3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、3.2.2第1课时 双曲线的简单几何性质【学习目标】课程标准学科素养1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.可以根据双曲线几何性质求离心率和取值范围.1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】一双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点 轴长实轴长 ，虚轴长 离心率 渐近线yx 思考1：椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？思考2：若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？二双曲线的中心和等轴双曲线1.双曲线的 叫做双曲线的中心2. 的双曲线叫做等轴双曲线，

2、其离心率e .【小试牛刀】1.思考辨析(对的打“”，错的打“”)(1)双曲线1与1(a0，b0)的渐近线相同( ) (2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e.( )(3)共渐近线的双曲线的离心率相同() (4)双曲线1的渐近线方程是3x2y0.()2.中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A.1 B.1或1C.1 D.1或1【经典例题】题型一 根据双曲线方程研究几何性质点拨：由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1.把双曲线方程化为标准形式；2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；3.由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质提醒：求性质时一定要注意焦点的位置例

3、1 求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程【跟踪训练】1 求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程题型二 由几何性质求双曲线的标准方程1由几何性质求双曲线标准方程的解题思路由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)2常见双曲线方程的设法(1)渐近线为yx的双曲线方程可设为(0，m0，n0)；如果两条渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为A2x2B2y2m(m0，A0，B0)

4、(2)与双曲线1或1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为或(0)(3)与双曲线1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为(0)或(0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置(4)与椭圆1(ab0)共焦点的双曲线系方程可设为1(b2a2)例2根据以下条件，求双曲线的标准方程(1)过点P(3，)，离心率为；(2)与双曲线1有共同渐近线，且过点(3,2)【跟踪训练】2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx.题型三 求双曲线的离心率点拨：求双曲线离心率的方法1.若可求得a，c，则直接利用e得解2.若已知a，b，可直接利用e得解3.若

5、得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解例3 如图所示，F1和F2分别是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_【跟踪训练】3 已知双曲线的一条渐近线方程为y2x，则其离心率为_【当堂达标】1.（多选）设中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的虚轴长为4，一条渐近线为，则双曲线的标准方程可以为（ ）ABCD2.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x4y120上的等轴双曲线的方程是（ ）Ax2y28 Bx2y2

6、4 Cy2x28 Dy2x243.已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e，则双曲线的标准方程为_4.已知点(2,3)在双曲线C：1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_5.求过点(2，2)且与y21有相同渐近线的双曲线的标准方程【参考答案】【自主学习】一(a,0)，(a,0) (0，a)，(0，a) 2a 2b e1 yx思考1：不一样，椭圆的离心率0e1.思考2：当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线yx的双曲线可设为(0，R)，当0时，焦点在x轴上，当0，b0)，e，2，即a2b2.又双

7、曲线过P(3，)，1，由得a2b24，故双曲线方程为1.若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为1(a0，b0)，同理有a2b2，1，由得a2b24(舍去)综上，双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为(0)，将点(3,2)代入得，双曲线方程为，即双曲线的标准方程为1.【跟踪训练】2 解：(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8，双曲线的标准方程为1或1.(2)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)，当0时，a24，2a26.当0时，a29，2a261.双曲线的标准方程为1或1.例3 1 解析：连接AF1(图略)，由F2AB是等边三角形，

8、知AF2F130.易知AF1F2为直角三角形，则|AF1|F1F2|c，|AF2|c，2a(1)c，从而双曲线的离心率e1.【跟踪训练】3 或解析：当焦点在x轴上时，2，这时离心率e.当焦点在y轴上时，2，即，这时离心率e.【当堂达标】1.AD 解析：中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的虚轴长为4，一条渐近线为，可得b=2，一条渐近线为，如果双曲线的焦点坐标在x轴上，可得a=4，双曲线方程为：如果双曲线的焦点坐标 在y轴上，可得a=1，此时双曲线方程为：故选：AD2.A 解析：令y0，得x4，等轴双曲线的一个焦点为(4,0)，c4，a2b2c2168，故选A.3.1解析：由焦点坐标，知c2，由e，可得a4，所以b2，则双曲线的标准方程为1.4.2解析：由题意知1，c2a2b24，得a1，b，e2.5.解：法一：当焦点在x轴上时，由于.故可设方程为1，代入点(2，2)得b22(舍去)；当焦点在y轴上时，可知，故可设方程为1，代入点(2，2)得a22.所以所求双曲线方程为1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线y21有相同的渐近线，故可设双曲线方程为y2(0)，代入点(2，2)得2，所以所求双曲线的方程为y22，即1.