2023版高考数学一轮总复习 10年高考真题分类题组 5.docx

1、5.2平面向量的数量积及其应用考点一平面向量的数量积1.(2019课标文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.2B.2C.52D.50答案A本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养.a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|=(-1)2+12=2,故选A.一题多解a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,ab=12,则|a-b|=a2-2ab+b2=13-212+13=2.故选A.2.(2017课标文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.abB.|a|=|b

2、|C.abD.|a|b|答案A本题考查向量的有关概念.由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以ab.故选A.一题多解将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+|b|2,即ab=0,故ab.故选A.3.(2016课标理,3,5分)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则ABC=()A.30B.45C.60D.120答案AcosABC=BABC|BA|BC|=32,所以ABC=30,故选A.4.(2015山东理,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则BDCD=()A.-32a2B.-34a2C.

3、34a2D.32a2答案DBDCD=(BC+CD)CD=BCCD+CD2=12a2+a2=32a2.5.(2015课标文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=()A.-1B.0C.1D.2答案C因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=11+0(-1)=1.故选C.6.(2015福建文,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若bc,则实数k的值等于()A.-32B.-53C.53D.32答案Ac=a+kb=(1+k,2+k).由bc,得bc=0,即1+k+2

4、+k=0,解得k=-32.故选A.7.(2015广东文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则ADAC=()A.5B.4C.3D.2答案A四边形ABCD是平行四边形,AC=AB+AD=(3,-1),ADAC=23+1(-1)=5.选A.8.(2015重庆文,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),则a与b的夹角为()A.3B.2C.23D.56答案C因为a(2a+b),所以a(2a+b)=0,得到ab=-2|a|2,设a与b的夹角为,则cos=ab|a|b|=-2|a|24|a|2=-12,又0,

5、所以=23,故选C.9.(2014课标,理3,文4,5分)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则ab=()A.1B.2C.3D.5答案A|a+b|=10,a2+2ab+b2=10.又|a-b|=6,a2-2ab+b2=6.-,得4ab=4,即ab=1,故选A.10.(2014大纲全国文,6,5分)已知a、b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b)b=()A.-1B.0C.1D.2答案B(2a-b)b=2ab-|b|2=211cos60-12=0,故选B.11.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=13.若n(tm+n),则实数t的值为()A.

6、4B.-4C.94D.-94答案B因为n(tm+n),所以tmn+n2=0,所以mn=-n2t,又4|m|=3|n|,所以cos=mn|m|n|=4mn3|n|2=-43t=13,所以t=-4.故选B.12.(2016天津,7,5分)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为()A.-58B.18C.14D.118答案B建立平面直角坐标系,如图.则B-12,0,C12,0,A0,32,所以BC=(1,0).易知DE=12AC,则EF=14AC=14,因为FEC=60,所以点F的坐标为18,-38,所以AF=18,

7、-538,所以AFBC=18,-538(1,0)=18.故选B.13.(2016课标,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知ab,ab=m+2=0,m=-2.14.(2020课标文,14,5分)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,则m=.答案5解析由ab得ab=0,即m+1-(2m-4)=0,解得m=5.15.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),则m=.答案-1解析本题主要考查平面向量数量积的坐标运算.a=(1,0),

8、b=(-1,m),a2=1,ab=-1,由a(ma-b)得a(ma-b)=0,即ma2-ab=0,即m-(-1)=0,m=-1.16.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若ABCD=0,则点A的横坐标为.答案3解析本题考查直线与圆的位置关系.设A(a,2a),a0,则Ca+52,a,圆C的方程为x-a+522+(y-a)2=(a-5)24+a2,由x-a+522+(y-a)2=(a-5)24+a2,y=2x,得xD=1,yD=2,ABCD=(5-a,-2a)-a-32,2-a=a2-

9、2a-152+2a2-4a=0,a=3或a=-1,又a0,a=3,点A的横坐标为3.一题多解由题意易得BAD=45.设直线DB的倾斜角为,则tan=-12,tanABO=-tan(-45)=3,kAB=-tanABO=-3.AB的方程为y=-3(x-5),由y=-3(x-5),y=2x,得xA=3.17.(2017天津,理13,文14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.答案311解析本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积.如图,由BD=2DC得AD=13AB+23AC,所以ADAE=13AB+23AC(AC-A

10、B)=13ABAC-13AB2+23AC2-23ABAC,又ABAC=32cos60=3,AB2=9,AC2=4,所以ADAE=-3+83-2=113-5=-4,解得=311.思路分析根据BD=2DC得AD=13AB+23AC,利用ADAE=-4以及向量的数量积建立关于的方程,从而求得的值.一题多解以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,A=60,所以B(3,0),C(1,3),又BD=2DC,所以D53,233,所以AD=53,233,而AE=AC-AB=(1,3)-(3,0)=(-3,3),因此ADAE=53(-3)+2333=113-5=-4,解

11、得=311.18.(2017课标文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.答案7解析本题考查向量数量积的坐标运算.a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(m-1,3),又(a+b)a,(a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7.19.(2016课标文,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,则x=.答案-23解析因为ab,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.易错警示混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因.20.(2016山东文,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),则实

12、数t的值为.答案-5解析因为a(ta+b),所以a(ta+b)=0,即ta2+ab=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=2,ab=16+(-1)(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.评析本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的运算求解能力以及方程思想的应用.21.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,1),则a与b夹角的大小为.答案6解析cos=ab|a|b|=13+3122=32,a与b夹角的大小为6.22.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2=12.若平

13、面向量b满足be1=be2=1,则|b|=.答案233解析令e1与e2的夹角为,e1e2=|e1|e2|cos=cos=12,又0180,=60.因为b(e1-e2)=0,所以b与e1、e2的夹角均为30,从而|b|=1cos30=233.23.(2014重庆文,12,5分)已知向量a与b的夹角为60,且a=(-2,-6),|b|=10,则ab=.答案10解析由a=(-2,-6),得|a|=(-2)2+(-6)2=210,ab=|a|b|cos=21010cos60=10.24.(2014课标理,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=12(AB+AC),则AB与AC的夹角为.答案9

14、0解析由AO=12(AB+AC)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以BAC=90,所以AB与AC的夹角为90.25.(2014湖北文,12,5分)若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OAOB=0,则|AB|=.答案25解析|AB|=|OB-OA|=OA2+OB2-2OBOA,|OA|=|OB|=12+(-3)2=10,OAOB=0,|AB|=20=25,故答案为25.26.(2014湖北理,11,5分)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+b)(a-b),则实数=.答案3解析|a|=32,|b|=2,ab=31+3(-1)=0.因为(a

15、+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=|a|2-2|b|2=18-22=0.故=3.27.(2013课标,理13,文14,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AEBD=.答案2解析解法一:AEBD=AD+12AB(AD-AB)=AD2-12AB2=22-1222=2.解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),AE=(1,2),BD=(-2,2),则AEBD=1(-2)+22=2.28.(2013课标,理13,文3,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,则

16、t=.答案2解析解法一:bc=0,bta+(1-t)b=0,tab+(1-t)b2=0,又|a|=|b|=1,=60,12t+1-t=0,t=2.解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=12,32,则c=32,-32.把a、b、c的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2.评析本题考查了向量的运算,利用三点共线的条件得到c的坐标是解题关键.29.(2012课标,理13,文13,5分)已知向量a,b夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=.答案32解析|2a-b|=10两边平方得4|a|2-4|a|b|cos45+

17、|b|2=10.|a|=1,|b|2-22|b|-6=0.|b|=32或|b|=-2(舍去).评析本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量转化为向量的数量积是求解的关键.30.(2012安徽文,11,5分)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)b,则|a|=.答案2解析a+c=(3,3m),(a+c)b,(a+c)b=0,3m+3+3m=0,m=-12,a=(1,-1),|a|=12+(-1)2=2.评析本题主要考查向量的基本运算,考查了向量垂直的充要条件.31.(2011课标,文13,5分)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若

18、向量a+b与向量ka-b垂直,则k=.答案1解析由题意知|a|=1,|b|=1,0且.由a+b与向量ka-b垂直,得(a+b)(ka-b)=0,即k|a|2+(k-1)|a|b|cos-|b|2=0,(k-1)(1+cos)=0.又1+cos0,k-1=0,k=1.评析本题考查向量的模、向量的数量积等相关知识,考查学生的运算求解能力,属中等难度试题.考点二平面向量数量积的应用1.(2018天津文,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,BM=2MA,CN=2NA,则BCOM的值为()A.-15B.-9C.-6D.0答案C本题考查向量的运算.解法一:连接OA.BC=

19、AC-AB=3AN-3AM=3(ON-OA)-3(OM-OA)=3(ON-OM),BCOM=3(ON-OM)OM=3(ONOM-|OM|2)=3(21cos120-12)=3(-2)=-6.故选C.解法二:在ABC中,不妨设A=90,取特殊情况ONAC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为MON=120,ON=2,OM=1,所以O2,32,C0,332,M52,0,B152,0.故BCOM=-152,33212,-32=-154-94=-6.故选C.2.(2016四川文,9,5分)已知正三角形ABC的边长为23,平面ABC内的动点P,M满足|AP

20、|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是()A.434B.494C.37+634D.37+2334答案B以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(23,0),B(3,3).设P(x,y),|AP|=1,x2+y2=1,PM=MC,M为PC的中点,Mx+232,y2,|BM|2=x+232-32+y2-32=x24+y24-3y+9=14-3y+9=374-3y,又-1y1,当y=-1时,|BM|2取得最大值,且最大值为494.思路分析由ABC为正三角形,|AP|=1,考虑到用建立平面直角坐标系的方法来解决向量问题.评析本题考查了向量的坐标运算,运用了转化与化归思想.3

21、.(2015福建理,9,5分)已知ABAC,|AB|=1t,|AC|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PBPC的最大值等于()A.13B.15C.19D.21答案A以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B1t,0(t0),C(0,t),P(1,4),PBPC=1t-1,-4(-1,t-4)=17-4t+1t17-22=13当且仅当t=12时,取“=”,故PBPC的最大值为13,故选A.4.(2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足|DA|=|DB|=|DC|,DADB=DBDC=DCDA=-2,动点

22、P,M满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是()A.434B.494C.37+634D.37+2334答案B由|DA|=|DB|=|DC|及DADB=DBDC=DCDADBCA,DCAB,DACB,且ADC=ADB=BDC=120,ABC为正三角形,设|DA|=a,则a2cos120=-2a=2AC=23OC=3,如图建立平面直角坐标系xOy,则A(-3,0),B(3,0),C(0,3).由PM=MCP,M,C三点共线且M为PC的中点,设P(x,y),由|AP|=1(x+3)2+y2=1,令x+3=cos,y=sin,则x=cos-3,y=sin,即P(cos-3,sin),Mc

23、os-32,3+sin2,|BM|2=14(cos-33)2+(3+sin)2=1437-(63cos-6sin)=1437-12cos+614(37+12)=494.|BM|2的最大值为494.5.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1时,|1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD|的最小值是,最大值是.答案0;25解析本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以此来考查学生的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养.如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(

24、0,1),AB=(1,0),BC=(0,1),CD=(-1,0),DA=(0,-1),AC=(1,1),BD=(-1,1),故|1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD|=|(1-3+5-6,2-4+5+6)|=(1-3+5-6)2+(2-4+5+6)2.(*)显然(*)式中第一个括号中的1,3与第二个括号中的2,4的取值互不影响,只需讨论5与6的取值情况即可,当5与6同号时,不妨取5=1,6=1,则(*)式即为(1-3)2+(2-4+2)2,1,2,3,4-1,1,1=3,2-4=-2(2=-1,4=1)时,(*)式取最小值0,当|1-3|=2(如1=1,3=-1),2-4=2(2=1

25、,4=-1)时,(*)式取最大值25,当5与6异号时,不妨取5=1,6=-1,则(*)式即为(1-3+2)2+(2-4)2.同理可得最小值仍为0,最大值仍为25,综上,最小值为0,最大值为25.解题关键本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正方形,i(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1或-1),这就给建系及讨论i的值创造了条件,也是求解本题的突破口.6.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AOAP的最大值为.答案6解析解法一:AOAP表示AP在AO方向上的投影与|AO|的乘积,当P在B

26、点时,AOAP有最大值,此时AOAP=23=6.解法二:设P(x,y),则AOAP=(2,0)(x+2,y)=2x+4,由题意知-1x1,x=1时,AOAP取最大值6,AOAP的最大值为6.7.(2013北京文,14,5分)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足AP=AB+AC(12,01)的点P组成,则D的面积为.答案3解析AB=(2,1),AC=(1,2).设P(x,y),由AP=AB+AC,得x-1=2+,y+1=+2,故有=2x-y-33,=-x+2y+33.又1,2,0,1,故有12x-y-332,02y-x+331,即32x-y-36,02y-x+33.则平面区域D如图中阴影部分所示.易知其面积为3.评析本题考查了平面向量的坐标运算、线性规划等知识;同时又考查了转化及数形结合思想,综合能力要求较高.