3.3.2 抛物线的几何性质-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)（原卷版）.docx

1、3.3.2 抛物线的几何性质一、四种抛物线的几何性质标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形范围对称轴焦点坐标准线方程顶点坐标离心率通径二、焦半径公式设抛物线上一点的坐标为，焦点为.1、抛物线，.2、抛物线，.3、抛物线，.4、抛物线，.【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.三、直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.2、以抛物线与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，若，直线与抛物线有两个交点；若，直线与抛物线

2、有一个交点，且交点既是原点又是切点；若，直线与抛物线没有交点.（2）直线的斜率存在.设直线，抛物线，直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，即二次方程（或）解的个数.若，则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当时，直线与抛物线相切，有个公共点；当时，直线与抛物线相离，无公共点.若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.四、直线与抛物线相交弦长问题1、一般弦长设为抛物线的弦，弦AB的中点为.（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）.（2）,推导：由题意，知， 由-，得.故，即.（3）直线的方程为.2、焦点弦长如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，的中点，过点，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点

3、，根据抛物线的定义有，故.又因为是梯形的中位线，所以，从而有下列结论；（1）以为直径的圆必与准线相切.（2）(焦点弦长与中点关系)（3）.（4）若直线的倾斜角为，则.（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.（6）为定值.题型一 由抛物线解析式研究其几何性质【例1】（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）A开口向上，焦点为 B开口向上，焦点为C焦点到准线的距离为4 D准线方程为【变式1-1】下列命题中正确的是（ ）A抛物线 的焦点坐标为 B抛物线 的准线方程为 x =1C抛物线 的图象关于 x 轴对称D抛物线 的图象关于 y 轴对称【变式1-2】下列抛物线中，开口最小的是（ ）A

4、 B C D【变式1-3】方程与在同一坐标系中的图象大致是（ ）A B C D题型二 由抛物线的几何性质求标准方程【例2】顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为_【变式2-1】抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（ ）A B C D【变式2-2】抛物线顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上则抛物线方程为（ ）A B C D【变式2-3】求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点为；（2）准线方程是；（3）对称轴为x轴，焦点到准线的距离是4题型三 直线与抛物线的位置关系判断【例3】判断直线与抛物线的位置关系.【变式3-1】已知抛物线,过点与抛物线C有

5、且只有一个交点的直线有（ ）条A0 B1 C2 D3【变式3-2】已知曲线的方程为，直线过定点，斜率为.（1）若曲线与直线只有一个公共点，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求直线的方程.【变式3-3】过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为_【变式3-4】抛物线上的点到直线的最短距离是（ ）.A B C D题型四 直线与抛物线相交弦长问题【例4】设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60的直线交C于A，B两点，则（ ）A B8 C12 D【变式4-1】过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则POQ的面积为_.【变式4-2】若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交

6、于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为_.（人教A版3.3.2练习）【变式4-3】已知直线与抛物线相交于两点，若，则的最小值为（ ）A B C D题型五 抛物线的中点弦及点差法【例5】已知抛物线的方程是，直线交抛物线于两点，若弦的中点为，则直线的方程为_【变式5-1】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若，则线段的中点到y轴的距离为（ ）A8 B6 C4 D2【变式5-2】已知A，B在抛物线上，且线段AB的中点为M(1，1)，则|AB|（ ）A4 B5 C D【变式5-3】已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐

7、标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（ ）A B C3 D4题型六 抛物线中的定点定值最值问题【例6】已知抛物线的焦点为，若过点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，满足（1）求抛物线的方程；（2）过点且斜率为的直线被抛物线截得的弦为，若在以为直径的圆内，求的取值范围【变式6-1】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且（1）求抛物线的方程；（2）过点作抛物线的两条互相垂直的弦，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值【变式6-2】已知焦点为的抛物线经过圆的圆心，点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点，且（1）分别求与的值；（2）点与点关于原点对称，点、是异于点的抛物线上的两点，且、三点共线，直线、分别与轴交于点、，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由【变式6-3】已知抛物线：经过点，焦点为F，PF=2，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于（1）求抛物线C的方程（2）求直线的斜率的取值范围；（3）设为原点，求证：为定值【变式6-4】已知抛物线C：（），直线交抛物线C于A，B两点，且三角形OAB的面积为（O为坐标原点）.（1）求实数p的值；（2）过点D（2，0）作直线L交抛物线C于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P.证明：直线PQ经过定点，并求出定点坐标.