2024年中国科学技术大学创新班营（一）数学考试真题.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司2024 年中国科学技术大学创新班营（一）考试真题 2024 年 3 月 30 日 本次考试共五道解答题，每题 20 分，共计 100 分；考试时间是 8:30-10:10，共 100 分钟。一、X 是从9,2,1中随机抽取 3 个不同的数排列出的最大的三位数，Y 是从8,2,1中随机抽取 3 个不同的数排列出的最大的三位数。求YX 的概率.二、32,3211+=+=+nnaaxa，求所有的1x，使得 na中有无穷多项为正整数.三、求所有的a，使122+xaxx对Rx恒成立.四、)(xf是 2024 次多项式，)2()()(2+=xfxfxf，求)(xf.五、inzz

2、zzzznn+=+=2,12121，求min1)Re(z的值.学科网（北京）股份有限公司2024 年中国科学技术大学创新班营（一）考试真题解答 一、解：若 X 中含 9，则YX。有31)9(3928=CCXP中有，则32311)9(=中无XP；在 X 中无 9 的情况下：5611)(38383838=CCCCYXP 此时，11255)5611(21)()(=YXPYXP 所以，168111112553231)()(=+=YXPYXP 二、解：由题可知，0na 若nnaa+1，则32321+nnaa，即12+nnaa；若nnaa+1，则32321+nnaa，即12+x时，可用数学归纳法证3na，

3、3321+=xa 若3ka，则3321+=+kkaa，0)1)(3(+nnaa 123232+=+nnnnnaaaaa 则数列 na递减，不存在无穷多项为正整数.当31x时，同可用数学归纳法证：3na且 na递增.则不存在无穷多项为正整数.当1=x时，311=a，同可用数学归纳法证：3+axx 只须 3104)1(01)1(12222=+aaxaxxaxx 同时满足 132321012)1(03)1(12222+=+aaxaxxaxx 综上，1321a为所求.四、解：若0z 为)(xf的一个复数根，则0)2()()(0020=+=zfzfzf，即20z 也为一个复数根,那么,40200zzz均

4、为)(xf根.若10 z，则40200,zzz均不同，则)(xf有无穷根，矛盾.由)()2()2(2xfxfxf=故20)2(z也未一个根 所以120=z.令biaz+=0，则有 11)2(12222=+=+ababa 则仅有1=x一个解.综上，2024)1()(=xxf.学科网（北京）股份有限公司五、解：令nkibazyixzkkk,3,2,1=+=+=，.有=+=+123232nnbbbynaaax 柯西不等式：2222232222222322)1()()(1()2()()(1(ybbbbbnxnaaaaannnnn=+=+相加22)1()2()1(yxnn+=（一个圆盘）同时，122=+yx （一个圆环）联立，解得：)54(254109222+=nnnnnx 所以5)4(2541092)Re(22min1+=nnnnnz。