2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第50讲双曲线（达标检测）（Word版附解析）.docx

1、双曲线达标检测A组应知应会1（2020红岗区校级模拟）双曲线的渐近线方程是，则双曲线的焦距为（）A3B6CD【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出b，然后求解c，即可求解双曲线的焦距【解答】解：双曲线的渐近线方程是，可得b2，所以c3，所以双曲线的焦距为6故选：B2（2020安徽模拟）已知双曲线的离心率为2则其渐近线的方程为（）ABCDxy0【分析】通过双曲线的离心率求出b与a的关系，然后求解双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的离心率为2可得：，即1+4，可得，则双曲线C的渐近线方程为：xy0故选：A3（2020天津二模）抛物线y24x的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是，则双曲线的实轴长是（）

2、ABC1D2【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的一条渐近线方程，利用已知条件求解a即可【解答】解：抛物线y24x的焦点（1，0），双曲线的一条渐近线x+ay0，抛物线y24x的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是，可得，解得a1所以双曲线的实轴长为2故选：D4（2020春成都月考）已知双曲线的两条渐近线的方程分别是x+y0和xy0，则该双曲线的离心率是（）AB或C或D【分析】通过双曲线的焦点坐标的位置，结合双曲线的渐近线方程可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率【解答】解：双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线的渐近线方程为yx，结合题意两条渐近线的方程是x+y0和xy0，得，设at，bt，则

3、ct（t0），该双曲线的离心率是e，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，双曲线的渐近线方程为yx，结合题意两条渐近线的方程是x+y0和xy0，得，设bt，at，则ct（t0），该双曲线的离心率是e，故选：B5（2020东湖区校级三模）已知F1、F2为双曲线的左、右焦点，点M为E右支上一点若MF1恰好被y轴平分，且MF1F230，则E的渐近线方程为（）ABCDy2x【分析】利用已知条件判断M的位置，然后得到a，b的关系，即可推出双曲线的渐近线方程【解答】解：F1、F2为双曲线的左、右焦点，点M为E右支上一点，若MF1恰好被y轴平分，则MF2垂直x轴，因为MF1F230，所以tanMF1F2，可得，

4、2acb2，可得4a4+4a2b23b4，可得，则则E的渐近线方程为yx故选：B6（2020让胡路区校级三模）过双曲线C：（a0，b0）的右焦点F作C的一条渐近线的垂线，设垂足为A，O为坐标原点若ABC的面积为a2，则cosOFA（）ABCD【分析】利用已知条件，通过三角形的面积，得到关系式，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：由题意得|OA|a，|FA|b，OAF90，所以，得b2a，所以，故选：D7（2020河南模拟）已知点P（5，0），若双曲线的右支上存在两动点M，N，使得，则的最小值为（）AB15C16D【分析】画出图形，利用向量的数量积的几何意义，转化为双曲线上的点到P距离的平方，

5、然后求解最小值即可【解答】解：由题意，则|cos，|2，的最小值，就是双曲线上的点M到P距离的平方的最小值，设M（m，n），则：m21，|2（m5）2+n2（m5）2+3m234m210m+22，当m时，表达式取得最小值：故选：D8（2020南岗区校级模拟）已知双曲线E：1（a0，b0）的右焦点为F2，A和B为双曲线上关于原点对称的两点，且A在第一象限连结AF2并延长交E于P，连结BF2，PB，若BF2P是以BF2P为直角的等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为（）ABCD【分析】设双曲线的半焦距为c，|BF2|PF2|t，首先判断四边形AF1BF2为平行四边形，可得F1AF290，连接PF1，

6、运用双曲线的定义，在直角三角形AF1F2和直角三角形PAF1中，运用勾股定理，化简可得a，c的关系式，即可得到所求离心率【解答】解：设双曲线的半焦距为c，|BF2|PF2|t，由|OA|OB|，|OF1|OF2|，可得四边形AF1BF2为平行四边形，则|AF1|BF2|t，且F1AF290，连接PF1，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|+2at+2a，又|AF2|AF1|2at2a，在直角三角形AF1F2中，可得t2+（t2a）24c2，在直角三角形PAF1中，可得t2+（2t2a）2（t+2a）2，化为t3a，代入可得9a2+a24c2，即有ca，即e故选：C9（2020吉林模拟）已知是双

7、曲线的左焦点，P为双曲线C右支上一点，圆x2+y2a2与y轴的正半轴交点为A，|PA|+|PF|的最小值4，则双曲线C的实轴长为（）AB2C2D【分析】设F为双曲线的右焦点，得到|PF|2a+|PF|，通过|PA|+|PF|AF|，三点P，A，F共线时取等号求出a，即可【解答】解：由题意，A（0，a），设F为双曲线的右焦点，则|PF|2a+|PF|，F（，0），F（，0）|PA|+|PF|PA|+2a+|PF|2a+（|PA|+|PF|）2a+|AF|2a+，三点P，A，F共线时取等号所以2a+4，解得a1，故实轴长为2故选：B10（2020武昌区校级模拟）双曲线C的方程为：，过右焦点F作双曲

8、线一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线右支交于点M，点M恰好为PF的中点，则双曲线的离心率为（）AB2CD3【分析】由题意画出图形，结合已知求出M的坐标，代入双曲线方程，转化求解离心率即可【解答】解：双曲线C的方程为：，渐近线方程为：bxay0，F（c，0），如图：FA的方程为：与OP方程的交点P（，），点M恰好为PF的中点，M（，），代入双曲线方程可得：，可得e22，e1，得e故选：A11（多选）（2020春厦门期末）已知F1，F2是双曲线E：（a0，b0）的左、右焦点，过F1作倾斜角为的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，|PM|MF1|，下列判断正确的是（）APF2F1

9、B|MF2|PF1|CE的离心率等于DE的渐近线方程为yx【分析】结合三角形的中位线定理和直角三角形的性质，可判断A，B；由锐角三角函数的定义和双曲线的定义、离心率公式和渐近线方程，可判断C，D【解答】解：如右图，由|PM|MF1|，可得M为PF1的中点，又O为F1F2的中点，可得OMPF2，PF2F190，PF1F230，|MF2|PF1|，故A错误，B正确；设|F1F2|2c，则|PF1|c，|PF2|2ctan30c，则2a|PF1|PF2|c，可得e，则双曲线的渐近线方程为yx即为yx故C，D正确故选：BCD12（多选）（2020春凌源市期末）已知双曲线E：1（a0，b0）的两条渐近线

10、分别为直线l1：y2x，l2：y2x，则下列表述正确的有（）AabBa2bC双曲线E的离心率为D在平面直角坐标系xOy中，双曲线E的焦点在x轴上【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出b与a的关系，求出离心率，然后判断选项的正误即可【解答】解：双曲线E：1（a0，b0）的两条渐近线分别为直线l1：y2x，l2：y2x，可得，所以A，B不正确；双曲线的离心率为：e，所以C正确；在平面直角坐标系xOy中，由双曲线方程可知，双曲线E的焦点在x轴上，所以D正确故选：CD13（2020北京）已知双曲线C：1，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 【分析】根据双曲线的方程可得焦点，再根据点到直线

11、的距离可得【解答】解：双曲线C：1，则c2a2+b26+39，则c3，则C的右焦点的坐标为（3，0），其渐近线方程为yx，即xy0，则点（3，0）到渐近线的距离d，故答案为：（3，0），14（2020新课标）设双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线为yx，则C的离心率为 【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a，b的关系，再由离心率的公式及a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：yx，由题意可得，所以离心率e，故答案为：15（2020春平谷区期末）已知双曲线1（a0，b0）的一个焦点为（3，0），一个顶点为（1，0），那么其渐近线方程为

12、 【分析】利用已知条件，求出a，c，求解b，即可求解双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线1（a0，b0）的一个焦点为（3，0），一个顶点为（1，0），可得a1，c3则b2所以双曲线的渐近线方程为：yx故答案为：yx16（2020春平谷区期末）已知双曲线1（a0，b0）的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为 【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式，求解离心率即可【解答】解：如图，由抛物线方程y24x，得抛物线的焦点坐标F（1，0），即双曲线1（a0，b0）的右焦点坐标为F（1，0），

13、双曲线的渐近线方程为yx不妨取y，化为一般式：bxay0则，即4b23a2+3b2，又a21b2，联立解得：a2，a则双曲线的离心率为：e2故答案为：217（2020新课标）已知F为双曲线C：1（a0，b0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为 【分析】利用已知条件求出A，B的坐标，通过AB的斜率为3，转化求解双曲线的离心率即可【解答】解：F为双曲线C：1（a0，b0）的右焦点（c，0），A为C的右顶点（a，0），B为C上的点，且BF垂直于x轴所以B（c，），若AB的斜率为3，可得：，b2c2a2，代入上式化简可得c23ac2a2，e，可得e

14、23e+20，e1，解得e2故答案为：218（2020春成都期末）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在第一象限的双曲线C上，且PF2x轴，PF1F2内一点M满足+2+3，且点M在直线y2x上，则双曲线C的离心率为 【分析】由PF1F2内一点M满足，可得S：S：S3：2：1，即可求得M（，），即可得，3（c2a2）4ac，从而求得双曲线C的离心率【解答】解：点P在第一象限的双曲线C上，且PF2x轴，P（c，y0），解得：y0PF1F2内一点M满足，如图，取，则有，故M为ABF2的重心，SMABSS，又，S，S，S：S：S3：2：1，S，即yM，S，即xM，综上，M（，），点M在直线y2x

15、上，3（c2a2）4ac，3e24e30，e，（负值舍去）则双曲线C的离心率为，故答案为：19（2019秋城关区校级期末）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（1）求双曲线的方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，试求的值【分析】（1）通过离心率设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，转化求解双曲线方程即可（2）求出焦点坐标，利用向量的数量积公式，结合已知条件求解即可【解答】解：（1）e，可设双曲线的方程为x2y2（0）双曲线过点，1610，即6双曲线的方程为x2y26（2）由（1）可知，ab，得c2，F1（2，0），F2（2，0），从而由于点M（3，m）在双曲线上，

16、9m26，即m230，故20（2019秋河西区期末）已知双曲线C：1（a0，b0）与双曲线1有相同的渐近线，且经过点M（，）（）求双曲线C的方程；（）求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离【分析】（）由题意设双曲线的方程，代入M的坐标，即可求解双曲线方程（）利用双曲线方程，然后求解双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离【解答】解：（）双曲线C与双曲线1有相同的渐近线，设双曲线的方程为（0），代入M（，）得，故双曲线的方程为：（）由方程得a1，b，c，故离心率e其渐近线方程为yx；实轴长为2，焦点坐标F（，0），解得到渐近线的距离为：21（2020春山东月考）已知双曲线C的离心率为

17、，且过（，0）点，过双曲线C的右焦点F2，做倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点（1）求双曲线的标准方程；（2）求AOB的面积【分析】（1）有题意离心率和过的点的坐标，可得双曲线的焦点在x轴上，可得a的值和c的值，再由a，b，c的关系求出a，b的值，进而求出双曲线的方程；（2）由（1）可得左右焦点的坐标，有题意可得直线AB的方程，与双曲线联立求出两根之积，两根之和进而求出面积【解答】解：（1）有题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且a，b2c2a2，解得：a23，b26，所以双曲线的方程：1；（2）由（1）可得F2（3，0），F1（3，0），由题意设y（x3），设交点A（

18、x1，y1），B（x2，y2），联立直线与双曲线的方程：，整理可得：x218x+330，x1+x218，x1x233，可得y1y2（x13）（x23）（x1x2），所以SAOB|y1y2|36，即AOB的面积为3622（2019秋广陵区校级月考）双曲线C：1的左右两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知PF1F2的重心为G，内心为I（1）若F1PF260，求PF1F2的面积；（2）若IGF1F2，求点P的坐标【分析】（1）由曲线方程求得a与c的值，在焦点三角形PF1F2中，由双曲线定义及余弦定理求得|PF1|PF2|，再由三角形面积公式求解；（2）P（x0，y0）（x

19、00，y00），则G（），利用三角形面积相等及G与I的纵坐标求得|PF2|，再由两点间的距离公式及P在双曲线上列方程组求解【解答】解：（1）如图，由双曲线方程1，得a24，b25，c29，a2，c3设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得：4c2m2+n22mncos60，即36（mn）2+mn16+mn，得mn20PF1F2的面积S；（2）设P（x0，y0）（x00，y00），则G（），设PF1F2的内切圆的半径为r，则，于是，得r由IGF1F2，知，即m+n4c12又mn2a4，解得n4因此，解得点P的坐标为（4，）23（2020大同模拟）已知双曲线C的

20、右焦点F，半焦距c2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标【分析】（1）由题意可得c的值，再由点F到直线的距离为，可得a的值，再由a，b，c之间的关系求出双曲线的方程；（2）设弦AB所在的直线方程，与双曲线的方程联立可得两根之和进而可得AB的中点M的坐标，再由椭圆可得弦CD的中点N的坐标，分别讨论当MN的斜率存在和不存在两种情况可得直线MN恒过定点【解答】解：（1）由题意可得c2，c，b2c2a2，解得：a23，b21，所以双曲线的方程为：y21；（2）证明：

21、设F（2，0）设过F的弦AB所在的直线方程为：xky+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则有中点M（+2，），联立直线AB与双曲线的方程：整理可得：（k23）y2+4ky+10，因为弦AB与双曲线有两个交点，所以k230，y1+y2，所以x1+x2k（y1+y2）+4，所以M（，）；（i）当k0时，M点即是F，此时直线MN为x轴；（ii）当k0时，将M的坐标中的k换成，同理可得N的坐标（，），当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率kMN，将M代入方程可得直线MN：y（x），化简可得y（x3），所以直线MN恒过定点P（3，0）；当直线MN垂直于x轴时，可得k1，直线也过定点P（3，0）；

22、综上所述直线MN恒过定点P（3，0）B组强基必备1（2019秋运城期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，若双曲线上存在一点P使得|PM|+|PF2|t，则t的最小值为（）ABCD【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令xc，解得y，可得|AB|，由双曲线的基本量的关系，解得a，b，c，可得双曲线的方程，讨论P在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，结合两点的距离公式，即可得到所求最小值【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），渐近线方程为yx，令xc，解得y，可得|AB|，|AB|

23、3，即有3，由a2，c2a2+b2，解得b，c3，即有双曲线的方程为，由题意可知若P在左支上，由双曲线的定义可得|PF2|2a+|PF1|，|PM|+|PF2|PM|+|PF1|+2a|MF1|+4+45+4，当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值4+5；若P在右支上，由双曲线的定义可得|PF2|PF1|2a，|PM|+|PF2|PM|+|PF1|2a|MF1|454，当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值54综上可得，所求最小值为54故选：D2（2020春未央区校级月考）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若AF1F2的内切圆半径为，

24、则双曲线的离心率为 【分析】双曲线的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），设双曲线的一条渐近线方程为yx，可得直线AF2的方程为y（xc），联立双曲线的方程可得A的坐标，设|AF1|m，|AF2|n，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a，c的方程，结合离心率公式可得所求值【解答】解：设双曲线的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），设双曲线的一条渐近线方程为yx，可得直线AF2的方程为y（xc），联立双曲线（ba0），可得A（，），设|AF1|m，|AF2|n，由三角形的面积的等积法可得（m+n+2c）2c，化简可得m+n4a2c由双曲

25、线的定义可得mn2a在三角形AF1F2中nsin，（为直线AF2的倾斜角），由tan，sin2+cos21，可得sin，可得n，由化简可得3c22ac5a20，即为（3c5a）（c+a）0，可得3c5a，则e故答案为：3（2019秋雁峰区校级月考）已知P为双曲线C：1（a0，b0）右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当时，AOB的面积为2b，则双曲线C的实轴长为 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由已知向量等式把P的坐标用A，B的坐标表示，代入双曲线方程，结合A，B分别在双曲线的渐近线上可得，由双曲线的对称性结合角的关系求得sinAOB，再由三角形面积公式列式求解a，则答案可求【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由，得，则，由题意知A在直线y上，B在y上，则，即，化简得：，由渐近线的对称性可得sinAOBsin2AOxAOB的面积为，解得a双曲线C的实轴长为故答案为：