2024届江南十校高三联考信息卷数学模拟预测卷一.pdf

1、试卷第 1 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司2024 届高三江南十校联考信息卷模拟预测卷一数学试题一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（本题 5 分）已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）：甲组：27、28、39、40、m、50；乙组：24、n、34、43、48、52.若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等，则 mn 等于（）A127 B107 C 43 D 742（本题 5 分）与椭圆229436xy+=有相同焦点，且满足短半轴长为2 5 的椭圆方程是（）A2212520 xy+=B22120

2、25xy+=C2212045xy+=D2218085xy+=3（本题 5 分）已知等比数列 na中所有项均为正数，2023202220212aaa=，若()2*3,mna aam n=N，则 41mn+的最小值为（）A 32 B 54 C 76 D 984（本题 5 分）如图，在正方体1111ABCDA B C D中，,E F 分别为棱,AB AD 的中点，过1,E F C 三点作该正方体的截面，则（）A该截面是四边形 B1AC 平面1C EFC平面11/AB D平面1C EFD该截面与棱1BB 的交点是棱1BB 的一个三等分点 5（本题 5 分）加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应

3、国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资格的 3 位专家去定点帮助 5 名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（）种 A90 B125 C180 D243 6（本题 5 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，/ABCD，5AB=，4=AD，1DC=，点 E 是线段 AB 上一点，且满足4AEEB=，动点 P 在以 E 为圆心的半径为1的圆上运动，则 DP AC 的最大值为（）试卷第 2 页，共 5 页 A216 B 321 C2 36 D37（本题 5 分）设锐角 ABC的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且1,2cAC

4、=，则 ABC周长的取值范围为（）A(3,22+B(3,33+C(22,33)+D(22,33+8（本题 5 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab=的左、右焦点分别为12,F F，过点2F 的直线与双曲线 E的右支交于,A B 两点，若1ABAF=，且双曲线 E 的离心率为2，则1cos BAF=（）A3 78 B34 C 18 D18 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9（本题 6 分）已知函数()()sin(0,0,0)f xAxA=+的部分图象如图所示

5、，则下列判断正确的是（）A45=B910=C点 ,04是函数()f x 图象的一个对称中心 D直线7 4x=是函数()f x 图象的一条对称轴 10（本题 6 分）已知i 为虚数单位，复数()32i 3iz=+，下列说法正确的是（）试卷第 3 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司A105z=B复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限 C 3 i05z且1a ），若()0,3x，()()2320f xfaxa+是假命题，则实数 a 的取值范围是 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本题 13 分）已知函数()lnf xaxx=(1)当1a=

6、时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a 时，求函数()f x 的最大值 16（本题 15 分）“英才计划”最早开始于 2013 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到 2023 年已经培养了 6000 多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.试卷第 4 页，共 5 页(1)若数学组的 7 名学员中恰有 3 人来自 A 中学，从这 7 名学员中选取 3 人，表示选取的人中来自 A 中学的人数，求 的分布列和数学期望；(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中

7、，每人分别答两题，若小组答对题数不小于 3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为1p，2p.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当1243pp+=时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.17（本题 15 分）已知在多面体 PQABCD 中，平面 PADQ 平面 ABCD，四边形 ABCD 为梯形，且/ADBC，四边形 PADQ 为矩形，其中 M 和 N 分别为 AD 和 AP 的中点，7,5,=2ABBCAD DC=(1)证明：平面 BMN 平面QDC；(2)若二面角 NBMC的余弦值为55，求直线 BQ与平面 BMN 所成角的正弦值 18

8、（本题 17 分）已知 F 为拋物线2:2(0)E ypx p=的焦点，O 为坐标原点，M 为 E 的准线l 上一点，直线 MF 的斜率为 1,OFM 的面积为 116 已知()()3,1,2,1PQ，设过点 P 的动直线与抛物线 E 交于 A B、两点，直线,AQ BQ 与 E 的另一交点分别为,C D (1)求拋物线 E 的方程；(2)当直线 AB 与CD的斜率均存在时，讨论直线CD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明试卷第 5 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司理由19（本题 17 分）若数列 na满足()()111,2,3,12kkaaknn+=，则称数列 na为

9、数列.记123nnSaaaa=+.(1)写出一个满足151aa=，且55S=的 数列；(2)若124,2000an=，证明：数列 na是递增数列的充要条件是2023na=；(3)对任意给定的整数()3n n，是否存在首项为 1 的 数列 na，使得1nS=？如果存在，写出一个满足条件的 数列 na；如果不存在，说明理由.答案第 1 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司参考答案：1A【详解】因为30%61.8=，大于1.8的比邻整数为 2，所以30百分位数为28n=，80%64.8=，大于4.8 的比邻整数为 5，所以80百分位数为48m=，所以4812287mn=.故选：A 2B【详解

10、】椭圆229436xy+=化成标准方程为22149xy+=，焦点在 y 轴上，设所求椭圆方程为()222210 xyabba+=，依题意有222 5945bab=，所以2225,20ab=，所求椭圆方程为2212025xy+=.故选：B 3A【详解】设 na的公比为()0q q，则2022202020211112a qa qa q=+，因为10a，所以220qq=，解得2q 或1q=（舍去），11222111122216mnm nmna aaaaa+=，故24mn+=，即6mn+=，因为*,m nN，所以 41141()6mnmnmn+=+=141434152662nmn mmnmn+=，当且

11、仅当46nmmnmn=+=，即4m=，2n=时，等号成立，故 41mn+的最小值等于 32.故选:A 4D【详解】对 A：如图，将线段 EF 向两边延长，分别与棱CB 的延长线，棱CD的延长线交于点,G H，连接11,C G C H，分别与棱11,BB DD 交于点,P Q，得到截面1C PEFQ 是五边形，故 A 错误；答案第 2 页，共 15 页 对 B：因为11A B 面111,BCC B BC 面11BCC B，故111A BBC；又11BCB C，1111111,B CA BB B C A B=面11A B C，故1BC 面11A B C，又1AC 面11A B C，故11BCAC；

12、假设11ACC P，又111C PBCC=，11,C P BC 面11BCC B，故1AC 面11BCC B，又11A B 面11BCC B，显然过一点作一个平面的垂直只能有一条，假设不成立，即1AC 与1C P不垂直；又1C P 平面1C EF，所以1AC 与平面1C EF 不垂直，故 B 错误；对 C：1CC 面111111,A B C D B D 面1111A B C D，故111B DCC，又1111B DAC，1111111,ACCCC AC CC=面11AC C，故11B D 面11AC C，又1AC 面11AC C，故111B DAC，同理可得11ACAD，又1111111,AD

13、B DD AD B D=面11AB D，故1AC 平面11AB D，又1AC 与平面1C EF 不垂直，所以平面11AB D 与平面1C EF 不平行，故 C 错误；对 D：易知111122BGBCB C=，所以11112BPBGPBB C=，所以截面1C PEFQ 与棱1BB 的交点 P 是棱1BB 的一个三等分点，故 D 正确 故选：D 5A【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的 3 位专家去定点帮助 5 名心理特异学生，要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则把五位同学分 3 组，且三组人数为 2、2、1，然后分配给 3 位专家，答案第 3 页，共 15 页 学科网（

14、北京）股份有限公司所以不同的安排方法共有2213531322C09C CAA=种.故选：A 6A【详解】如图，以 E 为原点，建立直角坐标系.由题意，梯形 ABCD 的高长为225 14()2 32=，则(4,0),(1,2 3),(2,2 3)ACD.因为以 E 为圆心的半径为1的圆的方程为：221xy+=，可设点(cos,sin)P，02.则(cos2,sin2 3)(3,2 3)3cos62 3sin12DP AC=+=+2 3sin3cos621sin()6,=+=+其中，3tan2=，故当sin()1+=时，max()216DP AC=.故选：A.7C【详解】因为 ABC 为锐角三角

15、形，所以02A，02B，02C，即022C，022CC ，02C，所以 64C，23cos22C；又因为2AC=，所以sin2sincosACC=，又因为1c=和正弦定理得2cosaC=，由 sinsinbcBC=，即()sin3sinsin3sincos2cossin 2sinsinsinsinCcBCCCCCbCCCC+=()22sin2cos1cos2sincos4cos1sinCCCCCCC+=，所以24cos2cosabcCC+=+，令costC=，则23,22t，又因为函数242ytt=+在23,22上单调递增，所以函数值域为()22,33+，则 ABC的周长的取值范围为()22,

16、33+.答案第 4 页，共 15 页 故选：C.8D【详解】因为双曲线 E 的离心率为2，所以2ca=，因为1ABAF=，所以22122BFABAFAFAFa=，由双曲线的定义可得12122BFBFBFaa=，所以1242BFaBF=，在12BF F中，由余弦定理得22222221212121248162cos242 22 2BFF FBFaaaBF FBFF Faa+=，在12AF F中，12122coscos4F F AF F B=，设2AFm=，则12AFma=+，由2221122122122cosAFF FAFF FAFF F A=+得 2222(2)(2 2)2 2 24amama

17、m+=+，解得23ma=，所以183aAF=，所以2222221111646416199cos8828233aaaAFABBFBAFaaAFAB+=.故选：D.9ABD【详解】根据图象和题目条件可知1A=，352244T=，所以522T=，解得45=，A 正确；将34x=代入，可得 433542+=，解得910=，B 正确；所以()49sin 510f xx=+，令4x=得，4911sinsin04541010f=+=，C 错误，答案第 5 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司令74x=得，7479sinsin1454102f=+=，故74x=是函数()f x 的一条对称轴，D 正确，

18、故选：ABD 10ABC【详解】()()()32 1 3i2221 3i13 ii 3i1 3i10555i 3iz=+，故13 i55z=+，故105z=，故 A 正确，而 z 在复平面上对应的点为 13,55，它在第四象限，故 B 正确.33131iii055555z=时，()()0,h xh x单调递增，当 10 x 时，()()0,h xh x单调递减，当1x 单调递增，函数()h x 的极大值为()31e10h=，极小值为()010h=，因此当1x 时，()0h x，当 10 x 时，()0h x，所以()()010hh，则()h x 在()0,1 上存在零点，因此函数()h x 只

19、有一个零点，故 A 不正确；对于 B：()()()()2133eeln 21e22xm xf xxg xxx=，则()()213e21 e21xm xxx=+，令()()21121 e,12xH xxx=+，则()()2144 e0 xHxx=+=，所以函数()()()3 e2m xf xxg x=在 1,12 上单调递增，故 B 错误；对于 C：()()()2ln 2121f xxfxx=，因此曲线()()1:ln 21Cf xx=在点()11,M x y处的切线方程为：()()()1111111222ln 21ln 21212121xxyxxxyxxxx=+，由()()2121e2exxg

20、 xgx=，得曲线()212:e xCg x=在()22,N xy处的切线方程为：()22222212121212122e2e2ee2exxxxxyxxyxx=+，因为曲线()()1:ln 21Cf xx=在点()11,M x y处的切线，与曲线()212:e xCg x=相切于点()22,N xy，所以 221122e21xx=，即22111e21xx=，因此()221211e21xg xx=，故 C 正确；对于 D：由上可知：()222211212111211e212ln 21e2e21xxxxxxxx=，因此有12211122121212121xxxxxx+=，()12221211221

21、0211201x xxxxxx+=+=，故 D 正确，故选：CD.12(1,1,2+【详解】解：集合21|01xAxx=+1|12xx=，全集RU=，所以 U A=(1,1,2+，故答案为：(1,1,2+13 633 32 答案第 7 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司【详解】将正四面体PABC 放置于正方体中，可得正方体的外接球即为该正四面体的外接球，如图，外接球球心O 为正方体的体对角线的中点，设正四面体PABC 的棱长为 2a，则正方体棱长为2a，由外接球直径等于正方体的体对角线，得正四面体PABC 外接球半径163222Raa=，当过 PA 中点 M 的正四面体外接球截面过球

22、心O 时，截面圆面积最大，截面圆半径为 R，当该截面到球心O 的距离最大时，截面圆面积最小，此时球心O 到截面距离为22=OMa，可得最小截面圆半径22rROMa=，因此63rR=；正四面体PABC 外接球体积3332446()6332VRaa=，正四面体PABC 的体积3331112 2(2)4(2)323Vaaa=，因此213 32VV=.故答案为：63；3 321401aa，由于41xya=+单调递减，则()f x 在 R 上单调递增；若 01a，由于41xya=+单调递增，则()f x 在 R 上单调递减，又()()446211xxf xfxaa+=+，故()()2fxf x=，因为(

23、)0,3x，()()2320f xfaxa+是假命题，故()0,3x，()()2320f xfaxa+恒成立为真命题，答案第 8 页，共 15 页 即不等式()()()232f xfaxaf axa+时，()223311xxa xax+，即()4121xax+在()0,3x 恒成立，设()1 14txt=+在()1,4t 恒成立 由于对勾函数()42h ttt=+在()1,2 单调递减，在()2,4 单调递增，因为()()()143h thh=，因此3a；当 01a+，即()4121axx+在()0,3x 恒成立，当2t=时，函数()42h ttt=+有最小值()22f=，即2a，又因为 01

24、a，故 01a 综上可知：01aa 或3a 故答案为：01aa，解得：01x，当()10 xfxx=()f x在(0,1)上为增函数；()f x 在(1,)+上为减函数；（2）()f x 的定义域为(0,)+，()1aaxfxxx=，当0a 时，令()0fx，得0 xa，令()0fx，()f x的递增区间为()0,a，递减区间为(),a+max()ln(ln1)f xa aaaa=.16(1)分布列见解析，97 答案第 9 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司(2)1627【详解】（1）由题意知，的可能取值有 0，1，2，3，()3437C40C35P =，()214337C C181

25、C35P =，()124337C C122C35P =，()3337C13C35P =，所以 的分布列为：0 1 2 3 P 43518351235135()41812190123353535357E =+=.（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为 ，则()12,BP，设乙答对题数为，则()22,BP，设“A=甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”,则()()()()()()()122122P APPPPPP=+=+=()()122221222221122212222122=C1CCC1CCPPPPPPPP+()()2222112221122121PP PPP PP P=+221212

26、833P PPP=+由1201,01PP，又1243pp+=，所以1113P，则21211114433PPPPPP=，又1113P，所以121 4,3 9PP，设12tPP=，所以()281 43,33 9P Att t=+，由二次函数可知当49t=时取最大值1627，所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为1627.17(1)证明过程见解析(2)3 115115【详解】（1）过点 A 作/AHCD 交 BC 于点 H，则2,2AHCDADCH=，答案第 10 页，共 15 页 因为5BC=，所以523BH=，延长 BM 交CD的延长线于点 F，7AB=，在 ABH中，由余弦定理得2

27、224971cos22 2 32AHHBABAHBAH HB+=，故3AHB=，则3BCDAHB=，因为 M 为 AD 的中点，故1DM=，在BCF中，/DMBC，由相似关系可知15FDDMFCBC=，又2CD=，故125FDFD=+，解得12FD=，故15222CF=+=，在BCF中，由余弦定理得 2222551752cos252 534224BFCBCFCB CF=+=+=，故222BFCFCB+=，所以 BF CF，因为四边形 PADQ 为矩形，所以QD AD，因为平面 PADQ 平面 ABCD，交线为 AD，QD 平面 PADQ，所以QD 平面 ABCD，因为 BF 平面 ABCD，所

28、以QD BF，因为CFQDD=，,CF QD 平面CDQ，所以 BF 平面CDQ，又 BF 平面 BMN，所以平面 BMN 平面CDQ；（2）过点 M 作/MGCD 交 BC 于点G，作/MSDQ 交 PQ 于点S，则由（1）知 MG MB，MS 平面 ABCD，答案第 11 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司因为,MB MG 平面 ABCD，所以 MS MB，MS MG，故 MG，,BM MS 两两垂直，故以 M 为坐标原点，,MB MG MS 所在直线分别为,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由平行关系可知，四边形CGMD 为平行四边形，故3DMG=，故6AMB=，在 ABM中

29、，由余弦定理得222cos2AMMBABAMBAM MB+=，即231722MBMB+=，解得2 3MB=，()()3 52 3,0,0,0,0,0,022BMC，设31,022Ntt，平面 NBM 的法向量为(),mx y z=，则()()(),2 3,0,02 303131,02222m MBx y zxm MNx y ztxyzt=+=，解得0 x=，令1z=，则2yt=，故()0,2,1mt=，平面 BMC 的法向量为()0,0,1n=，则()()220,2,10,0,11cos,4141tm nm nmntt=+，因为二面角 NBMC的余弦值为55，故251541t=+，解得1t=，

30、故2AP=，()0,2,1m=，3 1,222Q，5 3 1,222BQ=，设直线 BQ与平面 BMN 所成角的大小为，则()5 3 1,20,2,1223 115sincos,11575144 144BQ mBQ mBQm=+，答案第 12 页，共 15 页 故直线 BQ与平面 BMN 所成角的正弦值为 3 115115.18(1)2yx=(2)直线CD过定点 3,12【详解】（1）设准线l 与 x 轴的交点为 N，直线 MF 的斜率为 1,MNMFp=，又2pOF，1111,22 2162OFMpSOFMNpp=故抛物线 E 的方程为：2yx=（2）设()()1122,A x yB xy，

31、过点()3,1P的直线方程为：()31xt y=则联立()231yxxt y=，整理得：230ytyt+=，由韦达定理可得：()()22121243280,3tttyyt yyt=+=答案第 13 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司又设()()3344,C xyD xy，所以直线CD斜率为3434223434341yyyykxxyyyy=+，直线CD方程为()233341yyxyyy=+，即CD的直线方程为：()3434yyyxy y+=+，由,A Q C 三点共线可得：31131122yyxx=，即()()()()13311212yxyx=，所以()()()()2213311212

32、yyyy=，所以22223131131322y yyyy yyy=，因为13yy，所以化简可得：13121yyy=，同理，由,B Q D三点共线可得：24221yyy=，可得()()()()121221342112124324323222111132yyy yttyytyyyyyyy ytt+=+=+，()()()()1212213421121242423221111132yyy yttyytyyyyyyy ytt+=+，综上可得CD的直线方程为：2122ttyx+=+，变形可得：()1122tyxy=，所以直线CD过定点 3,12 19(1)1,0,1,2,1.（答案不唯一1,2,1,0,1

33、.）(2)证明见解析；(3)答案见解析.【详解】（1）1,0,1,2,1.（答案不唯一1,2,1,0,1.）（2）必要性：因为 数列na是递增数列，所以11kkaa+=（1,2,3,1999=k）.答案第 14 页，共 15 页 所以 数列na是以24 为首项，公差为1的等差数列.所以2000242000 112023a=+=（）.充分性：因为1|1|kkaa+=，所以11.kkaa+所以200019991aa，199919981aa，211aa.所以200011999aa，即200011999aa+.因为1200024,2023aa=，所以200011999aa=+.所以110kkaa+=（

34、1,2,3,1999=k）.即 数列na是递增数列.综上，结论得证.（3）令1(1 2,3,1)kkkbaa kn+=，则1kb=.所以211aab=+，3112aabb=+，1121nnaabbb=+.所以1121(1)(2)nnSnanbnbb=+121(1)(2)1(1)(1)(2)(1)(1)nnnnnbnbb=+121(1)(1)(1)(2)(1)(1)2nn nnbnbb+=+.答案第 15 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司因为1kb=，所以1kb为偶数(1,2,3,1)kn=.所以121(1)(1)(2)(1)(1)nnbnbb+为偶数.所以要使1nS=，即10nS =，必须使(1)(1)(2)122n nnn+=为偶数.即 4 整除(1)(2)nn+，因为3n，所以41nm=+或*42(N)nmm=+.当*41(N)nmm=+时，数列na的项满足 4342414411,0,1,0,1kkkkmaaaaa+=(1,2,3,)km=时，有11,1naS=；当*42(N)nmm=+时，数列na的项满足4342414421,0,1,0,0kkkkmaaaaa+=(1,2,3,)km=时，有11,1naS=；当4nm=或*43(N)nmm=+时，(1)(2)nn+不能被4 整除，此时不存在 数列na，使得11,1naS=.