3.1.2椭圆的简单的几何性质教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

1、第三章圆锥曲线的3.1 椭圆3.1.2 椭圆的简单的几何性质一、教学目标1、熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率）2、理解离心率的大小对椭圆形状的影响.3、通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想.二、教学重点、难点重点：熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率）难点：通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【回顾】椭圆定义的数学关系：1

2、212|2|2PFPFaF Fc焦点位置标准方程焦点焦距系数关系焦点在 x 轴上22221(0)xyabab12(,0),(,0)FcF c12|2F Fc222abc焦点在 y 轴上22221(0)yxabab12(0,),(0,)Fc Fc12|2F Fc222abc【问题】如何有效的描述椭圆？椭圆作为一个几何图形有什么样的几何性质呢？（二）阅读精要，研讨新知【研究对象】焦点在 x 轴上，22221(0)xyabab1.范围图形表现坐标关系因为,axabyb ，所以椭圆落在,xa yb 围成的矩形中.2.椭圆的对称性图形表现坐标关系（1）把 x 换成 x，方程不变，则椭圆关于 y 轴对称；

3、（2）把 y 换成 y，方程不变，则椭圆关于 x 轴对称；（3）把 x 换成 x，同时把 y 换成 y，方程不变，则椭圆关于原点对称；坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的中心.3.顶点与长轴、短轴图形表现坐标关系椭圆与它的对称轴的四个交点称为椭圆的顶点.1212(,0),(,0),(0,),(0,)AaA aBb Bb长轴：线段12A A，长轴长12|2A Aa；短轴：线段12B B，短轴长12|2B Bb；222abca 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4.离心率图形表现坐标关系椭圆的焦距与长轴长的比 ca叫做椭圆的离心率，用e 表示，即cea离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆

4、【总结提升】焦点在 y 轴上的椭圆的几何性质又如何呢？（与焦点在 x 轴上的椭圆的几何性质类比认知）图形方程22221(0)xyabab22221(0)yxabab范围|,|xa yb|,|xb ya对称性关于 x 轴、y 轴、原点对称焦点12(,0),(,0)FcF c12(0,),(0,)Fc Fc顶点(,0),(0,)ab(,0),(0,)ba离心率(01)ceea【例题研讨】阅读领悟课本112P例 4（用时约为 1 分钟，教师作出准确的评析.）例 4 求椭圆221625400 xy的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.解：椭圆的标准方程为2212516xy，所以5,4,3abc所

5、以椭圆的长轴长为210a，短轴长为28b，离心率35cea，两个焦点为12(3,0),(3,0)FF，四个顶点坐标为12(5,0),(5,0)AA，12(0,4),(0,4)BB【小组互动】完成课本112P练习 1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】【例题研讨】阅读领悟课本113P例 5、例 6、例 7（用时约为 3 分钟，教师作出准确的评析.）例 5 如图 3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出

6、的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F，已知12BCF F，1|2.8F B cm，12|4.5F F cm，试建立适当的平面直角坐标系，求截口 BAC 所在椭圆的方程(精确到0.1 cm).解：建立如图 3.1-11 所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为22221(0)xyabab在12Rt BF F中，22222112|2.84.5F BFBFF由椭圆的性质知，12|2F BF Ba，所以221211(|)(2.82.84.5)4.122aF BF B，22224.12.253.4bac所以，所求的椭圆方程为222214.13.4xy例 6 动点(,)M x y 与定点(4,0

7、)F的距离和 M 到定直线25:4l x 的距离的比是常数 45，求动点M 的轨迹.解：如图 3.1-12,设d 是点 M 到直线25:4l x 的距离，根据题意，动点 M 的轨迹就是集合|4|5MFPMd，由此得22(4)4255|4xyx，化简得22925225xy，即221259xy所以，点 M 的轨迹是长轴，短轴长分别为 10，6 的椭圆.例 7 如图 3.1-13,已知直线:450lxym和椭圆22:1259xyC，m 为何值时，直线l 与椭圆C：（1）有两个公共点?（2）有且只有一一个公共点?（3）没有公共点?解：由方程组222245025822501259xymxmxmxy方程的

8、根的判别式2222644 25(225)36(25)mmm （1）由02525m ，此时方程有两个不相等的实数根，直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点.（2）由025m ，此时方程有两个相等的实数根，直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.（3）由025m ，或25m，此时方程没有实数根，直线l 与椭圆C 没有公共点.【小组互动】完成课本114P练习 1、2，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1.（多选）下列结论中正确的是（）A.椭圆22416xy的焦点坐标为(0,2 3)B.椭圆的短半轴长为 1，离心率302e,则长轴长的取值范围为(0,4C.若焦点在 x 轴上的

9、椭圆2212xym 的离心率为 12,则32m D.椭圆22925225xy上的点到它的左焦点的最远距离等于 9，最近的距离等于 1解：由已知，得221164yx，焦点在 y 轴上，2216,4,2 3abc，故焦点为(0,2 3)，A 正确；对于 B，因为1b ,所以221ca,又302cea，所以2234ca，22134aa，即24a，又210a ,所以214a,从而12a,故长轴长2a 满足2(2,4a，故 B 错误；对于 C，222,abm，2211122cbmeaa，所以32m，正确；对于 D，椭圆为221259xy，所以5,3,4abc，椭圆上的点到它的左焦点的最远距离为9ac，最

10、近的距离为1ac，正确，故选 ACD2.离心率23e，焦距为 16 的椭圆的标准方程为.解：由已知2,216,8,3cecca 解得22212,80abac所以椭圆的标准方程为22114480 xy或22114480yx3.已知12,F F 分别为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点,P 为椭圆上一点,O 为坐标原点,且22()0OPOFPF,12|2|PFPF,则该椭圆的离心率为()A.55B.54C.53D.52解：如图,取2PF 的中点为 A,连接OA,所以22OAOFOP因为22()0OPOFPF，即20OA PF，所以2OAPF，即12PFPF令2|PFm,则1|2PFm,又

11、122|23,3aPFPFamm所以2221212|PFPFF F，即22244mmc，即22255()4,33accea,故选 C.4.已知 P 为椭圆22221(0)xyabab上一点,12,F F 为椭圆焦点,且12|3|PFPF,则椭圆离心率的范围是()A.1(0,3B.1,1)3C.1(0,2D.1,1)2解：由已知，12|2PFPFa，又12|3|PFPF，所以2131|,|,222aacPFPFacea 又01e，所以椭圆离心率的范围是 112e，故选 D.5.已知点 P 是椭圆2214xy 上的一点,12,F F 是椭圆上的两个焦点.（1）当01260F PF时,求12F PF

12、的面积.（2）当12F PF为钝角时,求点 P 横坐标的取值范围.解：（1）令12|,|PFm PFn，由椭圆的定义,得4mn在12F PF中,由余弦定理得222012|2cos60FFmnmn，即2212mnmn所以2412()316 3,3mnmnmnmn所以1201212111433|sinsin60222323F PFSPFPFF PFmn（2）设点(,)P x y,由已知12F PF为钝角,得120PF PF，又12(3,0),(3,0)FF所以(3,)(3,)0 xyxy，即2230 xy，又2214xy联立解得2 62 633x所以点 P 横坐标的取值范围是2 6 2 6(,)33（四）归纳小结，回顾重点图形方程22221(0)xyabab22221(0)yxabab范围|,|xa yb|,|xb ya对称性关于 x 轴、y 轴、原点对称焦点12(,0),(,0)FcF c12(0,),(0,)Fc Fc顶点(,0),(0,)ab(,0),(0,)ba离心率(01)ceea（五）作业布置，精炼双基1.完成课本115P习题 3.1 3、4、7、8、11、12、13、142.阅读课本116P用信息技术探究点的轨迹：椭圆3.预习 3.2 双曲线五、教学反思：（课后补充，教学相长）