21.10 一元二次方程章末八大题型总结（拔尖篇）（人教版）（学生版）.docx

1、专题21.10 一元二次方程章末八大题型总结（拔尖篇）【人教版】【题型1 利用根与系数的关系降次求值】1【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】1【题型3 利用一元二次方程求最值】2【题型4 利用一元二次方程的根求取值范围】3【题型5 一元二次方程中的新定义问题】3【题型6 一元二次方程中的规律探究】4【题型7 一元二次方程在几何中的动点问题】6【题型8 一元二次方程与几何图形的综合问题】7【题型1 利用根与系数的关系降次求值】【例1】（2023春安徽池州九年级统考期末）已知和是方程x2+2023x+1=0的两个根，则2+2024+22+2024+2的值为（）A-2021B2021C-20

2、23D2023【变式1-1】（2023春四川南充九年级四川省营山中学校校考期中）已知a，b是方程x2-x-1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（）A19B20C14D15【变式1-2】（2023春全国九年级专题练习）已知a是方程x2-2021x+1=0的一个根，则a3-2021a2-2021a2+1= 【变式1-3】（2023春四川自贡九年级统考期末）若m、n是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根，则n3+n2m2n-1的值为（）A1B-1C2D-2【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】【例2】（2023春上海青浦九年级校考期末）解方程：(1)x+2-8-x=

3、2；(2)2xx2-2x-3-1x-3=1；(3)2x2-32x2-1+1=0【变式2-1】（2023春上海九年级期中）解方程：mx2-3=x2+2 m1【变式2-2】（2023春内蒙古通辽九年级统考期末）阅读理解：解方程：x3-x=0解：方程左边分解因式，得x(x+1)(x-1)=0，解得x1=0，x2=1，x3=-1问题解决：（1）解方程：4x3-12x2-x=0（2）解方程：(x2-x)2-3(x2-x)=0（3）方程(2x2-x+1)2-2(2x2-x)-5=0的解为 【变式2-3】（2023春江西景德镇九年级景德镇一中校考期末）解方程：(1)x4+2x3-9x2-2x+8=0；(2)

4、|x-1|+|x-2|+|2x-3|=4；(3)x2+y2+xy-3y+3=0【题型3 利用一元二次方程求最值】【例3】（2023春江西景德镇九年级景德镇一中校考期末）设实数x,y,z满足x2+y2+z2-xy-yz-zx=27，则y-z的最大值为 .【变式3-1】（2023春四川泸州九年级校考期末）已知实数x，y满足x2+3x+y-3=0，则x+y的最大值为 【变式3-2】（2023浙江金华九年级期中）当a= ，b= 时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+25有最小值，这个最小值是 【变式3-3】（2023春山东济南九年级阶段练习）阅读下面材料：丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角

5、、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，丽丽发现像m+n，mnp，m2+n2等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式.她还发现像m2+n2，(m-1)(n-1)等神奇对称式都可以用mn,m+n表示.例如：m2+n2=(m+n)2-2mn，(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1.于是丽丽把mn和m+n称为基本神奇对称式 .请根据以上材料解决下列问题：（1）代数式1mn ， m2-n2 ， nm， xy + yz + zx中，属于神奇对称式的是_（填序号）；（2）已知(x-m)(x-n)=x2-px+q. q=_（用

6、含m，n的代数式表示）； 若p=3，q=-2，则神奇对称式1m+1n=_； 若p2-q=0 ，求神奇对称式m3+1m+n3+1n的最小值.【题型4 利用一元二次方程的根求取值范围】【例4】（2023春四川眉山九年级校考期中）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a0有两个不等的实数根x1，x2，且x11x2，那么a的取值范围是（）A27a25Ba25Ca27D211a0【变式4-1】（2023春全国九年级期中）已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n23，则q的取值范围是 【变式4-2】（2023春江西景德镇九年级景德镇一中校考期末）关于x的方程(1

7、-m2)x2-2mx-1=0的所有根都是比2小的正实数，则实数m的取值范围是 【变式4-3】（2023春山东烟台九年级山东省烟台第十中学校考期中）若关于x的方程(m2-5m+6)x2-(3-m)x+14=0无解，则m的取值范围是 【题型5 一元二次方程中的新定义问题】【例5】（2023春四川资阳九年级统考期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a0的两个实数根，若x1x20，且3x1x24，则称这个方程为“限根方程”如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=-10，x2=-3，因-10-30，3-10-34，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方

8、程”请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2=-1，求k的值；(3)若关于x的一元二次方程x2+1-mx-m=0是“限根方程”，求m的取值范围【变式5-1】（2023春浙江杭州九年级校考期中）定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a10，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a20，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2=0，b1=b2，c1+

9、c2=0，则称这两个方程互为“对称方程”例如：方程2x2-3x+1=0的“对称方程”是-2x2-3x-1=0，请根据上述内容，解决以下问题：(1)直接写出方程x2-4x+3=0的“对称方程”；(2)若关于x的方程3x2+m-1x-n=0与-3x2-x=-1互为“对称方程”，求m、n的值及3x2+m-1x-n=0的解【变式5-2】（2023春江苏泰州九年级统考期末）定义一种新运算“a*b”：当ab时，a*b=a+3b；当a-6，求x的取值范围；（3）小明发现，无论x取何值，计算x2-2x+3*-x2+2x-5时，得出结果总是负数，你认为小明的结论正确吗？请说明理由【变式5-3】（2023春江苏九

10、年级期中）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0（ac0，ac）称为一对“友好方程”如2x2-7x+3=0的“友好方程”是3x2-7x+2=0（1）写出一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”_（2）已知一元二次方程x2+3x-10=0的两根为x1=2，x2=-5，它的“友好方程”的两根x3=12、x4=_根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为_，证明你的结论（3）已知关于x的方程2021x2+bx-c=0的两根是x1=-1，x2=12021请利用（2）中的结论

11、，求出关于x的方程cx-12-bx+b=2021的两根【题型6 一元二次方程中的规律探究】【例6】（2023春江苏九年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”（1）请根据上述结论解决问题：方程2x2-3x+1=0；方程x2-2x-8=0；方程x2+x=-29这几个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；（2）一般规律探究：我们知道，若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则有x1+x2=-ba，x1x2=ca，请你根据以上关系探究：若一元二次方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则a，b，c满足

12、什么数量关系？（3）若(x-1)(mx-n)=0是倍根方程，求2nm的值【变式6-1】（2023春河南洛阳九年级洛阳市东升第三中学校考期中）如表：方程1、方程2、方程3、是按一定规律排列的一列方程序号方程方程的解1x2+x20x12x212x2+2x80x14x223x2+3x180x1 x2 （1）解方程3，并将它的解填在表中的空白处；（2）请写出这列方程中第10个方程，并用求根公式求其解（3）根据表中的规律写出第n个方程和这个方程的解【变式6-2】（2023春江西抚州九年级校联考期末）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题： (1

13、)问：依据规律在第n个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；(2)问：依据规律在第8个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；(3)某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？【变式6-3】（2023春贵州遵义九年级赤水市第一中学校考期末）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，按此规律，求图1

14、0、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是61=6个；图2中黑点个数是62=12个：图3中黑点个数是63=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 、 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵【题型7 一元二次方程在几何中的动点问题】【例7】（2023春江西赣州九年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，ADBC，B=90，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动

15、点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）(1)求DQ、PC的代数表达式；(2)当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；(3)当0t105时，是否存在点P，使PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由【变式7-1】（2023春浙江九年级期中）如图，在ABCD中，AD=8 2 ，E，F分别为CD，AB上的动点，DE=BF，分别以AE，CF为对称轴翻折ADE，BCF，点D，B的对称点分别

16、为G，H若E，G，H，F恰好在同一直线上，GAF=45，且GH=11，则AB的长是 【变式7-2】（2023春江苏连云港九年级统考期中）小华同学学习了课本1.4节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题：问题6如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动(1)几秒钟后点P、Q的距离为42？请说明理由；(2)几秒钟后DQP为直角？请说明理由；(3)当BP=BQ时，RtPBQ内有一个动点M，连接PM 、QM、BM若BQM=MBP，线段

17、PM的最小值为_【变式7-3】（2023春黑龙江哈尔滨九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F，连接BE和BF，若AE=CF，AC-AB=9，AC-BC=2，则BE+BF的最小值是 【题型8 一元二次方程与几何图形的综合问题】【例8】（2023春浙江杭州九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作EFAC，交边AD，AB于点F，H，连接CF，CH（1）求证：CFCH；（2）若正方形ABCD的边长为1，当AFH与CDF的面积相等时，求AE的长【变式8-1】（2023春浙江温州九年级校联考期中）欧几里得的原本记载，形如x2+bx=a2的方程的

18、图解法是：画RtABC，使ACB=90，BC=a，AC=b2，再在斜边AB上截取AD=b2，则该方程的一个正根是（）AAC的长BAD的长CBC的长DBD的长【变式8-2】（2023春浙江金华九年级统考期末）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=5，b=3，则矩形ABCD的面积是 【变式8-3】（2023春广东江门九年级校考期中）代数学中记载，形如x2+10x=39的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为52x的矩形，得到阴影部分面积x2+452x=x2+10x=39，大正方形的面积为4522+39=64，则大正方形的边长为8，x=8-252=3，所以方程x2+10x=39的正数解为x=3”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x+m=0，构造图所示的图形，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为