2024高考数学 基础知识综合复习 优化集训17 正弦定理、余弦定理.docx

1、优化集训17正弦定理、余弦定理基础巩固1.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsin A=3a,则B=()A.6B.6或56C.3D.3或232.在ABC中,若sin2A=sin Bsin C且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则该三角形的形状是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形3.已知ABC的三个内角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c,若ABC=114,则abc=()A.114B.112C.113D.1134.设a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,则“A=30”是“B=60”的()A.充分不必要条件

2、B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在ABC中,a=3,b=1,A=60,则B=()A.30B.60C.30或150D.60或1206.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin C-(2a+b)sin B=(a-b)sin A,则C=()A.6B.3或23C.23D.6或567.(2023浙江浙北G2联盟)在ABC中,sin Asin Bsin C=357,则cos C的值为()A.-12B.0C.23D.128.(2023浙江温州新力量联盟)已知ABC的三边分别为a,b,c,且a2+b2=c2,则ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角

3、形D.不确定9.(多选)(2023浙江杭州六县九校)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的有()A.若AB,则cos A0,则ABC为锐角三角形D.若a-ccos B=acos C,则ABC为等腰三角形或直角三角形10.(多选)(2023浙江钱塘联盟)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的有()A.若A=60,a=3,则ABC外接圆的半径等于1B.若cos2A2=b+c2c,则此三角形为直角三角形C.若a=3,b=4,B=6,则此三角形必有两解D.若ABC是锐角三角形,则sin A+sin Bcos A+cos B11.在ABC中,角A,B,C的对

4、边分别为a,b,c,若a=3,b=5,sin A=13,则sin B=,其外接圆的半径为.12.若满足ACB=30,BC=2的ABC有且只有一个,则边AB的取值范围是.13.在ABC中,若sin Asin Bsin C=234,则cos C=;当BC=1时,ABC的面积等于.14.(2023浙江余姚中学)在锐角三角形ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,ABC的面积S=312(a2+b2-c2).若24(bc-a)=btan B,则c的最小值是.15.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=3,且(a-b+c)(a+b-c)=37bc.(1)求cos A的值;(2)若

5、a=5,求b的值.16.已知在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosBcosC+b2a+c=0.(1)求角B的大小;(2)若b=13,a+c=5,求ABC的面积.能力提升17.在锐角三角形ABC中,A=2B,B,C的对边分别是b,c,则bb+c的取值范围是()A.14,13B.13,12C.12,23D.23,3418.(2023浙江奉化)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c-b=2bcos A.若sin A-cos(C-B)aB.ca(1,2)C.C=2AD.tan C320.在等腰三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB=AC,

6、D为AC的中点,BD=1,则ABC面积的最大值为.21.在ABC中,已知tan A=14,tan B=35,且ABC最长边的长为17,则ABC的最短边的长为.22.(2023浙江丽水)在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,AD=2DC,BD=2,且(a-c)sin(A+B)=(a-b)(sin A+sin B).(1)求B;(2)当2a+c取最大值时,求ABC的周长.优化集训17正弦定理、余弦定理基础巩固1.D2.D解析 由正弦定理知,若sin2A=sinBsinC,则a2=bc.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以(b+c)2=4bc,即b=c=a,所以该三角形是等

7、边三角形.故选D.3.D解析 设A=x,则B=x,C=4x,所以x+x+4x=180,解得x=30,则A=30,B=30,C=120,则abc=sinAsinBsinC=sin30sin30sin120=113.4.B解析 当a=1,b=3,A=30时,由正弦定理得,sinB=bsinAa=3sin301=32,所以B=60或120,反之,当a=1,b=3,B=60时,由正弦定理得,A=30,故若a=1,b=3,则“A=30”是“B=60”的必要不充分条件,故选B.5.A6.C解析 依题意,由正弦定理得c2-(2a+b)b=(a-b)a,c2-2ab-b2=a2-ab,a2+b2-c2=-ab

8、,a2+b2-c22ab=-12,即cosC=-12.因为0Ca且cb,角C为最大角.因为a2+b2=c2,所以a2+b2+2abc2,即(a+b)2c2,得a+bc.在ABC中,由余弦定理得cosC=a+b-c2ab0,所以角C是锐角,故ABC是锐角三角形.故选A.9.ACD解析 对于A,AB0,函数y=cosx在(0,)上单调递减,cosA1,此时ABC无解,故B错误.对于C,cosAcosBcosC0,角A,B,C为三角形的内角,cosA0,cosB0,cosC0,可知A,B,C均为锐角,故ABC为锐角三角形,故C正确.对于D,a-ccosB=acosC,由正弦定理可得sinA=sinA

9、cosC+sinCcosB,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,因此sinBcosC+sinCcosB=sinAcosC+sinCcosBsinBcosC=sinAcosC,bcosC=acosC,(b-a)cosC=0,b=a或cosC=0,即三角形为等腰三角形或直角三角形,故D正确.故选ACD.10.ABD解析 设ABC外接圆的半径为R,根据正弦定理,2R=asinA=332=2,所以R=1,则ABC外接圆的半径等于1,故A正确.cos2A2=1+cosA2=b+c2c=2RsinB+2RsinC22RsinC=sinB+sinC2sinC,所以2sinC+2

10、cosAsinC=2sinB+2sinC,所以cosAsinC=sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinAcosC=0,在三角形中,sinA0,所以cosC=0,所以C=2,则此三角形为直角三角形,故B正确.因为a=3,b=4,B=6,所以asinB=32,所以asinBab,则此三角形只有一解,故C错误.因为ABC是锐角三角形,所以0C2,所以2A+B,所以02-BA2,所以sin2-BsinA,即cosBsinA,同理,cosAcosA+cosB,故D正确.故选ABD.11.5992解析 设ABC的外接圆的半径为R,由asinA=bsi

11、nB=2R,313=5sinB=2R,sinB=59,R=92.12.12,+)解析 满足ACB=30,BC=2的ABC有且只有一个,如图,ABAC,或AB2,AB=1或AB2,边AB的取值范围是12,+).13.-1431516解析 设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,在ABC中,sinAsinBsinC=234,abc=234,设a=2k,则b=3k,c=4k,k0,cosC=a2+b2-c22ab=4k2+9k2-16k222k3k=-14.当BC=1时,AC=32,ABC的面积S=12132sinC=341-116=31516.14.233解析 由面积公式得12absin

12、C=312(a2+b2-c2),即sinC=33a2+b2-c22ab,所以sinC=33cosC,tanC=33.因为C0,2,所以C=6.24(bc-a)=btanB变形得到c=tanB24+ab=tanB24+sinAsinB=tanB24+sin(B+6)sinB=tanB24+32sinB+12cosBsinB=tanB24+12tanB+32.因为B0,2,所以tanB0.由基本不等式得c=tanB24+12tanB+322tanB2412tanB+32=233,当且仅当tanB24=12tanB且tanB0,即tanB=23时,等号成立.15.解 (1)由(a-b+c)(a+b-

13、c)=37bc,可得a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=37bc,即a2=b2+c2-117bc,即b2+c2-a2=117bc,由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=1114.(2)由(1)及三角函数的基本关系式,可得sinA=1-cos2A=5143,在ABC中,由正弦定理可得bsinB=asinA,所以b=asinBsinA=5325143=7.16.解 (1)由题意及正弦定理得,cosBcosC=-sinB2sinA+sinC,即2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC,则2sinAcosB=-(sinBcosC+cosBsinC)=-sin(B+C

14、)=-sinA.A(0,),sinA0,cosB=-12,B(0,),B=23.(2)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB,即13=(a+c)2-2ac-2accos23=25-2ac+ac=25-ac,解得ac=12.SABC=12acsinB=6sin23=33.能力提升17.B解析 0A2,0C2,A=2B,6B4,cosB22,32,cos2B12,34.sinC=sin(-A-B)=sin(-3B)=sin3B=sin(B+2B)=sinBcos2B+cosBsin2B=sinB(2cos2B-1)+2sinBcos2B=4cos2BsinB-sinB=4(1-sin2B)

15、sinB-sinB=3sinB-4sin3B,所以由正弦定理可知bb+c=sinBsinB+sinC=sinBsinB+3sinB-4sin3B=14cos2B13,12.故选B.18.B解析 因为c-b=2bcosA,所以sinC-sinB=2sinBcosA,即sinAcosB+cosAsinB-sinB=2sinBcosA,sinAcosB-sinB=sinBcosA,sinAcosB-sinBcosA=sinB,sin(A-B)=sinB.又因为A,B,C均为锐角,所以A-B-2,2,所以A-B=B,A=2B.C=-A-B=-3B,所以cos(C-B)=cos(-4B)=-cos4B=

16、-(1-2sin22B)=2sin22B-1.因为0A=2B2,0B2,0C=-3B2,所以6B4.sinA-cos(C-B)2恒成立,即sin2B-(2sin22B-1)2-2sin22B+sin2B+10恒成立,其中B6,4.因为B6,4,所以2B3,2,sin2B32,1.设t=sin2B,t32,1,则有2t2-t+10在32,1内恒成立,则有533,所以533.故选B.19.ACD解析 ABC为锐角三角形,cosC=b2a-120,即b2a12,可得ba,故A正确.由正弦定理可知,2cosC=sinBsinA-1,即2sinAcosC+sinA=sinB=sin(A+C)=sinAc

17、osC+cosAsinC,sinA=sin(C-A),又三角形为锐角三角形,C-A=A,即C=2A,故C正确.由C知,0C=2A2,0A2,解得6A4,3C=2A2,3tanC,故D正确.ca=sinCsinA=sin2AsinA=2cosA,而6A4,2cosA(2,3),故B错误.故选ACD.20.23解析 由题意易知23btanA,所以角A所对的边最小.由tanA=14可知sinA=1717.由正弦定理可知asinA=csinC,所以a=sinAcsinC=17171722=2.22.解 (1)因为A+B+C=,所以(a-c)sin(A+B)=(a-c)sinC=(a-b)(sinA+sinB),由正弦定理可得(a-c)c=(a-b)(a+b),整理得到a2+c2-b2=ac,所以cosB=a2+c2-b22ac=12.而B(0,),故B=3.(2)因为AD=2DC,所以BD-BA=2(BC-BD),所以BD=13BA+23BC,所以BD2=4=19BA2+49BC2+49BABC,故36=c2+4a2+4accos3=c2+4a2+2ac,整理得到(2a+c)2=36+2ac36+(2a+c)24,故2a+c43,当且仅当a=3,c=23时,等号成立.故此时b=3+12-323=3,对应的ABC的周长为3+33.