2020-2021学年新教材高考数学 第三章 圆锥曲线的方程 2综合拔高练基础过关（含解析）新人教A版选择性必修第一册.docx

1、综合拔高练五年高考练考点1双曲线的标准方程及其应用1.(2018浙江,2,4分,)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是()A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)2.(2016课标全国,5,5分,)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)考点2双曲线的几何性质 3.(2017课标全国文,5,5分,)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF

2、的面积为()A.13B.12C.23D.324.(2019浙江,2,4分,)渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是()A.22B.1C.2D.25.(2019课标全国,10,5分,)双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.324B.322C.22D.326.(2018课标全国,11,5分,)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为()A.5B.2C.3D.27.(2019课标全国,1

3、1,5分,)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.58.(2018课标全国,11,5分,)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.49.(2019江苏,7,5分,)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.10.(2017课标全国文,14,5分,)双曲线

4、x2a2-y29=1(a0)的一条渐近线方程为y=35x,则a=.11.(2017课标全国理,15,5分,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为.12.(2019课标全国,16,5分,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1BF2B=0,则C的离心率为.13.(2018北京,14,5分,)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0),双曲线N:x2m2-y2n

5、2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.考点3直线与双曲线的位置关系14.(2018天津,7,5分,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29-y23=1三年模拟练应用实践1.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,)过点(2,-2)且与双曲线x22-y2=1有相同渐近

6、线的双曲线方程是()A.y22-x24=1B.x24-y22=1C.y24-x22=1D.x22-y24=12.(2020四川成都高二上期末,)若m为实数,则“1m0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线上存在一点P,使PF2F1=2,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率为()A.52B.102C.153D.24.(2020河北石家庄二中高二上期中,)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)是等轴双曲线,点P为其右支上一动点,若点P到直线x-y+1=0的距离大于m恒成立,则实数m的最大值为.5.(2020河南濮阳高二上期末,)已知F为双曲线C:x24-y29=1的左焦点,P,

7、Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(13,0)在线段PQ上,则PQF的周长为.6.(2020湖北省实验学校、武汉一中等六校高二上期末联考,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B,F为其右焦点,若AFFB,设ABF=,且12,4,则双曲线C离心率的取值范围是.7.(2020四川雅安高二上期末检测,)已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当F1PF2=60时,PF1F2的面积为48

8、3,求此双曲线的方程.迁移创新8.(2020安徽六安一中高三上模拟,)双曲线C:ax2-by2=1(a0,b0)的虚轴长为1,两条渐近线方程为y=3x.(1)求双曲线C的方程;(2)如图1,双曲线C上有两个点D、E,直线OD和OE的斜率之积为1,判断1OE2+1OD2是不是定值;(3)如图2,经过点P(t,0)taa的直线n与双曲线C有两个交点M,N,直线n的倾斜角是,2,3,23,是否存在直线l0:x=x0其中x00,3m2-n0,m2+n+3m2-n=4,或m2+n0,3m2-n0),而|OF2|=c,所以在RtOPF2中,由勾股定理可得|OP|=c2-b2=a,所以|PF1|=6|OP|

9、=6a.在RtOPF2中,cosPF2O=|PF2|OF2|=bc,在F1F2P中,cosPF2O=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|F1F2|=b2+4c2-6a22b2c,所以bc=b2+4c2-6a24bc3b2=4c2-6a2,则有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得ca=3(负值舍去),即e=3.故选C.7.A如图,|PQ|=|OF|=c,PQ过点c2,0.Pc2,c2.又|OP|=a,a2=c22+c22=c22,ca2=2,e=ca=2.故选A.8.B由双曲线C:x23-y2=1可知其渐近线方程为y=33x,MOx=30,MON=60,不妨设OMN=90,则

10、易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,|OM|=3,则在RtOMN中,|MN|=|OM|tanMON=3.故选B.9.答案y=2x解析由双曲线x2-y2b2=1(b0)经过点(3,4),得9-16b2=1,解得b=2,又b0,所以b=2,易知双曲线的焦点在x轴上,故双曲线的渐近线方程为y=bax=2x.10.答案5解析由题意可得3a=35,所以a=5.11.答案233解析解法一:不妨设点M、N在渐近线y=bax上,如图,AMN为等边三角形,且|AM|=b,则A点到渐近线y=bax的距离为32b,又将y=bax变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,0)到渐近

11、线bx-ay=0的距离d=|ba|a2+b2=|ab|c,所以|ab|c=32b,即ac=32,所以双曲线的离心率e=ca=233.解法二:不妨设点M、N在渐近线y=bax上,如图,作AC垂直于MN,垂足为C,由题意知点A的坐标为(a,0),则|AC|=bb2a2+1=aba2+b2,在ACN中,CAN=12MAN=30,|AN|=b,所以cosCAN=cos30=|AC|AN|=aba2+b2b=aa2+b2=ac=32,所以离心率e=ca=233.12.答案2解析双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,F1BF2B=0,F1BF2B,点B在O:x2+y2=c2上

12、,如图所示,不妨设点B在第一象限,由y=bax,x2+y2=c2,a2+b2=c2,x0得点B(a,b),F1A=AB,点A为线段F1B的中点,Aa-c2,b2,将其代入y=-bax得b2=-baa-c2,解得c=2a,故e=ca=2.13.答案3-1;2解析解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭圆M的两个焦点.直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y=3x,nm=3.设m=k,则n=3k,则双曲线N的离心率e2=k2+(3k)2k=2.连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得F1CF2=90,CF1F2=30.设椭圆的焦距

13、为2c,则|CF2|=c,|CF1|=3c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即(3+1)c=2a,椭圆M的离心率e1=ca=23+1=2(3-1)(3+1)(3-1)=3-1.解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为c2,32c,代入椭圆M的方程,并结合a,b,c的关系,联立得方程组c22a2+32c2b2=1,a2-b2=c2,解得ca=3-1ca=3+1舍去.14.C双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,e2=1+b2a2=4,b2a2=3,即b2=3a2,c2=a2+b2=4a2,由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a),b2a2=3,

14、渐近线方程为y=3x,则点A与点B到直线3x-y=0的距离分别为d1=|23a-3a|2=23-32a,d2=|23a+3a|2=23+32a,又d1+d2=6,23-32a+23+32a=6,解得a=3,b2=9.双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.三年模拟练1.A因为所求双曲线与双曲线x22-y2=1有相同渐近线,所以设其方程为x22-y2=t(t0),又点(2,-2)在双曲线上,所以222-(-2)2=t,解得t=-2,则双曲线方程为y22-x24=1.故选A.2.A若方程x2m+y2m-2=1表示双曲线,则m(m-2)0,得0m2.由1m2可以得到0m2,故充分性成立;由0m2推

15、不出1m2,故必要性不成立,则“1m0,b0)上,且|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=8a3,|PF2|=2a3,因为PF2F1=2,所以|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,即2a32+(2c)2=8a32,整理得c2=53a2,所以离心率e=c2a2=153.故选C.4.答案22解析依题意得a=b,则双曲线方程为x2-y2=a2,其渐近线方程为y=x,设直线x-y=0与直线x-y+1=0的距离为d1,则d1=|1-0|12+(-1)2=22,设P到直线x-y+1=0的距离为d,则dd1.dm恒成立d1m,即m22.故m的最大值为22.5.答案

16、32解析根据题意,得双曲线C:x24-y29=1的左焦点F(-13,0),虚轴长为6,所以点A(13,0)是双曲线的右焦点,如图所示,|PF|-|AP|=2a=4,|QF|-|QA|=2a=4,PQ的长等于虚轴长的2倍,|PQ|=12,由+得,|PF|+|QF|-|PQ|=8,周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.故答案为32.6.答案(2,+)解析设双曲线的左焦点为F,连接AF,BF,AFFB,可得四边形AFBF为矩形,如图.设|AF|=m,|BF|=n,则有|AF|=|BF|=n,且m2+n2=4c2,n-m=2a,tan=mn,e2=c2a2=4c24a2=m2+n2

17、m2-2mn+n2=11-2mnm2+n2=11-2mn+nm=11-2tan+1tan,设t=tan,由12,4得t(2-3,1),则t+1t(2,4),可得2t+1t12,1,即有1-2t+1t0,12,则11-2tan+1tan(2,+),即有e(2,+).故答案为(2,+).7.解析(1)由题易得,双曲线的渐近线方程为bxay=0,则点F2到渐近线的距离为|bc0|b2+a2=b(其中c是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b,因为a2+b2=c2,所以b=43a,故所求双曲线的渐近线方程是4x3y=0.(2)因为F1PF2=60,所以由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|P

18、F1|PF2|cos60=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=4c2,由双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,平方得,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4a2,-得,|PF1|PF2|=4c2-4a2=4b2,根据三角形的面积公式得S=12|PF1|PF2|sin60=344b2=3b2=483,所以b2=48,由(1)中b=43a得a2=916b2=27,故所求双曲线方程是x227-y248=1.8.解析(1)依题意得,1b=122=14,即b=4,由渐近线方程得,ab=3,因此a=12,故双曲线的方程为12x2-4y2=1.(2)设直线

19、OD的斜率为k,显然k23且1k2aa=36,方程(*)总有两个不相等的解,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8m2t12-4m2,x1x2=-(4m2t2+1)12-4m2,当x1x20,即m23时,x1,x2均为正数,且x1aa=36,x2aa=36.设x1t36,x0=112t112=aa,符合题意.当x1x20,即m20,则tx1aa=36,x2-aa=-36.由dMdN=|PM|PN|得x1-x0x0-x2=t-x1t-x2,整理得x0=112t.t36,x0=112t112=aa,符合题意.存在直线l0:x=x0其中x0aa使得dMdN=|PM|PN|恒成立,此时x0=112t.