利用基本不等式求最值（学生版）.pdf

1、1利用基本不等式求最值题型梳理【题型 1 直接法求最值】【题型 2 配凑法求最值】【题型 3 常数代换法求最值】【题型 4 消元法求最值】【题型 5 构造不等式法求最值】【题型 6 多次使用基本不等式求最值】【题型 7 实际应用中的最值问题】【题型 8 与其他知识交汇的最值问题】命题规律基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧

2、性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.知识梳理【知识点 1利用基本不等式求最值的方法】1.利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知 x+y=t(t 为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构

3、造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利2用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点 2基本不等式的实际应用】1.基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.举一反三【题型 1 直接法求最值】1(2023 上北京高一校考阶段练习)已知 a 0，则 a+1a+1 的最小值为()A.2B.3C.4D.5【变式训练】1(2023北京东城统考一模)已知 x 0，则 x

4、-4+4x 的最小值为()A.-2B.0C.1D.2 22(2023 上山东高一统考期中)函数 y=x2-x+9x(x 0)的最小值为()A.1B.3C.5D.93(2023 下江西高三校联考阶段练习)3+1x21+4x2的最小值为()A.9 3B.7+4 2C.8 3D.7+4 3【题型 2 配凑法求最值】1(2023浙江校联考模拟预测)已知 a 1，则 a+16a-1 的最小值为()A.8B.9C.10D.11【变式训练】1(2023 上吉林高一校考阶段练习)已知 x 3，则 y=2x-3+2x 的最小值是()A.6B.8C.10D.122(2023 上海南省直辖县级单位高三校联考阶段练习

5、)设 x 2，则函数 y=4x-1+4x-2，的最小值为()3A.7B.8C.14D.153(2023 上辽宁高一校联考期中)若 x 0，y 0 且满足 x+y=xy，则2xx-1+4yy-1 的最小值为()A.6+2 6B.4+6 2C.2+4 6D.6+4 2【题型 3 常数代换法求最值】1(2023 上内蒙古通辽高三校考阶段练习)已知 a 0，b 0，若 2a+3b=1，则 2a+b3 的最小值是()A.8B.9C.10D.11【变式训练】1(2023河南校联考模拟预测)已知正实数 a，b，点 M 1,4在直线 xa+yb=1 上，则 a+b 的最小值为()A.4B.6C.9D.122(

6、2023 上重庆高一统考期末)若正实数 x，y 满足 2x+8y-xy=0，则2x+y 的最大值为()A.25B.16C.37D.193(2023重庆统考一模)已知 a，b 为非负实数，且 2a+b=1，则 2a2a+1+b2+1b的最小值为()A.1B.2C.3D.4【题型 4 消元法求最值】1(2023 上江苏高一校联考阶段练习)已知正数 x，y 满足 3x-4=9y，则 x+8y 的最小值为.【变式训练】1(2023 上安徽池州高一统考期中)已知 x,y R+，若 2x+y+xy=7，则 x+2y 的最小值为.2(2023 上山东淄博高一校考阶段练习)已知正实数 a,b，且 2a+b+6

7、=ab，则 a+2b 的最小值为.3(2023上海崇明统考一模)已知正实数 a,b,c,d 满足 a2-ab+1=0，c2+d2=1，则当(a-4c)2+(b-d)2取得最小值时，ab=【题型 5 构造不等式法求最值】1(2023 下河南高三校联考阶段练习)已知 2a+b=ab(a 0,b 0)，下列说法正确的是()A.ab 的最大值为 8B.1a-1+2b-2 的最小值为 2C.a+b 有最小值 3+2D.a2-2a+b2-4b 有最大值 4【变式训练】1(2022 上山东青岛高一青岛二中校考期中)已知 x 0，y 0，且 x+y+xy-3=0；则下列结论正确的是()A.xy 的最小值是 1

8、B.x+y 的最小值是 2C.x+4y 的最小值是 8D.x+2y 的最大值是 4 2-32(2023 上江苏高一专题练习)下列说法正确的是()A.若 x 2，则函数 y=x+1x-1 的最小值为 3B.若 x 0，y 0，3x+1y=5，则 5x+4y 的最小值为 5C.若 x 0，y 0，x+y+xy=3，则 xy 的最小值为 1D.若 x 1，y 0，x+y=2，则1x-1+2y 的最小值为 3+2 23(2023 上广东中山高三校考阶段练习)设正实数 x,y 满足 x+2y=3，则下列说法错误的是()A.yx+3y 的最小值为 4B.xy 的最大值为 98C.x+2y 的最大值为 2D

9、.x2+4y2的最小值为 92【题型 6 多次使用基本不等式求最值】1(2023河南校联考模拟预测)已知正实数 a，b，满足 a+b 92a+2b，则 a+b 的最小值为()A.5B.52C.5 2D.5 22【变式训练】1(2023山东菏泽统考一模)设实数 x,y 满足 x+y=1，y 0，x 0，则 1x+2 xy的最小值为()A.2 2-1B.2 2+1C.2-1D.2+152(2023河北衡水衡水市第二中学校考模拟预测)已知实数 x,y,z 0，满足 xy+zx=2，则当 4y+1z 取得最小值时，y+z 的值为()A.1B.32C.2D.523(2023 上辽宁大连高一期末)若 a

10、0,b 0,a+b=1，则 a2+3aba+2b+2b+1-1b 的最大值为()A.2B.2-2C.3-2D.3-2 2【题型 7 实际应用中的最值问题】1(2023 上四川眉山高一校联考期中)如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 400m2的十字形地域.计划在正方形 MNPQ 上建一座花坛，造价为 8400 元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为 420 元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为 160 元/m2.设总造价为y(单位：元)，AD 长为 x(单位：m)

11、.(1)用 x 表示 AM 的长度，并求 x 的取值范围；(2)当 x 为何值时，y 最小？并求出这个最小值.【变式训练】1(2023 上山东高一校联考期中)某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深 3 米，底面面积 16 平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用 800 元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米 150 元，地面每平方米 400 元.设泳池宽为 x 米.2 x 6(1)当宽为多少时

12、，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为 900a x+2x元(a 0)(整体报价中含固定费用).若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 a 的取值范围.62(2023 上江苏苏州高一校考阶段练习)因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为 4 米、底面积为 24 平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为 2 米，且此门高为此门底的 13 因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米 360

13、 元，左右两侧面为每平方米 300 元，已有墙体粉饰为每平方米 100 元，屋顶和地面以及安全门报价共计 12000 元设隔离室的左右两侧面的底边长度均为 x 米(1 x 5)(1)记 y 为甲工程队整体报价，求 y 关于 x 的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为 4800t(x+1)x元，问是否存在实数 t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功(注：整体报价小者竞标成功)，若存在，求出 t 满足的条件；若不存在，请说明理由3(2023 上重庆高一校考阶段练习)为宜传 2023 年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为 36000cm2的矩

14、形海报纸(记为矩形 ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形)，为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设 DC=xcm(1)将四个宣传栏的总面积 y 表示为 x 的表达式，并写出 x 的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸(AD 和 CD 分别为多少时)，可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积【题型 8 与其他知识交汇的最值问题】1(2023 上安徽高三校联考阶段练习)记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 c+bcos2A=2acosAcosB A B.(1)求

15、A；(2)若角 A 的平分线交 BC 于 D 点，且 AD=1，求 ABC 面积的最小值.【变式训练】1(2023 上安徽铜陵高二校联考期中)已知圆 C 的圆心在坐标原点，面积为 9(1)求圆 C 的方程；(2)若直线 l，l 都经过点(0,2)，且 l l，直线 l 交圆 C 于 M，N 两点，直线 l 交圆 C 于 P，Q 两点，求四边形 PMQN 面积的最大值72(2023 上江苏盐城高一校考阶段练习)已知在定义域内单调的函数 f x满足f f x+12x+1-lnx=23 恒成立(1)设 f x+12x+1-lnx=k，求实数 k 的值；(2)解不等式 f 7+2x-2x2x+1+ln

16、-ex；(3)设 g x=f x-lnx，若 g x mg 2x对于任意的 x 1,2恒成立，求实数 m 的取值范围3(2023 下湖南长沙高三长沙一中校考阶段练习)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 是长方形 A1B1C1D1内一点，APC 是二面角 A-PD1-C 的平面角.(1)证明：点 P 在 A1C1上；(2)若 AB=BC，求直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦的最大值.直击真题1(2022全国统考高考真题)若 x，y 满足 x2+y2-xy=1，则()A.x+y 1B.x+y-2C.x2+y2 2D.x2+y2 12(2020山东统考高考真题)已知 a 0，

17、b 0，且 a+b=1，则()A.a2+b2 12B.2a-b 12C.log2a+log2b-2D.a+b 23(2020全国统考高考真题)设 O 为坐标原点，直线 x=a 与双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的两条渐近线分别交于 D,E 两点，若 ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.324(2021天津统考高考真题)若 a 0,b 0，则 1a+ab2+b 的最小值为85(2020天津统考高考真题)已知 a 0,b 0，且 ab=1，则 12a+12b+8a+b 的最小值为6(2020江苏统考高考真题)已知 5x2y2+y4=1(x,y R)，则 x2+y2的最小值是7(2019天津高考真题)设 x 0,y 0,x+2y=5，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为8(2017江苏高考真题)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是