2023年高考数学一轮复习 课时规范练55 几何概型（含解析）北师大版 文.docx

1、课时规范练55几何概型基础巩固组1.(2021山西运城模拟)某单位试行上班刷卡制度,规定每天8:30上班,有15分钟的有效刷卡时间(即8:158:30),一名职工在7:50到8:30之间到单位且到达单位的时刻是随机的,则他能正常刷卡上班的概率是()A.23B.58C.13D.38答案:D解析:一名职工在7:50到8:30之间到单位,刷卡时间长度为40分钟,但有效刷卡时间是15分钟,所以该职工能正常刷卡上班的概率P=1540=38.故选D.2.已知0,则满足sin cos的概率为()A.14B.13C.12D.34答案:A解析:0,sincos,04,满足sincos的概率为P=4-0-0=14

2、.3.(2021福建龙岩质检)在区间-2,2上随机取一个实数x,使cosx12的概率为()A.34B.23C.12D.13答案:B解析:不等式cosx12在区间-2,2上的解为-3x3,故cosx12的概率为23=23.4.在一次试验中,向如图所示的正方形ABCD中随机撒一大把豆子,图中半圆的直径分别为AB,BC.经过统计,发现落在正方形ABCD中的豆子有N粒,其中有m(mN)粒豆子落在阴影区域内,以此估计mN的值为()A.-28B.-24C.-18D.-14答案:A解析:设正方形ABCD的边长为2,则正方形ABCD的面积等于4.因为阴影部分的面积等于21412-1211=-22,所以mN-2

3、24=-28.故选A.5.(2021河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f(x)=sin x+3cos x,当x0,时,f(x)1的概率为()A.13B.14C.15D.12答案:D解析:由f(x)=2sinx+31,x0,得x0,2,所求概率P=2=12,故选D.6.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3答案

4、:A解析:设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为c22,以AB为直径的圆面积为b22,以AC为直径的圆面积为a22.所以S=12ab,S=12b24+12a24-12c24-12ab=12(b2+a2-c2)4+12ab=12ab,S=12c24-12ab,所以S=S,由几何概型,知p1=p2.7.(2021山西孝义模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(1,0)和圆O:x2+y2=1,在圆O上任取一点Q,连接PQ,则直线PQ的斜率大于-3的概率是()A.16B.13C.23D.56答案:D解析:如图:当直线PM的斜率为-3时,倾斜角为120,POM=

5、60,当点Q在优弧PM(不含端点)上时,直线PQ的斜率大于-3,优弧PM的长度为2-31=53,圆的周长为21=2,根据几何概型的概率公式可得所求概率为532=56.故选D.8.在区间-,上随机取两个实数a,b,记向量OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OAOB42的概率为.答案:1-4解析:在区间-,上随机取两个实数a,b,则点(a,b)在以2为边长的正方形内及正方形的边上,因为OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OAOB=4a2+4b2.因为OAOB42,所以a2+b22,点(a,b)在以原点为圆心,以为半径的圆外及圆上,且在以2为边长的正方形内及正方形的边上,所以OAOB42

6、的概率为P=42-342=1-4.综合提升组9.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=x+b.当实数b0,6时,圆C上恰有2个点到直线l的距离为1的概率为()A.23B.22C.12D.13答案:A解析:圆C的圆心坐标为O(0,0),半径为2,直线l为x-y+b=0.当b2=3,即b=32时,圆上恰有一个点到直线l距离为1,当b2=1,即b=2时,圆上恰有3个点到直线l距离为1.所以当b(2,32)时,圆上恰有2个点到直线l的距离为1,故概率为32-26=23.故选A.10.设复数z=(x-1)+yi(x,yR),若|z|1,则yx的概率为()A.34+12B.12+1C.14-12D.12-

7、1答案:C解析:|z|=(x-1)2+y21,(x-1)2+y21,其几何意义表示为以(1,0)为圆心,1为半径的圆面,如图所示,而yx所表示的区域如图中阴影部分,故P=4-12=14-12.故选C.11.(2021河南商丘、周口、驻马店联考)如图,AC,BD分别是大圆O的两条相互垂直的直径,4个小圆的直径分别为OA,OB,OC,OD,若向大圆内部随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为()A.4B.8C.1D.2答案:D解析:不妨设大圆的半径为2,则大圆的面积为4,小圆的半径为1,如图,设图中阴影部分面积为S,由图形的对称性知,题图中的阴影面积S阴影=8S.又S=1212-1412-1212

8、2=1,则所求概率为84=2.故选D.12.记m表示不超过m的最大整数.若在x18,12上随机取1个实数,则使得log2x为偶数的概率为.答案:23解析:若x18,12,则log2x(-3,-1).要使得log2x为偶数,则log2x-2,-1).所以x14,12,故所求概率P=12-1412-18=23.创新应用组13.在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C.(1)在斜边AB上任取一点M,求AMAC的概率;(2)在ABC的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AMAC的概率.解:(1)在等腰直角三角形ABC中,设AC长为1,则AB长为2,在AB上取点C,使AC=1,若点M在线段AC上,则满足AMAC.AC=1,AB=2,AMAC的概率为P1=ACAB=22.在斜边AB上任取一点M,则AMAC的概率是22.(2)在AB上取AC=AC,则ACC=180-452=67.5.则所有可能结果的区域为ACB,事件A构成的区域为ACC.ACB=90,ACC=67.5,AMAC的概率为P2=67.590=34.