2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式（Word版附解析）.docx

1、专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式 知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：“知一求二”问题题型二：sin ，cos 的齐次式问题题型三：sin cos ，sin cos 之间的关系题型四：诱导公式题型五：基本关系式与诱导公式的综合应用培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x.2.能利用单位圆中的对称性推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式.【考点预测】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin

2、2cos21.(2)商数关系：tan .2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_口诀奇变偶不变，符号看象限【常用结论】1.同角三角函数关系式的常用变形(sin cos )212sin cos ；sin tan cos .2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【方法技巧】1.利用sin2cos21可实现正弦、余弦

3、的互化，开方时要根据角所在象限确定符号；利用tan 可以实现角的弦切互化2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二3.注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.4.诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了化简：统一角，统一名，同角名少为终了5.含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算如cos(5)cos()cos .6.利用同角三角函数关系式

4、和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形；注意角的范围对三角函数符号的影响二、【题型归类】【题型一】“知一求二”问题【典例1】已知是第四象限角，且tan ，则sin ()A B. C. D【解析】因为tan ，所以cos sin .sin2cos21，由得sin2，又是第四象限角，所以sin 0，cos 0，将其代入sin2cos21，得cos21，所以cos ，sin ，故sin cos .【典例3】已知cos ，则13sin 5tan .【解析】cos 0，cos 0，所以sin cos ，联立解得所以tan .方法二因为sin cos ，所以sin co

5、s ，由根与系数的关系，知sin ，cos 是方程x2x0的两根，所以x1，x2.又sin cos 0，cos 0，sin cos 0，所以，所以tan .【典例3】已知tan ，则 ；sin2sin cos 2 .【解析】已知tan ，所以.sin2sin cos 2222.【题型三】sin cos ，sin cos 之间的关系【典例1】已知(，0)，sin cos .(1)求sin cos 的值；(2)求的值【解析】(1)由sin cos ，平方得sin22sin cos cos2，整理得2sin cos .所以(sin cos )212sin cos .由(，0)，知sin 0，所以co

6、s 0，则sin cos 0且a1)的图象过定点P，且角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则等于()A. BC. D【解析】易知函数f(x)ax22(a0且a1)的图象过定点P(2,3)，故tan ，则.故选B.【题型五】基本关系式与诱导公式的综合应用【典例1】已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin 的值是()A B C D【解析】由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 10，解得tan 3，又为锐角，故sin .故选C.【典例2】已知是第三象限角，且f().化简f()；若tan()2，求f()的值；若420，求f()的值【解析】由题可得

7、，f()cos .因为tan()2，所以tan 2.所以sin 2cos .所以(2cos )2cos21.所以cos2.因为是第三象限角，所以cos ，所以f().因为cos (420)cos 420cos 60，所以f()cos .【典例3】已知tan(2 019)2，则2sinsin()A2 B C D【解析】因为tan(2 019)2，所以tan 2.则2sinsin(sin cos )(sin cos )sin2cos2(1)sin cos .故选B三、【培优训练】【训练一】已知为第二象限角，则cos sin _.【解析】原式cos sin cos sin ，因为是第二象限角，所以s

8、in 0，cos 0，所以cos sin 110，即原式等于0.【训练二】如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2cos2的值是_.【解析】由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos ，短直角边为sin ，小正方形的边长为cos sin ，小正方形的面积是，(cos sin )2，为直角三角形中较小的锐角，cos sin ，cos sin ，又(cos sin )212sin cos ，2sin cos ，12sin cos ，即(cos sin )2，cos sin ，sin2cos

9、2(cos sin )(sin cos ).【训练三】(多选)已知f()，则下列说法正确的是()Af()的最小值为Bf()的最小值为1Cf()的最大值为1Df()的最大值为1【解析】设tsin cos sin，由0，得，则1t，又由(sin cos )2t2，得2sin cos t21，所以f()g(t)t1，又因为函数yt1和y在1，上单调递增，所以g(t)t1在1，上单调递增，g(t)ming(1)1，g(t)maxg()1.【训练四】已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根分别是sin 和cos ，(0,2)，求：(1)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时的值【解析】(1)原式si

10、n cos .由已知得sin cos ，所以.(2)由已知得sin cos ，因为12sin cos (sin cos )2，所以1m2，解得m.(3)联立解得或因为(0,2)，所以或.【训练五】已知sin 1sin，求sin2sin1的取值范围【解析】因为sin 1sin1cos ，所以cos 1sin .因为1cos 1，所以11sin 1,0sin 2，又1sin 1，所以sin 0,1所以sin2sin1sin2cos 1sin2sin 22.(*)又sin 0,1，所以当sin 时，(*)式取得最小值；当sin 1或sin 0时，(*)式取得最大值2，故所求取值范围为.【训练六】在A

11、BC中，(1)求证：cos2cos2 1；(2)若cossintan(C)0，求证：ABC为钝角三角形【解析】(1)在ABC中，ABC，所以，所以coscossin ，所以cos2cos21.(2)若cossintan(C)0，所以(sin A)(cos B)tan C0，即sin Acos Btan C0.因为在ABC中，0A，0B，0C且sin A0，所以或所以B为钝角或C为钝角，所以ABC为钝角三角形四、【强化测试】【单选题】1. 已知(0，)，cos ，则tan ()A. BC. D【解析】cos 且(0，)，sin ，tan .故选D.2. 已知sin，则cos的值是()A B.C.

12、 D【解析】sin，coscossin，故选A.3. log2的值为()A1 BC. D.【解析】log2log2log2.故选B.4. 若sin，且，则sin(2)()A BC. D.【解析】sincos ，sin ，sin(2)sin 22sin cos 2.故选A.5. 若2，则cos 3sin ()A3 B3C D.【解析】2，cos 2sin 1，又sin2cos21，sin2(2sin 1)21,5sin24sin 0，解得sin 或sin 0(舍去)，cos 3sin sin 1.故选C.6. 已知sin，则cos等于()A. B.C D【解析】coscossin.故选A.7.

13、已知sin 2，则tan ()A. B.C3 D2【解析】tan 3.故选C.8. 已知R，sin 2cos ，则tan 2()A. B.C D【解析】因为sin 2cos ，sin2cos21，解得或所以tan 3或.所以tan 2或tan 2.故选C.【多选题】9. 在ABC中，下列结论正确的是()Asin(AB)sin CBsin cos Ctan(AB)tan CDcos(AB)cos C【解析】在ABC中，有ABC，则sin(AB)sin(C)sin C，A正确sin sincos ，B正确tan(AB)tan(C)tan C，C正确cos(AB)cos(C)cos C，D错误故选A

14、BC.10. 已知(0，)，且sin cos ，则()A.Bsin cos Ccos sin Dcos sin 【解析】sin cos ，等式两边平方得(sin cos )212sin cos ，解得sin cos ，故B正确；(0，)，sin cos 0，故A正确；cos sin 0，且(cos sin )212sin cos 12，解得cos sin ，故D正确故选ABD.11. 已知角满足sin cos 0，则表达式(kZ)的取值可能为()A2 B1或1C2 D2或2或0【解析】当k为奇数时，原式(1)(1)2；当k为偶数时，原式112.原表达式的取值可能为2或2.故选AC.12. 若s

15、in ，且为锐角，则下列选项中正确的有( )Atan Bcos Csin cos Dsin cos 【解析】sin ，且为锐角，cos ，故B正确，tan ，故A正确，sin cos ，故C错误，sin cos ，故D错误故选AB.【填空题】13. 若，则tan _.【解析】因为，所以2(sin cos )sin cos ，所以sin 3cos ，所以tan 3.14. 若tan 2，则cos22sin 2_.【解析】原式.15. 已知0，sin cos ， 则的值为_.【解析】由题意，因为sin cos ，所以12sin cos ，所以2sin cos ，所以(cos sin )212sin

16、 cos ，又因为0，所以sin 0，cos 0，所以cos sin ，所以.16. 已知是第四象限角，且sin，则tan_.【解析】由题意，得cos，tan.tantan.【解答题】17. (1)已知cos 是方程3x2x20的根，且是第三象限角，求的值；(2)已知sin xcos x(0x)，求cos x2sin x的值【解析】(1)因为方程3x2x20的根为x11，x2，又是第三象限角，所以cos ，所以sin ，tan .所以原式tan2.(2)sin xcos x(0x)，cos x0，即sin xcos x0，把sin xcos x，两边平方得12sin xcos x，即2sin

17、xcos x，(sin xcos x)212sin xcos x，即sin xcos x，联立解得sin x，cos x，cos x2sin x.18. 已知角的终边经过点P(3m，6m)(m0)(1)求的值；(2)若是第二象限角，求sin2sin()cos cos的值【解析】(1)m0，cos 0，即.又角的终边经过点P(3m，6m)(m0)，tan 2，故.(2)是第二象限角，m0，则sin ，cos ，sin2sin()cos coscos2sin cos sin 2.19. 已知f().(1)若cos，是第三象限角，求f()的值；(2)若，求f()的值【解析】f()cos .(1)co

18、ssin ，sin .是第三象限角，cos .f()cos .(2)f()coscos.20. 已知0，且函数f()cossin 1.(1)化简f()；(2)若f()，求sin cos 和sin cos 的值【解析】(1)f()sin sin 1sin sin 1sin cos .(2)方法一由f()sin cos ，平方可得sin22sin cos cos2，即2sin cos .sin cos .又0，sin 0，sin cos 0，(sin cos )212sin cos ，sin cos .方法二联立方程解得或0，sin cos ，sin cos .21. 已知为第三象限角，f().(1)化简f()；(2)若cos()，求f()的值【解析】(1)f()cos .(2)因为cos()，所以sin ，从而sin .又为第三象限角，所以cos ，所以f()cos .22. 是否存在，使等式sin(3)cos，cos()cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由【解析】假设存在角，满足条件由已知条件可得由22，得sin23cos22.所以sin2，所以sin .因为，所以.当时，由式知cos ，又(0，)，所以，此时式成立；当时，由式知cos ，又(0，)，所以，此时式不成立，故舍去所以存在，满足条件