3.2 勾股定理的逆定理【八大题型】（苏科版）（学生版）.docx

1、专题3.2 勾股定理的逆定理【八大题型】【苏科版】【题型1 判断三边能否构成直角三角形】1【题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】2【题型3 在网格中判断直角三角形】2【题型4 勾股数的探究】3【题型5 利用勾股定理的逆定理证明】5【题型6 利用勾股定理的逆定理求解】5【题型7 勾股逆定理的应用】6【题型8 勾股定理及其逆定理的综合】7【知识点 勾股定理的逆定理】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形【题型1 判断三边能否构成直角三角形】【例1】（2023春黑龙江哈尔滨八年级哈尔滨德强学校校考期中）由线段a、b、c组成的三角形是直角三角形的是（）A

2、a=5,b=3,c=3Ba=13,b=15,c=14Ca=6,b=4,c=5Da=7,b=24,c=25【变式1-1】（2023春湖北孝感八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a+ba-b=c2，则这个三角形是（）A等腰三角形B直角三角形C锐角三角形D不确定【变式1-2】（2023春八年级单元测试）如图，以ABC的两边BC、AC分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，若S1=2，S2=3，AB2=5，则ABC的形状是_三角形【变式1-3】（2023春广东惠州八年级校考期中）有四种说法：三个内角之比为5:6:1； 三边形长分别为：2,7,5；三边之长为9、40、41；三

3、边之比为1.523其中是直角三角形的有_（填序号）【题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】【例2】（2023春全国八年级专题练习）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有_个【变式2-1】（2023春八年级单元测试）在如图所示的55的方格图中，点A和点B均为图中格点点C也在格点上，满足ABC为以AB为斜边的直角三角形这样的点C有（ ）A1个B2个C3个D4个【变式2-2】（2023春全国八年级专题练习）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点若ABO是直角三角形，则m的

4、值不可能是（）A4B2C1D0【变式2-3】（2023春全国八年级专题练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上，在图中画ABC（点C在小正方形的顶点上），使ABC为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）【题型3 在网格中判断直角三角形】【例3】（2023春北京西城八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，AD是BC边上的中线，那么AD的长为（）A2.5B3C22D5【变式3-1】（2023春广东湛江八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB

5、C的度数为_【变式3-2】（2023春广东惠州八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为 1(1)求四边形 ABCD的面积与周长；(2)求证： BCD=90【变式3-3】（2023春八年级单元测试）如图所示的是25的正方形网格，点A，B，P都在网格点上，则APB=_【题型4 勾股数的探究】【例4】（2023春安徽阜阳八年级统考期末）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程，显然，这个方程有无数组解我们把满足该方程的正整数的解x,y,z叫做勾股数如3,4,5就是一组勾股数(1)请你再写出两组勾股数：（_），（_）；(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾

6、指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2-1，z=n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明【变式4-1】（2023春四川达州八年级校考期中）以下列各组数据中的三个数，其中是勾股数的是（）A 3,4,5B6，8，10C1,2,3D2，3，4【变式4-2】（2023春全国八年级专题练习）一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”老师给出了下表（其中m，n为正整数，且mn）：m23344n11212a22+1232+1232+2242+1242+22b4612816c22-1232-

7、1232-2242-1242-22(1)探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示：a=_，b=_，c=_(2)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由【变式4-3】（2023春重庆北碚八年级西南大学附中校考期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书周髀算经就有“勾三股四弦五”的记载如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方

8、和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差如3，4，5中，522+12，32212；5，12，13中，1332+22，53222；请证明：m，n为正整数，且mn，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为7a-7和150-30b，斜边长415，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1a12+b12，c2a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1c2【题型5 利用勾股定理的逆定理证明】【例5】（2023江苏八年级假

9、期作业）如图，已知CDAB，垂足为D，BD=1，CD=2，AD=4求证：ACB=90【变式5-1】（2023江苏八年级假期作业）在ABC的三边分别是a、b、c，且a=n2-1,b=2n,c=n2+1，判断ABC的形状，证明你的结论【变式5-2】（2023春八年级课时练习）如图，以ABC的每一条边为边作三个正方形已知这三个正方形构成的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则ABC是直角三角形吗？请证明你的判断【变式5-3】（2023春江苏盐城八年级统考期中）如图，在ABC中，AB=7，AC=25，AD是中线，点E在AD的延长线上，且AD=ED=12(1)求证：CDEBDA；(2)证明：CE

10、AE；(3)求ABC的面积【题型6 利用勾股定理的逆定理求解】【例6】（2023春山西吕梁八年级统考期末）如图，在ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，将三角形纸片沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，则BDE的周长为（）A3B4C5D6【变式6-1】（2023春湖北襄阳八年级统考期中）如图，在ABC中，点D在AB上，AB=AC，BC=5，BD=3，CD=4求AC的长【变式6-2】（2023春河南开封八年级统考期末）已知ABC的三边分别为a、b、c，且满足a+2b-112+2a-b-2=10c-25-c2，请你判断ABC的形状，并求出其周长与面积【变式6-3】（2023春陕西榆林八年级校考

11、期末）已知在ACB中，AC=12,BC=5,AB=13，点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则FE+EB的最小值是_【题型7 勾股逆定理的应用】【例7】（2023春广东广州八年级统考期中）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC=15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC=20km，停靠站A、B之间的距离为AB=25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CDAB(1)请判断ABC的形状？(2)求修建的公路CD的长【变式7-1】（2023春广西南宁八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）森林火灾是一种常见的自然灾害，

12、危害很大随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源如图，ABC区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与点A，B的距离分别为600m和800m，又AB=1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响(1)求ABC的面积(2)着火点C能否受到洒水影响？为什么？【变式7-2】（2023春广西桂林八年级统考期中）一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC15米，AD13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？【变式7-3】（2023春八年级

13、课时练习）海面上有两个疑似漂浮目标A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是_【题型8 勾股定理及其逆定理的综合】【例8】（2023春全国八年级期末）如图，在ABC中，D是ABC内一点，连接AD、BD，且ADBD已知AD=4，BD=3，AC=13，BC=12则图中阴影部分的面积为_【变式8-1】（2023春江西赣州八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=14AB，求证：FEC=90【变式8-2】（2023春重庆九龙坡八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地ABC进行新的规划，如图，点D是BC边上的一点，过点D作垂直于AC的小路DE，点E在AC边上经测量，AB=26米，AD=24米，BD=10米，AC比DC长12米 (1)求ABD的面积；(2)求小路DE的长【变式8-3】（2023春江苏宿迁八年级校考期末）如图，已知正方形OABC的边长为8，边OA在x轴上，边OC在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为(2，0)，点E为OC的中点，连接BD、BE、ED(1)求点B的坐标；(2)判断BED的形状，并证明你的结论