BCD150，ADC30，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BCCF，DFAD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论【答案】（1）1AD7；（2

21、）2EF6；CEED，理由见解析【分析】（1）在ABE中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；（2）延长ED到点N，使，连接CN、FN，由SAS证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在CFN中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；延长CE与DA的延长线交于点G，易证DGBC，得出，由ASA证得，得出，即可证得，由，根据等腰三角形的性质可得出【详解】（1）在ABE中，由三角形的三边关系定理得：，即，即故答案为：；（2）如图，延长ED到点N，使，连接CN、FN点D是BC边上的中点在NDC和EDB中，是等腰三角形，在CFN中，由三角形的三边关系定理得：，即；理由如下：如图，延长CE与DA的延长线交

22、于点G点E是AB中点在GAE和CBE中，即（等腰三角形的三线合一）【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键10阅读材料，解答下列问题如图1，已知ABC中，AD 为中线延长AD至点E，使 DE=AD在ADC和EDB中，AD=DE，ADC=EDB，BD=CD，所以，ACDEBD，进一步可得到AC=BE，AC/BE等结论在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题解决问题：如图2，在ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一

23、点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF【答案】详见解析【分析】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出BDMCDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，CAD=M，根据BF=AC可得BF=BM，推出BFM=M，求出AFE=EAF即可【详解】如图，延长至点，使得，并连结，是三角形的中线，在和中，即【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形11（1）如图1所示，在中，为的中点，求证：甲说：不可能出现，所以此题无法解决；乙说：根据倍长中线法，结合

24、我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长至点，使得，连接、，由于，所以可得四边形是平行四边形，请写出此处的依据_（平行四边形判定的文字描述）所以，中，即请根据乙提供的思路解决下列问题：（2）如图2，在中，为的中点，求的面积；（3）如图3，在中，为的中点，为的中点，连接交于，若求证：【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）6；（3）见解析【分析】（1）根据题意，即可得四边形的对角线相等，根据平行四边形的判定定理即可写出；（2）根据倍长中线法，延长至点，使得，可以求得,再根据 勾股定理的逆定理可知为，继而即可求得面积（3）根据倍长中线法，延长至点,证明四边形是平行四边形，由即可

25、证明【详解】解：（1），四边形是平行四边形依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）如图，根据倍长中线法，延长至点，使得，由（1）可知，四边形是平行四边形,，,是（3）如图，根据倍长中线法，延长至点，使 由（1）可知：四边形是平行四边形，,又【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理的逆定理，等角对等边，运用倍长中线法是解题的关键12（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在ABC中，AB8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），延长AD到M，使得DMAD

26、；连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在ABM中；利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为ABBMAMAB+BM，从而得到AD的取值范围是 ；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明（3）深入思考：如图3，AD是ABC的中线，ABAE，ACAF，BAECAF90，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明【答案】（1）1AD7；（2）ACBM，且ACBM，证明见解析；（3）EF2AD，证明见解析【分析】（1）延长AD到M，使得DMAD，连接BM，

27、根据题意证明MDBADC，可知BMAC，在ABM中，根据ABBMAMAB+BM，即可；（2）由（1）知，MDBADC，可知MCAD，ACBM，进而可知ACBM；（3）延长AD到M，使得DMAD，连接BM，由（1）（2）的结论以及已知条件证明ABMEAF，进而可得AM2AD，由AMEF，即可求得AD与EF的数量关系【详解】（1）如图2，延长AD到M，使得DMAD，连接BM，AD是ABC的中线，BDCD，在MDB和ADC中，MDBADC（SAS），BMAC6，在ABM中，ABBMAMAB+BM，86AM8+6，2AM14，1AD7，故答案为：1AD7；（2）ACBM，且ACBM，理由是：由（1）知

28、，MDBADC，MCAD，ACBM，ACBM；（3）EF2AD，理由：如图2，延长AD到M，使得DMAD，连接BM，由（1）知，BDMCDA（SAS），BMAC，ACAF，BMAF，由（2）知：ACBM，BAC+ABM180，BAEFAC90，BAC+EAF180，ABMEAF，在ABM和EAF中，ABMEAF（SAS），AMEF，ADDM，AM2AD，AMEF，EF2AD，即：EF2AD【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键13【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图，在中，是边上的中线，若延长至，使，连接，可根据证明，则(

29、1)【类比探究】如图，在中，点是的中点，求中线的取值范围；(2)【拓展应用】如图，在四边形中，点是的中点若是的平分线试探究，之间的等量关系，并证明你的结论【答案】(1)2DG5(2)AD=DC+AB【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，根据SAS可证DEGMFG，得出MF=3，然后根据三角形三边不等关系定理求出DM取值范围，最后把DM=2DG代入即可求解；（2）延长AE，DC相交于点F，根据ASA可证ABEFCE，则AB=FC，然后由AE平分BAD，ABCD可证F=DAF，由等角对等边可得AD=DF，最后由线段的和差关系即可求解(1)解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF，又E

30、G=FG，EGD=FGM，DEGMFG，DE=MF，又DE=3，MF=3，又DF=7，DF-MFDMDF+MF，7-3DM7+3，即4DM10，42DG10，2DG5；(2)延长AE，DC相交于点F， ABCD，BAE=F，又BE=CE，AEB=FEC，ABEFCE，AB=CF，BAE=F，DAF=BAE，F=DAF，AD=FD，又FD=CD+DF，CF=AB，AD=CD+AB【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形三边关系定理等知识，读懂题意，添加“倍长中线”的辅助线是解题的关键14阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，ABC中，AB6，AC4，点D为BC的中点，

31、求AD的取值范围（1）小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题他的做法是：如图2，延长AD到E，使DEAD，连接BE，构造BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：AD的取值范围是 （2）参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D求证：PACDPCBD【答案】（1）1AD5；（2）证明见试题解析【详解】试题分析：（1）由BEDCAD ，得到BE=AC，在ABE中，由三角形三边关系即可得到结论；（2）延长PD至点F，使EFPE，连接BF得到BEFAEP，从而APEF，BFPA，又由BDFCDP，得到BDFCD

32、P，故，即可得到结论试题解析：（1）1AD5；（2）证明：延长PD至点F，使EFPE，连接BFBEAE，BEFAEP，BEFAEP，APEF，BFPA，又BDFCDP，BDFCDP，即PACDPCBD考点：相似三角形的判定与性质15在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法(1)如图1，是的中线，求的取值范围我们可以延长到点M，使，连接，易证，所以接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是_(2)如图2，是的中线，点E在边上，交于点F，且，求证：；【答案】(1)1AD6(2)见解析【分析】(1)如图1，延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，

33、证明ADCMDB(SAS)，推出AC=BM=5，再根据ABBMAMAB+BM，可得结论；(2)如图2，延长AD到T，使得DT=AD，连接BT，由ADCTDB，推出AC=BT，C=TBD，推出，再证明BF=BT，可得结论（1）解：如图1中，延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，AD是ABC的中线，BD=CD，在ADC和MDB中，ADCMDB(SAS)，AC=BM=5，AB=7，ABBMAMAB+BM，2AM12，22AD12，1AD6，故答案为：1AD6；（2）证明：如图2中，延长AD到T，使得DT=AD，连接BT，AD是ABC的中线，BD=CD，在ADC和TDB中，ADCTDB(SAS)，A

34、C=BT，C=TBD，T=DAC，EA=EF，EAF=EFA，EFA=BFT，T=BFT，BF=BT，AC=BF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，倍长中线构造全等三角形解决问题16在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线（1）如图1，是的中线，求的取值范围我们可以延长到点，使，连接，易证，所以接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ；（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；（3）如图3，在四边形中，点是

35、的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析【分析】（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围；（2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，由角度关系即可推出，故，即可得到；（3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明，即可得到，进而通过线段的和差关系得到【详解】（1）延长到点，使，连接，是的中线，在和中，在中，即，；（2）证明:延长到点使,连接，由（1）知，（3），延长到，使，连接，点在一条直线上，在和中，【点睛

36、】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键17问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图，已知E是的中点，点A在上，且求证：分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而与所在的两个三角形不全等因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形以下是两位同学添加辅助线的方法第一种辅助线做法：如图，延长到点F，使，连接；第二种辅助线做法：如图，作于点G，交延

37、长线于点F.(1)请你任意选择其中一种对原题进行证明：方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题(2)方法运用：如图，是的中线，与交于点F且求证：【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）第一种辅助线做法：延长到点F，使，连接只要证明BEFCED，即可解决问题第二种辅助线做法：作于点G，交延长线于点F，先证明BEFCEG，再证明ABFDCG即可（2）延长AD到点A，使得DA=AD，连接BA，只要证得BDACDA即可（1）第一种辅助线做法：证明：如图1，延长DE到点F，使得DE=EF，连接BF，E是B

38、C的中点BE=CE 在BEF与CED中 BEFCED（SAS）BF=CD ， F=CDE 又BAE=CDEBAE=FBF=AB AB=CD 第二种辅助线做法：证明：如图2，作CGDE于点G，BFDE交DE延长线于点E；则FCGECGD90，E是BC的中点，BE=CE 在BEF与CEG中BEFCEG （AAS）BF=CG，在ABF与DCG中， ，ABFDCG（AAS），AB=CD （2）如图3，延长AD到点A，使得DA=AD，连接BA，AD是ABC的中线， BD=CD在BDA与CDA中 ，BDACDA （SAS）BA=AC， A=CAD，又AE=EF，CAD=EFA=BFA，A=BFABF=BA BF=AC【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中线等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型