22.2 二次函数与一元二次方程-2023-2024学年九年级数学上学期课后培优分级练（人教版）（解析版）.docx

1、22.2二次函数与一元二次方程课后培优练级练培优第一阶基础过关练一、单选题1已知抛物线与x轴的一个交点是，另一个交点是B，则AB的长为（ ）A2B3C4D6【答案】D【详解】抛物线与x轴的一个交点是，即，抛物线为：，令，求出，故选：D2二次函数的图象与x轴交点的情况是（ ）A没有交点B有一个交点C有两个交点D与m的值有关【答案】C【详解】解：令得一元二次方程，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，故选：C3若二次函数yx2b的图像经过点（0，4），则不等式x2b0的解集为（ ）A2x2Bx2Cx2Dx2或x2【答案】A【详解】解：将（0，4）代入yx2b中得b=4，yx24设yx24与x轴交于

2、A，B两点，令y=0，即x24=0，解得A（2，0）B（-2，0）图像如下：由图像可得：当x240时的解集为：2x2，故选：A4已知二次函数的图像经过与两点，关于的方程（）有两个整数根，其中一个根是，则另一个根是（ ）ABCD【答案】A【详解】解：二次函数的图像经过与两点，当时，的两个根为和函数的对称轴是直线，又关于的方程（）有两个根，其中一个根是3，方程（）的另一个根为故选：A5观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ）10123475151323A1和0之间B0和1之间C1和2之间D2和3之间【答案】C【详解】解：令x23x5，当时，当时，x23x5=0的一个正数x的取值范围为1x2，

3、故选C6已知的图象如图所示，对称轴为直线，若是一元二次方程的两个根，且，则下列说法正确的是（ ）ABCD【答案】D【详解】解：抛物线开口向下，则，对称轴为，即则，故A错误，对称轴为，故B错误，解得，故C不正确，D正确，故选D二、填空题7如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(3，6)，则方程的解是_【答案】，【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线（a0）与直线（b0）的两个交点坐标分别为A(3，6)，B(1，3)的横坐标，即，故答案为：，8若函数的图象与关于的函数的图象有交点，则的取值范围是_【答案】#【详解】联立两个函数得到方程，两个函数的图象有交点，则，故答案为：9如图是二

4、次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是_【答案】#5x1【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线x2，与x轴一个交点坐标（5，0），由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是（1，0），ax2+bx+c0的解集为1x5，故答案为：1x510已知二次函数的图像与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的根为_【答案】，#，【详解】解：由题意可知，二次函数的对称轴是直线，则点（1，0）关于的对称点是（3，0），所以一元二次方程的两个实数根是，故答案为：，三、解答题11已知二次函数（m为常数）(1)求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有公共点(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图像的顶

5、点都在函数的图像上【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解【解析】(1)令，则，一元二次方程有实数根，故不论m取何值，函数与x轴总有公共点；(2)该函数的顶点坐标为把代入得不论m为何值，该二次函数的顶点坐标都在函数上.12已知抛物线解析式为(1)写出抛物线的开口方向及抛物线与轴的交点坐标(2)求抛物线的顶点坐标(3)抛物线与轴有交点坐标吗？若有，请你求出抛物线与轴的交点坐标；若没有，请你说明理由【答案】(1)开口向上；（0，12）；(2)（4，-4）；(3)有交点，交点为（2,0）和（6,0）【解析】(1)由题，二次项系数为1，10，故二次函数图像开口向上；把带入，得，故抛物线与轴交点为（0

6、，12）.(2)由题，故抛物线顶点为（4，-4）.(3)0，抛物线与轴有两个不同的交点；将带入二次函数求解，得，故抛物线与轴的交点坐标为（2,0）和（6,0）.培优第二阶拓展培优练一、单选题1如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（ ）AB若点都在抛物线上，则C当时，y随x的增大而减小D关于x的一元二次方程有两个不等的实数根【答案】C【详解】解：A、图像与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2-4ac0，故A选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线x=-3，因为-2离对称轴的距离等于-4离对称轴的距离，所以m=n，故B选项不符合题意； C、顶点为（-3，

7、-6），则对称轴为直线x=-3，抛物线开口向上，则当x-3时，y随x的增大而减小，故C选项符合题意； D、由抛物线开口向上及顶点为（-3，-6）可知，此函数的最小值为-6，则ax2+bx+c=-7（a0）没有实数根，故D选项不符合题意 故选：C2已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（）A7或1B1C7D1【答案】C【详解】二次函数与x轴仅有一个交点，则，即，解得，又因为二次函数图象与y轴交于正半轴，则，将1和-7代入分别得到0和16，则应把m=1舍去，故m=-7，故选C3关于函数下列说法正确的是（ ）A无论m取何值，函数图像总经过点和B当时，函数图像与x轴总

8、有2个交点C若，则当时，y随x的增大而减小D当时，函数有最小值【答案】D【详解】解：A 当x1时，y（mx+m1）（x1）0，当x1时，y（mx+m1）（x1）2，图像过（1，0）和（1，2），故选项错误，不符合题意；B当m0时，y（mx+m1）（x1）1x，该函数与x轴只有一个交点，故选项错误，不符合题意；C 当m时，函数为开口向上的抛物线，则y（mx+m1）（x1）m（x+）（x1），该函数的对称轴为直线x（1+）1，当x1时，y随x的增大而可能减小也可能增大，故选项错误，不符合题意；D若m0时，二次函数在顶点处取得最小值，当x时，y（mx+m1）（x1）m+1，故选项正确，符合题意故选：

9、D4二次函的图象的一部分如图所示已知图象经过点，其对称轴为直线x1下列结论：abc0；4a+2b+c0，错误；抛物线过，点关于对称轴为对称的点也在抛物线上，关于x的一元二次方程的两根分别为-3，5，正确；抛物线过点，正确；故选：B5已知抛物线经过点，则关于的一元二次方程的解为（ ）A或B或C或D或【答案】A【详解】抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），（3，0），a-b+c=0，b=-2a，c=-3a，a（x+1）2-cx=a+2b，a（x+1）2+3ax=-3a，a（x+1）2+3a（x+1）=0，a（x+1）（x+1+3）=0，解得x=-1或x=-4故选：A6下列二次函数的图象与x

10、轴没有交点的是（ ）ABCD【答案】C【详解】解：A、，所以与x轴交于两点；B、，所以与x轴交于两点；C、，所以图象与x轴没有交点；D、，所以图象与x轴交于一点，故选：C二、填空题7已知二次函数yax24x1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是_【答案】a4且a0#a0且a4【详解】解：二次函数yax24x1的图象与x轴有两个交点，令y=0时，ax24x1=0根的判别式大于零；即，解得：a4，a0，故答案为：a4且a08如图，若抛物线yax2+h与直线ykx+b交于A（3，m），B（2，n）两点，则不等式ax2+hkx+b的解集是_【答案】2x3#3x-2【详解】观察图象可知当x=3，x=

11、-2时，在交点之间时，一次函数的图象在抛物线上方，即，所以不等式的解集是-2x3故答案为：-2x39已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为_【答案】【详解】解：把点代入抛物线的解析式，得，故答案为：10已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是_【答案】【详解】解：将代入中，得，解得，即，令，则，解得，图象与轴的一个交点坐标是，它与轴的另一个交点坐标是，故答案为：三、解答题11在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）(1)若，当时，求y的函数表达式(2)写出一题a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标(3)已知，二次函数的图象和直线

12、都经过点（2，m），求证【答案】(1)yx2x2；(2)（1，0）；(3)见解析【解析】(1)解：把a1代入得，yx2bx2，当x1时，y4，41b2，b1，二次函数的关系式为yx2x2；(2)解：令y0，则ax2bx20，当0时，则b28a0，b28a，若a2，b4时，函数yax2bx2的图象与x轴只有一个公共点，此时函数为y2x24x22（x1）2，此函数的顶点坐标为（1，0）；(3)证明：二次函数yax2bx2的图象和直线yax4b都经过点（2，m），4a2b22a4b，2a22b，ba1，a2b2a2（a1）22a22a12（a）2，a2b212已知直线的解析式为和点(1)求证：无论为

13、何值，直线必定经过一点，并求该点的坐标；(2)设直线必定经过的点为若直线经过点A，且点A所在的函数图象经过与点关于原点对称的点，求的取值范围；当时，设轴时， A点位置为，A，三点共线时， A点位置为，求面积的最小值【答案】(1)证明见解析，定点坐标；(2)或 【解析】(1)解： 解得： 此时 所以直线过定点(2)解：由（1）得： ，所以A在的图象上， 点A所在的函数图象经过与点关于原点对称的点，过 所以点A所在的函数为 整理得： 结合题意可得：有实数根， 令 解得： 结合二次函数的性质可得：时，或 由A在的图象上，当轴时，则（）如图， 所以直线为 解得： 则 培优第三阶中考沙场点兵一、单选题1

14、（2022湖北恩施中考真题）已知抛物线，当时，；当时，下列判断：；若，则；已知点，在抛物线上，当时，；若方程的两实数根为，则其中正确的有（ ）个A1B2C3D4【答案】C【详解】解：a=0，开口向上，且当时，；当时，抛物线与x轴有两个不同的交点，；故正确；当时，-b+c+c，c1，b，故正确；抛物线的对称轴为直线x=b，且开口向上，当x1时，b，则x1+x23，但当c3的结论不成立，故不正确；综上，正确的有，共3个，故选：C2（2022四川达州中考真题）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线以下结论：；对于任意实数m，都有成立；若，在该函数图象上，则；方程（，k为常数）的所有根的

15、和为4其中正确结论有（）A2B3C4D5【答案】A【详解】二次函数的部分图象与y轴交于，对称轴为直线，抛物线开头向上，故正确；令，解得，由图得，解得，故正确；，可化为，即，若成立，则，故错误；当时，随的增大而减小，对称轴为直线，时与时所对应的值相等，故错误；（，k为常数）的解，是抛物线与直线y=k的交点的横坐标，则（，k为常数）解的个数可能有2个，3个或4个，根据抛物线的对称性可知，当有3个或4个交点时，（，k为常数）的所有解的和是4，当有2个交点时，即k=0时，（，k为常数）的所有解的和是2，故错误；综上，正确的个数为2，故选：A3（2022山东威海中考真题）如图，二次函数yax2+bx（a

16、0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是()Ab0Ba+b0Cx2是关于x的方程ax2+bx0（a0）的一个根D点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1x22时，y2y10【答案】D【详解】解：根据图像知，当时，故B选项结论正确，不符合题意，故A选项结论正确，不符合题意；由题可知二次函数对称轴为，故B选项结论正确，不符合题意；根据图像可知是关于的方程的一个根，故选项结论正确，不符合题意，若点，在二次函数的图像上，当时，故D选项结论不正确，符合题意，故选：D4（2022四川雅安中考真题）抛物线的函数表达式为y（x2）29，则下列结论中，正确的序号为（）当x2时，y取得最小值9

17、；若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2y1；将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y（x5）25；函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6ABCD【答案】B【详解】解： y（x2）29，图象的开口向上，当x2时，y取得最小值9；故符合题意； y（x2）29的对称轴为，而 故符合题意；将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y（x+1）25，故不符合题意；当时，则 解得： 而 故符合题意；故选B5（2022四川凉山中考真题）已知抛物线yax2bxc（a0）经过点（1，0）和点（0，3），且对称轴在y

18、轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）Aa0Bab3C抛物线经过点（1，0）D关于x的一元二次方程ax2bxc1有两个不相等的实数根【答案】C【详解】解：A、根据抛物线yax2bxc（a0）经过点（1，0）和点（0，3），且对称轴在y轴的左侧可知，该说法正确，故该选项不符合题意；B、由抛物线yax2bxc（a0）经过点（1，0）和点（0，3）可知，解得，该说法正确，故该选项不符合题意；C、由抛物线yax2bxc（a0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（1，0），该说法错误，故该选项符合题意；D、关于x的一元二次方程ax2bxc1根的情况，可以转化为抛物线yax2bxc（a0）与

19、直线的交点情况，根据抛物线yax2bxc（a0）经过点（1，0）和点（0，3），结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线yax2bxc（a0）与直线的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意；故选：C6（2022山东泰安中考真题）一元二次方程根的情况是（ ）A有一个正根，一个负根B有两个正根，且有一根大于9小于12C有两个正根，且都小于12D有两个正根，且有一根大于12【答案】D【详解】解：如图，由题意二次函数y=，与y交与点（0，12）与x轴交于（-4，0）（12，0），一次函数y=，与y交与点（0，15）与x轴交于（9，0）因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象

20、限，所以两根都大于0，且有一根大于12故选：D二、填空题7（2022黑龙江大庆中考真题）已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为_【答案】1或【详解】当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，此时满足，解得；当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，此时满足，解得或，当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意；综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点故答案为：1或8（2022内蒙古赤峰中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_【答案】（0，1）【详解】抛物线交轴于、两点，交轴于点，当时，；当时，O

21、A=OC=5是抛物线上的点，解得当时，与A重合；当时，；CDx轴，设点关于直线的对称点M，则M在y轴上，且DCM是等腰直角三角形DC=CM=6M点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）9（2022福建中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n0，若AD2BC，则n的值为_【答案】8【详解】解： 把y=0代入得：，解得：，把y=0代入得：，解得：，即，令，则，解得：，当时，解得：，不符合题意舍去；当时，解得：，符合题意；综上分析可知，n的值为810（2021贵州遵义中考真题）抛物线yax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）经过（0，0），（4，0）两点则下列四个

22、结论正确的有_（填写序号）4a+b0； 5a+3b+2c0；若该抛物线yax2+bx+c与直线y3有交点，则a的取值范围是a；对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+ct0（t为常数，t0）的根为整数，则t的值只有3个【答案】【详解】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得： ，解得： ，抛物线解析式为 ，则，故正确，符合题意； ，又a0， ，故错误，不符合题意；若该抛物线yax2+bx+c与直线y3有交点，则有，即一元二次方程有实数根，则 ，a0， ，解得： ，故正确，符合题意；如图，一元二次方程ax2+bx+ct0（t为常数，t0）的根为整数，一元二次方程可化为 ，即抛物线

23、与直线 （t为常数，t0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足故正确，满足题意故答案为：三、解答题11（2021四川乐山中考真题）已知关于的一元二次方程（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解【答案】（1）；（2），【详解】解：（1）由题知，（2）由图知的一个根为1，即一元二次方程为，解得，一元二次方程的解为，12（2022北京中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为(1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；(2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围【答案】(1)（0，2）

24、；2；(2)的取值范围为，的取值范围为【解析】(1)解：当时，当x=0时，y=2，抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；，点关于对称轴为对称，；(2)解：当x=0时，y=c，抛物线与y轴交点坐标为（0，c），抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，13，2t3，即（不合题意，舍去），当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，解得：，13，2t3，即，对称轴为， ，解得：，的取值范围为，的取值范围为13（2022湖

25、南永州中考真题）已知关于的函数(1)若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；(2)若，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围(3)阅读下面材料：设，函数图象与轴有两个不同的交点，若，两点均在原点左侧，探究系数，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以；因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即；上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需综上所述，系数，应满足的条件可归纳为：请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围【答案】(1)或，0；(2)；(3)或【解析】(1)根据题意，得 解之，得，所以函数的表达式或，当时，的最小值是-8(2)根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以(3)函数的图象图1： 即，所以，的值不存在图2： 即的值.图3： 即所以的值不存在图4：即 所以的值不存在图5： 即 所以的值为图6：函数与轴的交点为所以的值为0成立综上所述，的取值范围是或