2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第一册） 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（精讲）（教师版含解析）.docx

1、2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精讲)思维导图常见考法考点一 直线与圆的位置关系【例1】(1)(2021遵义师范学院附属实验学校)圆 与直线 的位置关系是( )A相交B相切C相离D无法确定(2)(2021全国高二专题练习)直线与圆的公共点个数为 ( )A个B个C个D个或个(3)(2021黑龙江哈尔滨市)若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为( )ABCD(4)(2021浙江高二期末)已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】(1)C(2)D(3)C(4)A【解析】(1)圆心为，半径圆心到直线的距离为所以直线与圆相离故选：C(2)将直线的方程变形为

2、，由，可得，所以，直线过定点，即点在圆上，因此，直线与圆相交或相切.故选：D.(3)由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即曲线表示圆心，半径为1的圆，圆心到直线的距离应小于等于半径，即，解得.故选：C.(4)曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线过定点，如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，由，得或，所以，所以实数的取值范围是.故选：A【一隅三反】1(2021江苏南京市高二期末)直线与圆的位置关系是( )A直线过圆心B相切C相离D相交【答案】B【解析】圆的圆心为 ，半径圆心到直线的距离 所以直线与圆相切故选：B2(2021四川成都市)若圆与直线只有一个公共点，

3、则的值为( )ABCD【答案】C【解析】因圆与直线只有一个公共点，则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1，即，而，则有，所以的值为2.故选：C3(2021浙江高二期末)直线与圆的位置关系是( )A相交B相切C相离D与a的大小有关【答案】A【解析】直线l：，即恒过，而，故点在圆内，故直线与圆必然相交故选：A4(2021全国高二专题练习)若直线与曲线有公共点，则的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】根据题意，y，变形可得x2+y21()，为圆x2+y21的下半部分，若直线x+yb0与曲线y有公共点，则当直线经过点A时，直线x+yb0与曲线y有公共点此时b1，将直线向下平移至直线与曲线相切时

4、，有1，解可得b，又由b0)上一动点，PA，PB 是圆C：+2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为( )ABCD【答案】A【解析】圆的圆心，半径是，由圆的性质知：，四边形的最小面积是，的最小值是切线长).所以|PC|的最小值为，所以故选：【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)P是直线x+y-2=0上的一动点，过点P向圆引切线，则切线长的最小值为( )ABC2D【答案】C【解析】圆，圆心，半径.由题意可知，点到圆的切线长最小时，垂直于直线.圆心到直线的距离，切线长的最小值为：.故选：C.2(2021西安市铁一中学高二期末(理)由直线上的点向圆引切线，则切

5、线长的最小值为ABCD【答案】B【解析】圆心,半径 ，圆心到直线的距离 则切线长的最小值3(2021安徽马鞍山市马鞍山二中高二期末(文)若从坐标原点O向圆作两条切线，切点分别为A，B，则线段的长为( )AB3CD【答案】D【解析】圆标准方程是，圆心为，半径为，所以关于对称，即关于轴对称，而，所以，所以故选：D4(2021重庆市南坪中学校高二月考)过坐标原点O作圆(x2)2+(y3)24的两条切线，切点为A，B直线AB被圆截得弦AB的长度为( )ABCD【答案】B【解析】如图所示,易得,故 .故选：B5(2021浙江高二期末)过点作圆的切线，切线的方程为( )ABC或D或【答案】D【解析】圆的圆

6、心为，半径，过点作圆的切线，当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足条件，当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，即，则，解得，故切线方程为，综上可得切线方程为或故选：D6(2021全国高二课时练习)经过点作圆的切线，则切线的方程为 ABCD【答案】A【解析】因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2，故切线方程为，整理得7(2021安徽池州市高二期末(理)若圆，圆，则，的公切线条数为( )A1B2C3D4【答案】B【解析】依题意，圆，圆心为，半径为3；圆，圆心为，半径为6；因为，故圆，相交，有2条公切线，故选：B.8(2021六安市裕安区新安中学高二开学考试(理)若圆与圆有且仅有三条公切线，则a

7、=( )A-4B-1C4D11【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为，两圆有且仅有三条公切线，两圆外切，则可得，解得.故选：C.9(2021四川眉山市仁寿一中高二开学考试(文)已知点是直线上一动点，直线是圆的两条切线，为切点，为圆心，则四边形面积的最小值是( )A2BCD4【答案】A【解析】圆即,表示以C(0,-1)为圆心，以1为半径的圆由于四边形PACB面积等于，而.故当PC最小时，四边形PACB面积最小.又PC的最小值等于圆心C到直线的距离d,而，故四边形PACB面积的最小的最小值为，故选A.考点七 实际生活运用【例7】(2021上海高二专题练习)如图，某海面上有、三个

8、小岛(面积大小忽略不计)，岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆经过、三点.(1)求圆的方程；(2)若圆区域内有未知暗礁，现有一船D在岛的南偏西30方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】(1)(2)该船有触礁的危险【解析】(1)如图所示，、，设过、三点的圆的方程为，得：，解得，故所以圆的方程为，圆心为，半径，(2)该船初始位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为1，故该船航行方向为直线：，由于圆心到直线的距离，故该船有触礁的危险.【一隅三反】1(

9、2021重庆巴蜀中学高一期中)如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为( )A米B米C米D米【答案】C【解析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于轴负半轴上，设该圆的圆心为，则该圆的方程为，记水面下降前与圆的两交点为，；记水面下降米后与圆的两交点为，；由题意可得，则，解得，所以圆的方程为，水面位下降米后，可知点纵坐标为，所以，解得，则此时的桥在水面的跨度为米.故选：C.2(2021上海高二专题练习)有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，地的运费是地

10、运费的倍已知两地相距千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系(1)求、两地的售货区域的分界线的方程(2)画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】(1)以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，设每单位距离的运费为元，设售货区域内一点为，若在两地的购货费用相同，则，化简可得，故在、两地的售货区域的分界线的方程为；(2)由(1)可知，、两地的售货区域的分界线是以点为圆心，以为半径的圆，所以，在圆上的居民从、两地购货的总费用相同.由，可得，所以，在圆

11、外的居民从地购货便宜；由，可得，所以，在圆内的居民从地购货便宜.考点八 综合运用【例8】(2021全国高二课时练习)已知圆C的圆心坐标为C(3，0)，且该圆经过点A(0，4)(1)求圆C的标准方程；(2)若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求直线AB的方程；(3)直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标(4)直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线l的斜率是定值，并求出该定值【答案】(1)(x3)2+y225；(2)x0或7x+24y960；(3)证明见解析，(6，12)；(4)证明见解析，.【解析】(1)圆以

12、为圆心，为半径，所以圆的标准方程为.(2)不存在时，直线的方程为：，满足题意；存在时，设直线的方程为：， ，所以直线的方程为：，综上所述，直线的方程为或.(3)设直线：，联立方程，所以，代入得，化简得，所以直线的方程为：，所以过定点.(4)设直线AM：ykx+4，联立方程，所以M点的坐标为，同理N点的坐标为所以，故直线l的斜率是定值，且为【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)已知圆和直线.(1)证明：不论为何实数，直线都与圆相交于两点；(2)求直线被圆截得的最短弦长并求此时直线的方程；(3)已知点在圆C上，求的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)，(3)【解析】(1)由得，由，得，即直线

13、经过定点，因为，所以点在圆内，所以不论为何实数，直线都与圆相交于两点.(2)由可知，圆心，半径为，设，设圆心到直线的距离为，则，当且仅当时，圆心到直线的距离为最大，此时直线被圆截得的弦长最短，最短弦长为，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.(3)设坐标原点为，则，所以，所以的最大值为.2(2021浙江高二单元测试)已知圆，直线，且直线与圆交于不同的两点，定点的坐标为.(1)求实数的取值范围；(2)若两点的中点为，直线与直线的交点为，求证：为定值.【答案】(1)(2)10【解析】(1)因为圆与直线与交于不同的两点，所以，即，解得或 (2)由可得由可得设两点横坐标分别为，则得所以3(2021内蒙古包头市高二期末(文)已知圆：，是圆内一点，是圆外一点(1)是圆中过点最长的弦，是圆中过点最短的弦，求四边形的面积；(2)过点作直线交圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程【答案】(1)；(2)，.【解析】(1)过最长的弦为直径，最短的弦为垂直于的弦，圆的半径，所以，所以(2)，当时，面积的最大值为，此时，到的距离为2，所以的倾斜角为或，则的斜率为，所以，的方程为