2024届广东燕博园高三下学期3月联考（CAT联考）数学试题 答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司保密启用前燕博园 2024 届高三年级综合能力测试（CAT）数学（新课标 I 卷）2024.03 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然

2、后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数()5i 1 iz=+，则复数 z 在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合()2lg 3,6Ax yxBy yxx=+，则 AB=（）A.(,3 B.(),3 C.0,3 D.)0,3 3.已知()22xf xx=+，若()3f a 的解集为1x x”是“0abc+=”的（）学科网（北京）股

3、份有限公司A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00GGLL D=，其中 L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5，衰减速度为 18，且当训练迭代轮数为 18 时，学习率衰减为 0.4，则学习率衰减到 0.2 以下（不含 0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）参考数

4、据：lg20.3010=A.72 B.74 C.76 D.78 7.已知e 为单位向量，向量a 满足2,1a eae=，则 a 的最大值为（）A.1 B.2 C.5 D.4 8.已知直线()1:130lkxykk+=R 与直线()2:30lxkykk+=R 相交于点 M，若恰有 3 个不同的点 M 到直线:0l xyb+=的距离为 1，则b=（）A.1 B.2 C.3 D.2二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.嘌呤是一种杂环有机化合物，它在能量的供应代谢的调节等方面

5、都有十分重要的作用，它的化学结构式主要由一个正五边形与一个正六边形构成（设它们的边长均为 1），其平面图形如图所示，则（）A.3AB=B.O 到 AC 的距离是cos36 C.O 是 ABC的内切圆的圆心 D.tantantanABCBCACAB的图象向左平移 6个单位后得到函数()yg x=的学科网（北京）股份有限公司图象（如图所示），则（）A.12=B.()f x 在 11 7,126上为增函数 C.当 5944 时，函数()gx在0,2上恰有两个不同的极值点 D.524x=是函数()()yf xg x=+的图象的一条对称轴 11.已知定义域均为R 的函数()f x 与()g x，其导函数

6、分别为()fx与()gx，且()()()()312,11gxf xgxfx+=，函数()f x 的图象关于点()3,0M对称，则（）A.函数()f x 的图象关于直线1x=对称 B.8 是函数()f x 的一个周期 C.()52g=D.()()202020244gg+=三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.已知,a b c 是正整数，且(10,20,20,30,30,40abc，当,a b c 方差最小时，写出满足条件的一组,a b c 的值_.13.ABC中，角,A B C 对边分别为,a b c，且2 cos sinsin0,cCBbCD+=为边 AB 上一点，C

7、D 平分,2ACB CD=，则 11ab+=_.学科网（北京）股份有限公司14.已知表面积为8 的球O 的内接正四棱台111111,2,1ABCDA B C D ABA B=，动点 P 在1ACD内部及其边界上运动，则直线 BP 与平面1ACD 所成角的正弦值的最大值为_.四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.（15 分）已知数列 na的前n 项和为,nSn 为正整数，且()()342nnSna=.（1）求证数列1na 是等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）若点21,3nnbP a+在函数4logyx=的图象上，且数列 nc满足1161(1

8、)nnnnncb b+=，求数列 nc的前n 项和nT.16.（15 分）在斜四棱柱1111ABCDA B C D中，112,2AAABBCCDADBC=AD，平面11A ADD 平面12,3ABCDADD=.（1）求1AB 的长；（2）求二面角1ACCD的正切值.17.（15 分）海参中含有丰富的蛋白质氨基酸维生素矿物质等营养元素，随着生活水平的提高，海参逐渐被人们喜爱.某品牌的海参按大小等级划分为5 4 3 2 1五个层级，分别对应如下五组质量指标值：)300,350,350,400,400,450,450,500,500,550.从该品牌海参中随机抽取 10000 颗作为样本，统计得到如

9、图所示的频率分布直方图.学科网（北京）股份有限公司（1）质量指标值越高，海参越大质量越好，若质量指标值低于 400 的为二级，质量指标值不低于 400 的为一级.现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于 400 和低于 400 的样本中随机抽取 10 颗，再从抽取的 10 颗海参中随机抽取 4 颗，记其中一级的颗数为 X，求 X 的分布列及数学期望.（2）甲乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由()*2,n nnN箱海参构成.假设甲乙两人抢购成功的概率均为21(5)n+，记甲乙两人抢购成功的订单总数量为Y，抢到海参总箱数为 Z.求Y

10、的分布列及数学期望；当 Z 的数学期望取最大值时，求正整数n 的值.18.（16 分）设函数()ln(xaf xxx=常数0)a.（1）当2a=时，求曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）证明：()ln111xxxx为平面内的一个动点，满足：22cos32AMBMAMBt=.（1）求动点 M 的轨迹C 的方程；（2）设动直线:l ykxm=+与曲线C 有且只有一个公共点 P，且与直线4xt=相交于点Q，该平面上是否存在定点 H，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 H？若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由.学科网（北京）股份有限公司

11、燕博园 2024 届 3 月 CAT 联考数学模拟试题解析版一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.答案：C【命题意图】：本题考查复数的共轭复数的概念，复数的乘法运算，立足基础考百学生的数学运算能力 解析：()5i 1 i1 i,1 izz=+=+=，在复平面上对应的点为()1,1.该点在第三象限故选 C.2.答案：D【命题意图】本题主要考查初等函数的定义域值域的求法，集合的交运算，立足基础性，考查基本的逻辑推理素养和数学运算能力.【答案】D【解析】由于集合 2 303,(3)903Axxx xBy yxxx=+=，则

12、03ABxx=.故选 D.3.答案：B【命题意图】：本题考查了初等函数的性质，及不等式的计算，立足基础，考查学生逻辑推理素养和数学运算能力【解析】函数()f x 为偶函数且在()0,+上为增函数，()13f=，所以选 B 4.答案：C【命题意图】：本小题考查双曲线的定义及性质，考查数形结合思想，逻辑推理能力与运算求解的综合能力，体现解析几何的基本思想与基本方法.【解析】：1114390,cos,sin55F AFAF FAF F=，1862,2,5555ccAFAFca e=5.答案：A【命题意图】：本小题考查了充分必要条件，二次不等式与二次函数的关系，考查了逻辑推理能力与运算求学科网（北京）

13、股份有限公司解的综合能力，【解析】充分性：由题意可知1x=为方程20axbxc+=的解，所以有0abc+=成立 必要性：0abc+=只能说明1x=为方程20axbxc+=的一个解，不能保证是唯一解，若是唯一解则有240bac=，从而得到：,2ac ba=，所以必要性不成立，所以选 A 6.答案：B【命题意图】：本小题考查了指对数的运算，考查了阅读能力和运算能力【解析】由题意可知18180.40.5 D=解得45D=，则 184422lg2 10.50.2lglg1873.8518553lg2 1GGG，所以选 B 7.答案 C【命题意图】：本小题考查了向量的模的运算及二次函数最值，数形结合，坐

14、标法等知识，考查学生逻辑推理能力与运算求解的综合能力，【解析】解法一：222222|1,41,41(2)5aeaa=+=+=+所以 a 的最大值为 5.解法二：因为2a e=，所以向量a 的终点在直线 1l 上，向量 e 的终点在直线 2l 上，因为1ae=，所以13，所以25a，所以 a 的最大值为 5.解法三：如上图，以O 为原点以 2l 为 x 轴建立平面直角坐标系，则()()()1,0,0,2,eeat=，则()22222,(2)1,1(2)aettt=+=，所以21t ，因为2225at=+，所以 a 的最大值为 5.8.答案：B【命题意图】本题主要考查两条直线的位置关系直线和圆的位

15、置关系等知识，考查数形结合思想，逻辑推理能力与运算求解的综合能力，体现解析几何的基本思想与基本方法.学科网（北京）股份有限公司【答案】B【解析】由于直线()1:130lkxykk+=R 可化为：()13yk x=，即直线 1l 恒过定点()3,1A，同理直线()2:30lxkykk+=R 恒过定点()3,1B，又由于()110kk+=，则直线 1l 与 2l 垂直，故两直线的交点(),M x y 在以 AB 为直径的圆上，即点(),M x y 的轨迹方程为224xy+=（挖去点()3,1C）.由于圆心()0,0O到直线:0l xyb+=的距离2bd=，要使圆上恰有三个点到直线l 的距离为 1，

16、首先优弧存在两个点，只需保证劣弧上恰有 1 个点，则11dr=，即1,22bdb=.故选B.二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.答案：AD【命题意图】本小题考查了在生物背景下的解三角形的应用.考查了学生的阅读和运算能力 解析：在 OAB中，过O 作ODAB交 AB 于3,120,60,2DAOBAODAD=，23ABAD=.故选项 A 正确.由于108AOC=，过O 作OEAC交 AC 于,E O 到 AC 的距离sin36sin36OEOA=.故选项B错误.由于O

17、 到 AB 的距离12OD=，不等于O 到 AC 的距离sin36OE=，则O 不是 ABC的内切圆圆心.故选项 C 错误.由于54,60,66ABCBCACAB=，正切函数在()0,90 随着角的增大而增大，所以tantantanABCBCACAB.故选项 D 正确.故选 AD.10.【答案】BCD【命题意图】本小题考查了三角函数的图象与性质，考查了数形结合，逻辑思维能力和运算能力.【解析】由于函数()yg x=的图像是由函数()()sinf xAx=+的图像平移得到，学科网（北京）股份有限公司 则()()()3,2,3sin 2,3sin 263ATf xxg xfxx=+=+=+，又函数

18、()g x 的图像关于点3,08M 对称，则33133sin3sin084312g=+=+=，由于2，故12=，故选项 A 错误；由于函数()()3sin 2,3sin 2124f xxg xx=+，令2 22 2122kxk+，得函数()f x 的单调递增区间为57,2424kkk+Z，故选项 B 正确；由于()()3sin 2,0,0,242444h xgxxxx=+，则 35242+，得正数 的取值范围为 5944，故选项 C 正确；由于函数()()3sin 23sin 23sin 23sin212412123yf xg xxxxx=+=+=+33 393 33sin 2sin 2cos

19、 2sin 2cos 212212212212212xxxxx=+=+3 3sin23 3sin 212612xx=+=+，学科网（北京）股份有限公司当524x=时，函数3 3sin 212yx=+有最大值，则524x=是函数()()yf xg x=+的图像的一条对称轴，故选项 D 正确.故选 BCD.11.【命题意图】本题以抽象函数为背景，考查函数的奇偶性对称性周期性等基础知识，考查考生分析问题的能力和运用函数导数相关知识解决问题的能力.【答案】ABD【解析】由于()()11gxfx+=，则()()11,g xf xk x+=+用 2x代替，得()3gx()1fxk=+，又()()312gx

20、f x=+，则()()112fxkf x+=+，取0 x=，则2k=，()()11fxf x=+，则函数()f x 的图像关于直线1x=对称，故选项 A 正确；由于函数()f x 的图像关于点()3,0M对称，则()()60fxf x+=，又()()2fxf x=+，得()()620f xf x+=，即()()()()()()40,4,84f xf xf xf xf xf x+=+=+=+()()f xf x=，则 8 是函数()f x 的一个周期，故选项 B 正确；由于()30f=，()()()10,5122fgf=，故选项 C 错误；由于()()()2020202420242ggf+=()

21、()()20282044044fff+=+=，故选项 D 正确.故选 ABD.三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.答案：20,25,31abc=；或20,26,31abc=【命题意图】本小题考查了方差的估算能力 解析：欲使,a b c 方差最小，则a 取10,20 中的最大值20,c 取(30,40 中的最小值31,b 取最接近 20 与 31 的算术平均数 25.5 的整数，故b 取 25 或 26.13.【答案】1112ab+=【命题意图】本小题考查了正弦定理及面积的计算，考查了基本运算能力【解析】先求角C 的大小：方法一（角化边）：由 2 cos sinsin

22、0cCBbC+=及正弦定理得，2cos0bcCbc+=，则1cos2C=.学科网（北京）股份有限公司又0C，故23C=.方法二（边化角）：由 2 cos sinsin0cCBbC+=及正弦定理得，2sin cos sinsin sin0CCBBC+=，得1cos2C=.又0C时，()0fx，函数()f x 在()0,+单调递减，()0,+是()f x 的单调递减区间.当1a=时，()()01fxx，函数()f x 在()0,+单调递减，()0,+是()f x 的单调递减区间.当01a 时，令()0fx=，解得2212(11),(11)xaxa=+，且当()10,xx时，()0fx；当()2,x

23、x+时，()0fx.所以()f x 的单调递减区间是()10,x和()2,x+，()f x 的单调递增区间是()12,x x.当0a；当()3,xx+时，()0fx，即1ln0 xxx，故 ln11xxx；当()1,x+时，()0f x，即1ln0 xxx，故 ln11xxx.综上可知，()ln111xxxx.学科网（北京）股份有限公司若点,M A B 不构成三角形，也满足4(420)MAMBttt+=.所以动点 P 的轨迹为椭圆，轨迹方程为2222143xytt+=.（2）由2222,1.43ykxmxytt=+=消去 y 并整理，得()22224384120kxkmxmt+=.因为直线 y

24、kxm=+与椭圆C 有且只有一个公共点 P.所以()()2222(8)4 434120kmkmt=+=，即2 222430k tmt+=，且0m.此时222 222222444443,43PPkmkmktktk tmtXykmmkmmmmt+=+=+.所以2243,kttPmm，由,4,ykxmxt=+=得()4,4Qtktm+.假设存在定点()00,H xy，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 H，则0HP HQ=.又()23000043,4,4kttHPxyHQtxktmymm=+.所以()()22000043440kttHP HQxtxyktmymm=+=.整理得()2222200000434430kttxtmkt yxytxtmm+=.对任意实数()0,m mk恒成立.所以00222000,0,430,xtyxytxt=+=，解得00,0.xty=故存在定点(),0H t，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 H.