九省联考新题型背景专题训练-2024届高三数学二轮复习（学生版）.pdf

1、1九省联考后精典的新题型背景一、单选题1(山东省名校考试联盟 2023-2024 学年高三下学期开学考试数学试题)欧拉公式 ei=cos+isin(e是自然对数的底数，i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系已知 z=iei，则 z=()A.1B.2C.2D.2 22(2024 届九省联考高考适应性考试数学变式卷(2)欧拉恒等式 ei+1=0 也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的公式之一，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底数 e，圆周率，两个单位：虚数单位 i 和自然数的单位 1，以及数学里常见

2、的 0因此，数学家们评价它是“上帝创造的公式，我们只能看它而不能理解它”根据该公式，引出了复数的三角表示：ei=cos+isin，由此建立了三角函数与指数函数的关系，是复数体系发展的里程碑根据上述信息，下列结论正确的是()A.ei的实部为 1B.ei对应的点在复平面的第二象限C.e2i的虚部为 1D.e2i对应的点在复平面的第二象限3(2024 届高三新高考改革数学适应性练习(7)(九省联考题型)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家 Buniakowsky 和 Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用

3、到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数a1,a2,a3 和 b1,b2,b3，有 a21+a22+a23b21+b22+b23 a1b1+a2b2+a3b32等号成立当且仅当 a1b1=a2b2=a3b3已知 x2+y2+z2=14，请你用柯西不等式，求出 x+2y+3z 的最大值是()A.14B.12C.10D.84(2024 届高三新高考改革数学适应性练习(5)(九省联考题型)“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以 2，如果它是奇数，我们就把它乘 3 再加上 1在这样一个变换下，我们就得到了一个新

4、的自然数如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为 1我们记一个正整数n n 1经过 J n次角股运算后首次得到 1(若 n 经过有限次角股运算均无法得到 1，则记 J n=+)，以下说法有误的是()A.J n可看作一个定义域和值域均为 N*的函数B.J n在其定义域上不单调，有最小值，无最大值C.对任意正整数 n n 1，都有 J nJ 2=J 2n-1D.J 2n=n 是真命题，J 2n-1 J 2n+1是假命题5(重庆市部分学校 2024 届高三上学期 12 月月考数学试题)古希腊的数学家海伦在他的著作测地术中最早记录了“海伦公式”：S=p

5、p-ap-bp-c，其中 p=a+b+c2，a，b，c 分别为 ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在 ABC 中，sinA:sinB:sinC=8:7:3，且 ABC的面积为 12 3，则 BC 边上的中线长度为()A.3 2B.4C.74D.266(安徽省阜阳市第三中学 2023-2024 学年高二上学期二调考试(12 月)数学试题)“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点 A x1,y1,B x2,y2的曼哈顿距离为：d A,B=x1-x2+y1-y2.已知点 M 在圆 O:x2+y2=1 上，点 N 在

6、直线 l:3x+y-9=0 上，则d M,N的最小值为()2A.9 1010B.9 1010-1C.18-2 105D.3-103二、多选题7(云南省下关一中教育集团 2023-2024 学年高二上学期 12 月段考(二)数学试卷)欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为 eix=cosx+isinx，i 虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”(e 为自然对数的底数，i 为虚数单位)，依据上述公式，则下列结论中正确的是()A.复数 ei 2 为纯虚数B.复数 ei3对应的点位于第二象限C.复数 ei 3 的共轭复数

7、为32-12 iD.复数 ei(0,)在复平面内对应的点的轨迹是半圆8(重庆市南开中学校 2023-2024 学年高三第六次质量检测(2 月)数学试题)平面解析几何的结论很多可以推广到空间中，如：(1)平面上，过点 Q x0,y0，且以 m=a,bab 0为方向向量的平面直线 l 的方程为 x-x0a=y-y0b；在空间中，过点 Q x0,y0,z0，且以 m=a,b,cabc 0为方向向量的空间直线 l 的方程为 x-x0a=y-y0b=z-z0c.(2)平面上，过点 Q x0,y0，且以 u=m,nmn 0为法向量的直线 l 的方程为 m x-x0+n y-y0=0；空间中，过点 Q x0

8、,y0,z0，且以 u=m,n,pmnp 0为法向量的平面 的方程为 m x-x0+n y-y0+p z-z0=0.现已知平面:2x+3y+4z=5，平面:-x-2y+2z=0，l1:2x-y=10y+z=-1，l2:6x=4y+1=3z-1，则()A.l1 B.C.l1 D.l2 9(浙江省宁波市镇海中学 2023 届高三下学期 5 月模拟考试数学试题)在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：(1)过点 P0 x0,y0,z0，且以 u=a,b,cabc 0为方向向量的空间直线 l 的方程为 x-x0a=y-y0b=z-z0c；(2)过点 P x0,y0,z0，且 v=m,n,tmnt 0为

9、法向量的平面 的方程为 m x-x0+n y-y0+t z-z0=0现已知平面:x+2y+3z=6，l1:2x-y=13y-2z=1，l2:x=y=2-z，l3:x-15=y-4=z1()A.l1 B.l2 C.l3 D.l1 10(期末真题必刷压轴 60 题(22 个考点专练)-【满分全攻略】(人教 A 版 2019 必修第一册)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x R，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 y=x 称为高斯函数，如：1.2=1，-1.2=-2，y=x 又称为取整函数

10、，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是()A.x R，2x=2xB.x R，x+x+12=2xC.x，y R，若 x=y，则有 x-y-1D.方程 x2=3x+1 的解集为7，10311(广东省东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学 2024 届高三第四次六校联考数学试题)英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数 f(x)有两个不相等的实根 b,c，其中 c b.在函数 f(x)图象上横坐标为 x1的点处作曲线 y=f(x)的切线，切线与 x 轴交点的横坐标为 x2；用

11、 x2代替 x1，重复以上的过程得到 x3；一直下去，得到数列 xn.记 an=ln xn-bxn-c，且 a1=1，xn c，下列说法正确的是()A.x1=ec-be-1(其中 lne=1)B.数列 an 是递减数列C.a6=132D.数列 an+1an的前 n 项和 Sn=2n-21-n+112(重庆市万州第二高级中学 2020-2021 学年高一上学期期中数学试题)德国数学家狄里克雷1805-1859在 1837 年时提出：“如果对于 x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么 y 是 x的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个 x，

12、都有一个确定的 y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数D x，即：当自变量 x 取有理数时，函数值为 1，当自变量 x 取无理数时，函数值为 0.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数 D x的性质表述正确的是()A.D=0B.D x是奇函数C.D x的值域是 0,1D.D x+1=D x三、填空题13(湖南省张家界市慈利县第一中学 2020-2021 学年高一下学期期中检测数学试卷)数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的，它们都叫欧拉

13、公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数 V.棱数 E.面数 F 之间，都满足关系式 V-E+F=2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为14(江西省景德镇市 2022 届高三第二次质检数学(理)试题)1643 年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于 120 时，所求的点为三角形的正等角中心(即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角 120)，该点称为费马点.已知 ABC 中，其中 A=60，BC=1

14、，P 为费马点，则 PB+PC-PA 的取值范围是.15(福建省泉州市普通高中 2023-2024 学年高二上学期 12 月学科竞赛数学试题)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数 y=xx R称为高斯函数，其中 x表示不超过 x 的最大整数.设 S=2024k=12024k+2024k-1k 2023，则 S 除以 2023 的余数是.4四、解答题16(2024 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题)离散对数在密码学中有重要的应用设 p 是素数，集合 X=1,2,p-1

15、，若 u,v X,m N，记 u v 为 uv 除以 p 的余数，um,为 um除以 p 的余数；设 a X，1,a,a2,ap-2,两两不同，若 an,=b n 0,1,p-2，则称 n 是以a 为底 b 的离散对数，记为 n=log(p)ab(1)若 p=11,a=2，求 ap-1,；(2)对 m1,m2 0,1,p-2，记 m1 m2为 m1+m2除以 p-1 的余数(当 m1+m2能被 p-1 整除时，m1 m2=0)证明：log(p)a b c=log(p)ab log(p)ac，其中 b,c X；(3)已知 n=log(p)ab对 x X,k 1,2,p-2，令 y1=ak,y2=

16、x bk,证明：x=y2 yn p-2,117(重庆市巴蜀中学校 2024 届高考适应性月考卷(六)数学试题)对于函数 y=f x,x I，若存在 x0I，使得 f x0=x0，则称 x0为函数 f x的一阶不动点；若存在 x0 I，使得 f f x0=x0，则称 x0为函数 f x的二阶不动点；依此类推，可以定义函数 f x的 n 阶不动点.其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.(1)已知 f x=2x+2x-3，求 f x的不动点；(2)已知函数 f x在定义域内单调递增，求证：“x0为函数 f x的不动点”是“x0为函数 f x的稳定点”的充分必要条件；(3)已知 a-1，讨

17、论函数 f x=2e2 lnx+a+1x-1x 的稳定点个数.518(2024湖北二模)微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段对于函数 f x=1x(x 0),f x在区间 a,b上的图像连续不断，从几何上看，定积分ba1xdx 便是由直线 x=a,x=b,y=0 和曲线 y=1x 所围成的区域(称为曲边梯形 ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得ba1xdx=lnb-lna，因为曲边梯形 ABQP 的面积小于梯形 ABQP 的面积，即 S曲边梯形 ABQP21a+1b(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方

18、法，证明：a-blna-lnb a+b2；(2)已知函数 g(x)=-2sin2x+acosx=-4sinxcosx+acosx，其中 a,b R证明：对任意两个不相等的正数 x1,x2，曲线 y=f x在 x1,f x1和 x2,f x2处的切线均不重合；当 b=-1 时，若不等式 f x 2sin x-1恒成立，求实数 a 的取值范围19(重庆市第八中学校 2023-2024 学年高三下学期入学适应性考试数学试题)如果函数 F x的导数F x=f x，可记为 F x=f xdx若 f x 0，则ba f xdx=F b-F a表示曲线 y=f x，直线x=a,x=b 以及 x 轴围成的“曲

19、边梯形”的面积(1)若 F x=1x dx，且 F 1=1，求 F x；(2)已知 0 2，证明：cos a0 cosxdx ，并解释其几何意义；(3)证明：1n1+cos n+1+cos 2n+1+cos 3n+1+cos nn 0，则 y 随着 a的增大而增大；反之，已知 dyda 0，则 y 随着 a 的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：可加性：d y1+y2da=dy1da+dy2da；乘法法则：d y1y2da=y2dy1da+y1dy2da；除法法则：dy1y2da=y2dy1da-y1dy2day22；复合法则：dy2da=dy2dy1 dy1da.

20、记 y=ex+1e x2lnx-12e x2-ex-a.(e=2.7182818 为自然对数的底数)，(1)写出 dydx 和 dyda 的表达式；(2)已知方程 y=0 有两实根 x1,x2，x1 0，并写出 x1+x2随 a 的变化趋势.21(广东省八校(石门中学、国华纪念中学、三水中学、珠海一中、中山纪念中学、湛江一中、河源中学、深圳实验学校)2021-2022 学年高二下学期 5 月联考数学试题)关于 x 的函数 f x=lnx+2x-b(b 2)，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法-“牛顿切线法”.(1)证明：f x有唯一零点

21、a，且 a 1,b；(2)现在，我们任取 x1(1,a)开始，实施如下步骤：在 x1,f x1处作曲线 f x的切线，交 x 轴于点 x2,0；在 x2,f x2处作曲线 f x的切线，交 x 轴于点 x3,0；在 xn,f xn处作曲线 f x的切线，交 x 轴于点 xn+1,0；可以得到一个数列 xn，它的各项都是 f x不同程度的零点近似值.(i)设 xn+1=g xn，求 g xn的解析式(用 xn表示 xn+1)；(ii)证明：当 x1 1,a，总有 xn xn+1 2).(1)证明：f x恰有一个零点 a，且 a 1,b；(2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的

22、求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取 x1 1,a，实施如下步骤：在点 x1,f x1处作 f x的切线，交 x 轴于点 x2,0：在点 x2,f x2处作 f x的切线，交 x 轴于点 x3,0；一直继续下去，可以得到一个数列 xn，它的各项是 f x不同精确度的零点近似值.(i)设 xn+1=g xn，求 g xn的解析式；(ii)证明：当 x1 1,a，总有 xn xn+1 1若 m (a-b)，则称 a 与 b 关于模 m 同余，记作 a b(modm)(“|”为整除符号)(1)解同余方程：x2+2x 0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列 an，其中 a1 a2

23、a3 an若 bn=an+1-an n N+，数列 bn的前 n 项和为 Sn，求 S4048；若 Cn=tana2n+3 tana2n+1 n N+，求数列 Cn的前 n 项和 Tn25(湖北省襄阳市第五中学 2024 届高三下学期开学考试数学试题)“物不知数”是中国古代著名算题，原载于孙子算经卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数之剩二问物几何？”问题的意思是，一个数被 3 除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 2，那么这个数是多少？若一个数 x 被 m 除余r，我们可以写作 x r modm它的系统解法是秦九韶在数书九章大衍求一术中给出的大衍求一术(也称

24、作“中国剩余定理”)是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序中国剩余定理：假设整数 m1，m2，mn两两互质，则对任意的整数：r1，r2，rn方程组x r1 modm1x r2 modm2x rn modmn一定有解，并且通解为 x=kM+r1t1M1+r2t2M2+rntnMn，其中 k 为任意整数，M=m1m2 mn，Mi=Mmi，ti为整数，且满足 Miti=1 modmi(1)求出满足条件的最小正整数，并写出第 n 个满足条件的正整数；(2)在不超过 4200 的正整数中，求所有满足条件的数的和(提示：可以用首尾进行相加)926(河南省部分重点高中 2

25、024 届高三普通高等学校招生全国统一考试(期末联考)数学试卷)三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a3b2c1-a2b1c3-a1b3c2若 a b=ijkx1y1z1x2y2z2，则称 a b 为空间向量 a 与 b 的叉乘，其中 a=x1i+y1j+z1k(x1,y1,z1 R)，b=x2i+y2j+z2k(x2,y2,z2 R)，i,j,k为单位正交基底以 O 为坐标原点、分别以 i,j,k 的方向为 x 轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知 A，B 是空间直角坐标系中异于 O

26、的不同两点(1)若 A 1,2,1，B 0,-1,1，求 OA OB；证明：OA OB+OB OA=0(2)记 AOB 的面积为 SAOB，证明：SAOB=12 OA OB(3)证明：OA OB2的几何意义表示以 AOB 为底面、OA OB为高的三棱锥体积的 6 倍27(北京市朝阳区 2024 届高三上学期期中数学试题)已知 Am=a1,1a1,2a1,ma2,1a2,2a2,mam,1am,2am,m(m 2)是 m2个正整数组成的 m 行 m 列的数表，当 1 i s m,1 j t m 时，记 d ai,j,as,t=ai,j-as,j+as,j-as,t设 n N*，若 Am满足如下两

27、个性质：ai,j 1,2,3;,n(i=1,2,m;j=1,2,m)；对任意 k 1,2,3,n，存在 i 1,2,m,j 1,2,m，使得 ai,j=k，则称 Am为 n数表(1)判断 A3=123231312是否为 3数表，并求 d a1,1,a2,2+d a2,2,a3,3的值；(2)若 2数表 A4满足 d ai,j,ai+1,j+1=1(i=1,2,3;j=1,2,3)，求 A4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意 4数表 A10，存在 1 i s 10,1 j 3 5 的 n 的最小值.(2)n N*，n 3，矩阵 Cnn=1coscoscoscoscos0-sin-sincos

28、-sincos-sincos-sincos00sin2sin2cossin2cossin2cos0000(-1)n-2sinn-2(-1)n-2sinn-2cos00000(-1)n-1sinn-1求 CF.(3)矩阵 Dmin=n+2n+1ln00 0n+1nln22n+1nln22 0 043lnn-1n-143lnn-1n-143lnn-1n-1 032lnnn32lnnn32lnnn 32lnnn，证明：n N*，n 3，DFn3n+9.1129(贵州省贵阳市 2024 届高三下学期适应性考试数学试卷(一)英国数学家泰勒发现了如下公式：ex=1+x+x22!+x33!+xnn!+其中

29、n!=1 2 3 4 n,e 为自然对数的底数，e=2.71828.以上公式称为泰勒公式.设 f x=ex-e-x2,g x=ex+e-x2，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：ex 1+x；(2)设 x 0,+，证明：f xx g x；(3)设 F x=g x-a 1+x22，若 x=0 是 F x的极小值点，求实数 a 的取值范围.30(福建省福州第一中学 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题)英国数学家泰勒发现了如下公式：sinx=x-x33!+x55!-x77!+，其中 n!=1 2 3 4 n，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式

30、：当 x 0,2时，sinx x-x33!，sinx 12；(2)设 f x=msinx，若区间 a,b满足当 f x定义域为 a,b时，值域也为 a,b，则称为 f x的“和谐区间”.(i)m=1 时，f x是否存在“和谐区间”？若存在，求出 f x的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；(ii)m=-2 时，f x是否存在“和谐区间”？若存在，求出 f x的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.1231(北京市第四中学 2021-2022 学年高二上学期期中考试数学试题)对于给定的正整数 n，记集合 Rn=x1,x2,x3,xn,xj R,j=1,2,3,n，其中元素 称为一个 n 维

31、向量特别地，0=0,0,0称为零向量设 k R，=a1,a2,an，=b1,b2,bn Rn，定义加法和数乘：+=a1+b1,a2+b2,an+bn，k=ka1,ka2,kan对一组向量 1，2，s(s N+，s 2)，若存在一组不全为零的实数 k1，k2，ks，使得 k11+k22+kss=0，则称这组向量线性相关否则，称为线性无关(1)对 n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由 =1,1,1，=2,2,2；=1,1,1，=2,2,2，=5,1,4；=1,1,0，=1,0,1，=0,1,1，=1,1,1(2)已知向量，线性无关，判断向量 +，+，+是线性相关还是线性无关，

32、并说明理由(3)已知 m m 2个向量 1，2，m 线性相关，但其中任意 m-1 个都线性无关，证明下列结论：如果存在等式 k11+k22+kmm=0(ki R，i=1,2,3,m)，则这些系数 k1，k2，km或者全为零，或者全不为零；如果两个等式 k11+k22+kmm=0，l11+l22+lmm=0(ki R，l1 R，i=1,2,3,m)同时成立，其中 l1 0，则 k1l1=k2l2=kmlm32(云南省昆明市西山区 2024 届高三第三次教学质量检测数学试题)我们把 a0+a1x+a2x2+anxn=0(其中 an 0，n N*)称为一元 n 次多项式方程代数基本定理：任何复系数一

33、元 n n N*次多项式方程(即 a0，a1，a2，an为实数)在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 n n N*次多项式方程在复数集内有且仅有 n 个复数根(重根按重数计算)那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 n n N*次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为 n 个一元一次多项式的积即 a0+a1x+a2x2+anxn=an x-1k1 x-2k2 x-mkm，其中 k，m N*，k1+k2+km=n，1，2，m为方程 a0+a1x+a2x2+anxn=0 的根进一步可以推出：在实系数范围内(即 a0，a1，a2，an为实数)，方程 a0+a1x+a2x2+an

34、xn=0 的有实数根，则多项式 a0+a1x+a2x2+anxn必可分解因式例如：观察可知，x=1 是方程 x3-1=0 的一个根，则 x-1一定是多项式 x3-1 的一个因式，即 x3-1=x-1ax2+bx+c，由待定系数法可知，a=b=c=1(1)解方程：x3-2x+1=0；(2)设 f x=a0+a1x+a2x2+a3x3，其中 a0，a1，a2，a3 R+，且 a0+a1+a2+a3=1(i)分解因式：x-a0+a1x+a2x2+a3x3；(ii)记点 P x0,y0是 y=f x的图象与直线 y=x 在第一象限内离原点最近的交点求证：当 a1+2a2+3a31 时，x0=11333

35、(山东省菏泽市 2024 届高三下学期一模考试数学试题)帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法给定两个正整数 m，n，函数 f(x)在 x=0 处的 m,n 阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+amxm1+b1x+bnxn，且满足：f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)(注：f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，f(4)(x)=f(x)，f(5)(x)=f(4)(x)，；f(n)(x)为 f(n-1)(x)的导数)已知 f(x)=ln(x+1)在 x=0 处的 1,1阶帕德近似为 R(x)=ax1+b

36、x(1)求实数 a，b 的值；(2)比较 f x与 R(x)的大小；(3)若 h(x)=f(x)R(x)-12-mf(x)在(0,+)上存在极值，求 m 的取值范围34(重庆市求精中学校 2023-2024 学年高二下学期阶段测试数学试题)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC 的三个内角均小于 120 时，使得 AOB=BOC=COA=120 的点 O 即为费马点；当 ABC 有一个内角大于或等于 120 时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：

37、已知 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 cos2B+cos2C-cos2A=1(1)求 A；(2)若 bc=2，设点 P 为 ABC 的费马点，求 PA PB+PB PC+PC PA；(3)设点 P 为 ABC 的费马点，PB+PC=t PA，求实数 t 的最小值1435(东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2023-2024 学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题)十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字 0 和 1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数 1 在二进制中就表示为 12，2表示

38、为 102，3 表示为 112，5 表示为 1012，发现若 n N+可表示为二进制表达式 a0a1a2 ak-1ak2，则 n=a0 2k+a1 2k-1+ak-1 21+ak，其中 a0=1，ai=0 或 1(i=1,2,k).(1)记 S n=a0+a1+ak-1+ak，求证：S 8n+3=S 4n+3；(2)记 I n为整数 n 的二进制表达式中的 0 的个数，如 I 2=1，I 3=0.()求 I 60；()求511n=12I n(用数字作答).36(2024 届广东省(佛山市第一中学、广州市第六中学、汕头市金山中学、)高三六校 2 月联考数学试卷)如图，已知椭圆 的短轴长为 4，焦

39、点与双曲线x24-t-y2t=1 的焦点重合.点 P 4,0，斜率为 12 的直线l1与椭圆 交于 A,B 两点.(1)求常数 t 的取值范围，并求椭圆 的方程.(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)极点与极线是法国数学家吉拉德迪沙格于 1639 年在射影几何学的奠基之作圆锥曲线论稿中正式阐述的.对于椭圆:x2a2+y2b2=1，极点 P x0,y0(不是原点)对应的极线为 lP:x0 xa2+y0yb2=1，且若极点 P 在 x 轴上，则过点 P 作椭圆的割线交 于点 A1,B1，则对于 lP上任意一点 Q，均有 kQA1+kQB1=2kPQ(当斜率均存在

40、时).已知点 Q 是直线 l1上的一点，且点 Q 的横坐标为 2.连接 PQ 交 y 轴于点 E.连接 PA,PB 分别交椭圆 于 M,N 两点.设直线 AB、MN 分别交 y 轴于点 D、点 T，证明：点 E 为 D、T 的中点；证明直线：MN 恒过定点，并求出定点的坐标.1537(2024 年九省联考数学模拟试卷)拓扑学是一个研究图形(或集合)整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑已知平面 E 2=x，y|x，y R，定义对 A1 x1，y1，A2 x2，y2，其度量(距离)d A1，A2=x1-x22+y1-y22 并称E 2，d为一度量平面设

41、 x0 E 2，d，R+，称平面区域 B x0，=x E 2，dd x0，x 2，对于任意的 n N*，都存在 m N*，使得 2bn=bm，求a 的值；(3)各项均为正数的数列 cn的前 n 项和为 Sn，且 cn为常数列，对满足 m+n=2t，m n 的任意正整数 m,n,t 都有 cm cn，且不等式 Sm+Sn St恒成立，求实数 的最大值1639(云南省昆明市第一中学 2024 届高三上学期第六次考前基础强化数学试题)悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 ch x=ex+e-x2的图象，类比三角函数的三种性质：平方关系：s

42、in2x+cos2x=1，和角公式：cos x+y=cosxcosy-sinxsiny，导数：sinx=cosx,cosx=-sinx,定义双曲正弦函数 sh x=ex-e-x2(1)直接写出 sh x，ch x具有的类似、的三种性质(不需要证明)；(2)若当 x 0 时，sh x ax 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)求 f x=ch x-cosx-x2的最小值40(2024 届高三新高考改革数学适应性练习(九省联考题型)对于非空集合 G，定义其在某一运算(统称乘法)“”下的代数结构称为“群”G,，简记为 G而判断 G是否为一个群，需验证以下三点：1.(封闭性)对于规定的“”运算，对任

43、意 a,b G，都须满足 a b G；2.(结合律)对于规定的“”运算，对任意 a,b,c G，都须满足 a b c=a b c；3.(恒等元)存在 e G，使得对任意 a G，e a=a；4.(逆的存在性)对任意 a G，都存在 b G，使得 a b=b a=e记群 G所含的元素个数为 n，则群 G也称作“n 阶群”若群 G的“”运算满足交换律，即对任意 a，b G，a b=b a，我们称 G为一个阿贝尔群(或交换群)(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群 R+；(2)记 C为所有模长为 1 的复数构成的集合，请找出一个合适的“”运算使得 C在该运算下构成一个群 C，并说明理由；(3)所

44、有阶数小于等于四的群 G是否都是阿贝尔群？请说明理由1741(2024 届高三新高考改革数学适应性练习(4)(九省联考题型)“让式子丢掉次数”：伯努利不等式伯努利不等式(BernoullisInequality)，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布伯努利提出：对实数 x -1,+，在 n 1,+时，有不等式1+xn 1+nx 成立；在 n 0,1时，有不等式1+xn 1+nx 成立(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；(2)当 n 1 时，对伯努利不等式进行证明；(3)考虑对多个变量的不等式问题已知 a1,a2,an n N*是大于-1 的实数(全

45、部同号)，证明1+a11+a2 1+an 1+a1+a2+an42(江苏省四校联合 2024 届高三新题型适应性考试数学试题)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用设 A，B，C，D 是直线 l 上互异且非无穷远的四点，则称 ACBC BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如 AB=-BA)为 A，B，C，D 四点的交比，记为(A,B;C,D)(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若 l1，l2，l3，l4为平面上过定点 P 且互异的四条直线，L1，L2为不过点 P 且互异的两条直线，L1与 l1，l2，l3，l4的交点分别为 A1，B1，C1，D1，L2与 l1，l2，l3，l4的交点分别为 A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)=(A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若 EFG 与 EFG 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则 EFG 与 EFG 对应边的交点在一条直线上