彰显函数特性 渗透数学思想——2022年高考“数列”专题解题分析.pdf

1、下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究彰显函数特性渗透数学思想2022年高考“数列”专题解题分析王明海王明海，刘连杭刘连杭，张晓斌张晓斌（重庆市江北区教师进修学院重庆市江北区教师进修学院；重庆市南开中学校重庆市南开中学校；重庆市教育科学研究院重庆市教育科学研究院）摘要：通过对2022年高考数学全国卷和地方卷中数列试题的特点分析和解题分析，特别是对新、旧高考的数列试题分析，把握新高考对数列内容考查的目标与重点，强调数列作为函数主线内容的体现，提出淡化特殊技巧、培养解题思维习惯、重视函数与数列综合、学会数学思想引领解题方向的复习备考建议.关键词：2022年高考；数列；解题

2、分析收稿日期：2022-07-05作者简介：王明海（1976），男，高级教师，主要从事高中数学教育教学及评价研究.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）（以下简称 标准）指出，高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线.数列是选择性必修课程中函数主题的内容之一，明确要求学生感受数学模型的现实意义与应用；感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性.综观2022年高考数学的全国卷和地方卷，普遍淡化对数列知识的全覆盖和特殊技巧的考查，注重考查学生综合运用知识分析问题、解决问题的关键能力，突出体现数列的函数特性，加大数列与函数综合、数列模型的应用

3、考查.本文针对2022年高考数学试卷中的数列试题进行解题分析，把握高考对数列内容的考查目标和方向，掌握解决数列相关问题的基础知识与基本方法，积累分析、解决数列问题的经验，体悟重要数学思想在解题过程中的引领作用，最后提出复习备考建议.一、试题特点分析全国甲卷和全国乙卷中的数列试题着重考查与等差数列、等比数列有关的基础知识、基本方法和常规题型，学生容易上手，不需过多分析，见到试题即可知道解题路径，这类试题为结构良好试题.全国新高考卷和全国新高考卷，以及新高考地方卷与旧高考试卷的显著区别在于结构不良试题、开放性问题、情境性问题等非常规试题的比例增大，学生初见试题无法入手，需要深入分析、综合运用所学知

4、识设计解题路径，着重考查学生的关键能力和数学核心素养.2022年新高考数学试卷中多道数列试题为非常规试题，无固定套路，学生必须深刻理解基础知识，掌握基本方法，综合运用知识方法解决问题，这既体现了高考考查要求的基础性，也体现了高考考查的综合性，同时注重对学生对数列模型的应用能力和创新能力的考查.1.等差（比）数列的通项、前 n 项和及基本量的运算首项、公差（比）是等差（比）数列中最为关键的基本量，求等差（比）数列，即是求其首项和公差（比）.得到了等差（比）数列的首项和公差（比），就得到了等差（比）数列及其通项、前 n 项和等.具体到等差（比）数列的相关问题中，往往需要建立方程或方程组求解，方程或

5、方程组中主要涉及 a1，d()q，n，an，Sn 这5个基本量，可以“知三求二”.2022年高考数列试题注重考查学生对数列概念的理解和基础知识的掌握，淡化技巧、回归本质，部分问题通过基本量建立方程或方程组运算即可解决，这也是高考考查 48下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究要求基础性的体现.例1（全国乙卷理8）已知等比数列 an 的前3项和为168，a2-a5=42，则 a6 的值为（）.（A）14（B）12（C）6（D）3解：设等比数列 an 的公比为 q，q 0，若 q=1，则 a2-a5=0.与题意矛盾，所以 q 1.由|a1+a2+a3=a1()1-q31-

6、q=168，a2-a5=a1q-a1q4=42，解得|a1=96，q=12.所以 a6=a1q5=3.故选择选项D.【评析】此题着重考查等比数列的基础知识，利用首项、公比表示条件，建立关于首项、公比的方程组求出首项、公比，进而求得 a6 的值，属于常规题，学生较易解决.这类关于等比（差）数列基本量计算求解的问题在教材中较为常见，但因复习过程中较多使用等比（差）数列的性质求解，可能导致学生想方设法利用性质求解而误入歧途.同时，有关等比（差）数列关于基本量的方程组求解，往往因未知数的次数较高而采用方程间相除的方式消元.此类试题在历年高考中是常考题型，如2018年全国卷理科第4题、2019年全国卷理

7、科第1题、2019年全国卷理科第5题等.2.等差（比）数列的证明等差（比）数列的证明是高考中的常见题型，要求学生深刻理解相关概念，回归数学本质.证明一个数列是等差（比）数列的方法主要有定义法和中项法.（1）定义法：证明数列 an 是等差数列，即证 an+1-an 为常数；证明数列 an 是等比数列，即证 an+1an为常数且不为0.（2）中项法：证明数列 an 是等差数列，可以证明对任意的正整数 n 都有 an+2+an=2an+1；证明数列 an 是等比数列，可以证明对任意的正整数 n 都有an+2an=a2n+1.例2（全国甲卷理17）记 Sn 为数列 an 的前 n 项和.已知 2Snn

8、+n=2an+1.（1）证明：an 是等差数列；（2）若 a4，a7，a9 成等比数列，求 Sn 的最小值.解：（1）因为 2Snn+n=2an+1，所以 2Sn+n2=2nan+n.当 n 2 时，2Sn-1+()n-12=2()n-1 an-1+()n-1.-，得2Sn+n2-2Sn-1-()n-12=2nan+n-2()n-1 an-1-()n-1，即 2()n-1 an-2()n-1 an-1=2()n-1.所以 an-an-1=1，n 2 且 n N*.所以 an 是以1为公差的等差数列.（2）由（1），可得 a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8.因为 a4，a7，a9 成

9、等比数列，所以 a72=a4a9，即()a1+62=()a1+3()a1+8.解得 a1=-12.所以 an=n-13.所以 Sn=-12n+n()n-12=12n-2522-6258.所以当 n=12 或 n=13 时，()Sn min=-78.【评析】此题着重考查学生对等差数列概念和函数特性的理解，以及数学抽象、逻辑推理等核心素养.第（1）小题为等差数列的证明，证明等差数列一般用定义法或中项法，通过 an=Sn-Sn-1()n 2 转化条件即可用定义法证得.教材重视学生对概念的理解，等差（比）数列的判定与证明在例题和习题中多有体现.例如，人教A版 普通高中教科书数学 选择性必修第二册（以下

10、统称“人教A版教材”）第四章习题4.2第7题第（1）小题；习题4.3第7题第（1）小题，第11题第（2）小题，第12题第（1）小题.往年高考试卷中类似试题有2019年全国卷理科第19题第（1）小题，2021年全国乙卷理科第19题第（1）小题等.第（2）小题通过三个数成等比数列的关系建立方程，用基本量表示方程求解可得首项，进而求出前 n 项和 Sn.Sn 的实质是关于n 的二次函数，通过配方结合 n 的取值可求得 Sn 的最小值.要特别注意数列作为特殊函数的特殊性，n 为整数，n 不一定是最低点的横坐标.求数列的最大（小）项或前 n 项和的最值问题在教材中不乏例题和习题.例如，北师大版普通高中教

11、科书数学（以下统称“北师大版教材”）选择性必修第二册第一章习题1-2 B组第5题.类似高考试题有2018年全国卷理科第17题第（2）小题.49下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究3.等差（比）数列性质的应用对等差（比）数列性质的灵活应用是高考数列复习训练的重点，在历年高考数列试题中也不乏灵活运用性质的试题，即利用基本量运算繁杂而运用性质可以巧解的试题，这就导致高考数列复习过程中学生所记性质越来越多.综观 2022 年高考数列试题，没有一题运用性质可大幅度减少运算量，大都直接用基本量运算即可解决且不复杂.由此可以看出高考“淡化技巧、回归本质”的教学导向，但这并不意味着

12、高考不考查等差（比）数列的性质，这些主要性质仍然需要深刻理解和灵活运用，只是无须强记更多的性质和结论.等差数列的主要性质.（1）在等差数列 an 中，若 m+n=p+q()m，n，p，q N*，则 am+an=ap+aq.特别地，当 m+n=2p 时，则有 am+an=2ap.（2）在等差数列 an 中，与首末两端等距离的两项之和均相等，即 a1+an=a2+an-1=ak+an-k+1.（3）从等差数列 an 中抽取等距离的项组成的新数列是一个等差数列，即 ak，ak+m，ak+2m，成等差数列.（4）在等差数列 an 中，连续 m 项的和组成的新数列是等差数列，即 Sm，S2m-Sm，S3

13、m-S2m，成等差数列.等比数列的主要性质.（1）在等比数列 an 中，若 n+m=p+q()m，n，p，qN*，则 anam=apaq.特别地，若 m+n=2p，则 aman=()ap2.（2）等比数列 an 中，与首末两端等距离的两项的乘积相等，即 a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1.（3）等比数列 an 中连续 k 项的和组成的新数列是等比数列，即 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，成等比数列（公比为-1且 k 为偶数的情况除外）.例3（全国乙卷文13）记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和.若 2S3=3S2+6，则公差 d 的值为.解法1：由 2S3=3S2

14、+6，得23a1+3 22d=32a1+2 12d+6.解得 d=2.解法2：由 2S3=3S2+6，得 2()a1+a2+a3=3()a1+a2+6.由 a1+a3=2a2，得 2 3a2=3()a1+a2+6.化简，得 a2-a1=2，即 d=2.【评析】此题仍是对等差数列基础知识的考查，体现了高考考查要求的基础性.可以用基本量建立方程求解，也可以用等差中项的性质化简直接获得公差 d.两种解法的运算量没有多大差别，使用性质并没有大幅度减少运算量，这恰好说明了高考对性质应用技巧的淡化.但是历年高考曾多次考查等差（比）数列性质的应用，部分试题运用性质求解相较直接建立基本量的方程计算可减少运算量

15、，如2019年全国卷理科第14题.4.利用 Sn 与 an 的关系求通项数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 紧密相关，数列的前n 项和本身也是数列，具有数列的一切性质，通项 an与前 n 项和 Sn 是数列的主要研究对象.在等差数列中，直接体现通项与前 n 项和之间关系的有：S2n-1=()2n-1 an，S2n=n()an+an+1，解题过程中常用此实现等差数列通项与前 n 项和之间的转化.而对于任何数列均有 an=Sn-Sn-1()n 2.对非等差（比）数列而言，除此公式外，等差（比）数列的所有性质均不可用，可见此公式的重要性.但是运用 an=Sn-Sn-1 时一定要注意适用范围 n

16、2，同时还需要用 a1=S1 求 a1，以此检验通项公式是否适用 n=1的情形.例4（全国新高考卷17）记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，已知 a1=1，Snan是公差为 13 的等差数列.（1）求 an 的通项公式；（2）证明：1a1+1a2+1an 2.（1）解：因为 a1=1，所以 S1=a1=1.所以 S1a1=1.因为 Snan是公差为 13 的等差数列，所以 Snan=1+13()n-1=n+23.所以 Sn=()n+2 an3.所以当 n 2 时，Sn-1=()n+1 an-13.所以 Sn-Sn-1=()n+2 an3-()n+1 an-13，即 an=()n+2 an3

17、-()n+1 an-13.整理，得()n-1 an=()n+1 an-1.所以 anan-1=n+1n-1.所以 an=a1 a2a1 a3a2 an-1an-2 anan-1=n()n+12.50下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究显然，对于 n=1也成立，所以 an 的通项公式为 an=n()n+12.（2）证明：由（1），知 1an=2n()n+1=21n-1n+1.所以 1a1+1a2+1an=2|1-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+1 N0 时，an 0”的（）.（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不

18、必要条件解：设数列 an 的公差为 d，则 an=a1+()n-1 d()d 0.若 an 为递增数列，则 d 0.令 an 0，有 n d-a1d.令 N0=|d-a1d，则存在正整数 N0，当n N0时，an 0.所以“an 为递增数列”是“存在正整数 N0，当n N0 时，an 0”的充分条件.若存在正整数 N0，当 n N0 时，an 0，则当 n N0时，d -a1n-1 恒成立.当 a1 0 时，-a1n-1 0，即 d 0；当 a1 0 时，-a1n-1 -a1n-1 恒成立，则须 d 0.综上，若存在正整数 N0，当 n N0 时，an 0，则有 d 0，即 an 为递增数列.

19、所以“an 为递增数列”是“存在正整数 N0，当n N0 时，an 0”的必要条件.综上，“an 为递增数列”是“存在正整数 N0，当 n N0 时，an 0”的充分必要条件.故选择选项C.【评析】此题着重考查数列的单调性和简易逻辑知识，要求学生理解数列单调性和函数单调性的共性与差异.同时，创新问题呈现方式考查了学生的数学语言理解表达能力和数学抽象素养.多数学生对严格的推导存在困难，但作为选择题，此题在正确理解数列单调性的基础上不难解决.若 an 为递增数列，即使首项为负，在一直递增的情况下，数列的项一定会变为正数，且趋于无穷大.因此“存在正整数 N0，当n N0 时，an 0”，满足充分性.

20、在判断必要性时，不易正面推断，可以采用反证法.如果数列 an 是递减数列，数列后面的无穷多项终会变为负数，出现矛盾.新教材相较旧教材更强调数列的函数特性，例题和习题中判断函数单调性、求最大（小）项问题比例有所增加.例如，北师大版教材选择性必修第二册第一章习题1-3 A组第4题寻找等比数列为递减数列的充分条件；湘教版教材第一章1.2.2练习第2题关于数列单调性判断的真命题选择和1.3.2练习第2题关于等比数列为递增数列的充要关系判断.类似的高考试题有2021年全国甲卷理科第7题.7.运用数学思想突破思维阻碍点2022年高考数列试题给人的直观印象是非常规试题较多，非常规试题无法直接套用复习过程中反

21、复使用、训练的套路，需要学生深刻理解问题、深入分析条件、综合运用知识方法解决问题，这是考查学生关键能力和数学素养的重要载体，也是高考考查要求综合性和创新性的体现.面对非常规试题，学生直接套用所学套路，当解题受阻时便束手无策，此时可用数学思想调整解题策略，突破思维阻碍点.例如，当正面解决问题有困难时，可以考虑解决反面问题或用反证法；当问题的一般情形不易解决时，可以考虑特殊情形或取特值、特例发现规律；当问题分析较为困难时，可以考虑画图直观发现某些本质关系（数形结合思想）；当问题解决具有不确定性时，可以考虑分多种情形逐一解决（分类讨论思想）；等等.综观2022年高考数列压轴试题或其他内容压轴试题，大

22、都有反证法或反证思维的影子，由于推出矛盾的不确定性，需要学生具有发散思维，在深入分析、多次尝试后确定推出的矛盾，这又需要学生具备聚合思维和批判性思维，而这恰恰是创新思维的主要体 53下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究现.下面着重举例说明反证思想在学生调整解题策略解决问题中的重要性.例7（北京卷15）已知数列 an 的各项均为正数，其前 n 项和 Sn 满足 an Sn=9()n=1，2，.给出下列四个结论：an 的第2项小于3；an 为等比数列；an 为递减数列；an 中存在小于 1100 的项.其中所有正确结论的序号是.解：由题意可知，n N，an 0.当 n=

23、1时，由 a21=9，得 a1=3；当 n 2 时，由 Sn=9an，得 Sn-1=9an-1.两式作差，得 an=9an-9an-1.所以9an-1=9an-an.则 9a2-a2=3.整理，得 a22+3a2-9=0.因为 a2 0，所以解得 a2=3 5-32 0，可得 an an-1.所以数列 an 为递减数列.所以正确.假设 an 中存在不小于 1100 的项，即对任意的 n N，有 an 1100，则 S100 000 100 000 1100=1 000.所以 a100 000=9S100 00091 000 1100.与假设矛盾，假设不成立.所以正确.故答案为.【评析】此题是对

24、数列知识的综合考查，着重考查学生的基本数学思想、逻辑推理能力和创新能力.对于条件 anSn=9，可以利用 an=Sn-Sn-1()n 2 转化为递推关系 an=9an-9an-1，不难判断结论的正误，但是对结论的判断难度较大.依据正难则反原则，考虑反证法，假设结论不成立，后推出矛盾.由于囿于日常训练的定式思维，学生的反证思维和反证意识不足，解题受阻后不能及时调整策略，这是其未能正确判断的主要原因.二、优秀试题分析例8（全国新高考卷3）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.图1是中国古代建筑中的举架结构，AA，BB，CC，DD 是桁，相邻的桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图

25、2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中 DD1，CC1，BB1，AA1 是举，OD1，DC1，CB1，BA1 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3.已知 k1，k2，k3 成公差为0.1的等差数列，且直线 OA 的斜率为0.725，则 k3 的值为（）.D1xyOABCDA1B1C1图2ABCDA图1DBC（A）0.75（B）0.8（C）0.85（D）0.9解：设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3.依题意，有 k3-0.2=k1，k3-0.1=k2，且 DD1+CC1+BB

26、1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725.所以 0.5+3k3-0.34=0.725.故 k3=0.9.故选择选项D.【评析】此题以中国古建筑为背景，渗透数学文化、数学审美，引导学生感受数列模型的应用价值.考查了等差数列和直线斜率的基础知识，对学生数学 54下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究符号语言和图形语言的理解能力要求较高.学生需要结合图形理解条件和问题、综合运用相关知识解题.题中主要条件有三个：DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3；k1，k2，k3 是公差为0.1的等差数列；直线OA的斜率为0.725.

27、如何运用所学知识把这三个条件结合起来是学生解题的难点.对此，可以从直线 OA 的斜率表达着手.根据斜率公式可知，直线 OA 的斜率即为点 A 纵坐标与横坐标之商.而由图形可知，点 A 的横坐标等于线段 OD1，DC1，CB1，BA1 之和，点 A 的纵坐标恰等于线段 DD1，CC1，BB1，AA1 之和，所以 kOA=DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1.由条件 DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3 代入，可得方程 0.5+3k3-0.34=0.725（若令 OD1=DC1=CB1=BA1=1 可减少运算量），后解之可得.尽管

28、此题具有一定的综合性，亦无套路可用，需要学生认真分析、选择方法，但解题路径比较清楚.不过也有很多学生因为不能正确理解题意而无法入手，还有部分学生受条件 DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3 的 干 扰，认为条件告知了直线 OD，DC，CB，BA 的斜率，然后想尽办法寻找这四条直线的斜率与直线 OA 斜率之间的关系建立方程求解，结果陷入困境.此题情境新颖，具有基础性和综合性，虽然难度较大，但区分度较高，有利于考查学生的数学抽象和直观想象素养.例9（全国新高考卷17）已知 an 是等差数列，bn 是公比为2的等比数列，且 a2-b2=a3-b3=b4-a

29、4.（1）证明：a1=b1；（2）求集合|k bk=am+a1，1 m 500 中元素的个数.解：（1）（方法1）设数列 an 的公差为 d.由条件，得a1+d-2b1=a1+2d-4b1，a1+d-2b1=8b1-()a1+3d，即 d=2b1，2a1+4d=10b1.将代入，得 2a1+4 2b1=10b1.化简，得 a1=b1.即证.（方法2）设数列 an 的公差为 d.由条件，得a1+d-2b1=a1+2d-4b1，a1+d-2b1=8b1-()a1+3d，即 d=2b1，2a1+4d=10b1.由，得 b1=d2.代入，得 2a1+4d=10 d2.化简，得 a1=d2.所以 a1=

30、b1=d2.即证.（方法3）由 a2-b2=b4-a4，得 a2+a4=b2+b4.则有 2a3=b2+4b2，即 a3=52b2.将 a3=52b2 代入 a2-b2=a3-b3，得a2-b2=52b2-2b2.化简，得 a2=32b2.因为 a2 为 a1，a3 的等差中项，即 2a2=a1+a3，所以 2 32b2=a1+52b2.化简，得 a1=12b2.因为 b2=2b1，所以 a1=b1.即证.（2）由（1），知 b1=a1=d2.由 bk=am+a1，得 b1 2k-1=a1+()m-1 d+a1，即 2k-1=2m，亦即 m=2k-2 1，500.解得 2 k 10.所以满足等

31、式的解 k=2，3，4，10.所以集合k|bk=am+a1,1 m 500 中的元素个数为10-2+1=9.【评析】此题条件是等差数列和等比数列满足的连等 式，可 以 建 立 三 个 方 程.第（1）小 题 要 求 证 明a1=b1，通过连等式建立方程组求解即可.连等式中有6个未知量，即使用基本量表示也还有 a1，b1，d 这3个未知量，无法求出未知量的具体值.事实上，方法1和方法2都是用数列的基本量表示连等式建立方程组，方法1是消去无关量获得 a1 和 b1，从而得证；方法2是把a1，b1 作为未知量，视 d 为常数，分别求出 a1 和 b1，即可作出判断.两种方法看起来差不多，但其存在本

32、55下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究质上的差别，方法1是消元思想，方法2是主元思想和中间量表示法.方法3的本质同方法2，是用第3个量分别表示 a1 和 b1，从而做出判断，但没有用基本量，直接用 b2 表示 a1 和 b1.依据这3种方法的本质，从不同角度选取不同的量可以获得多种形式的解题过程.例如，连等式得到的3个方程选择两个方程建立方程组有3种形式，中间量可以是 d，a2，a3，b2，b3 等，用它们分别表示 a1 和 b1 仍然可证，选取不同的量就得到不同的解题过程.因此，第（1）小题的求解看似简单，但是有多种思路，也反映学生不同的素养水平.第（2）小题的

33、问题呈现方式有所创新，表面看似关于集合的问题，但实际上是对数列和不等式等知识的综合考查，体现了高考考查要求的综合性，也考查了学生对集合语言的理解和数学抽象素养.不能正确理解题意和无法求解不等式 1 2k-2 500 是学生的主要问题.不等式1 2k-2 500 是含指数式的超越不等式，500无法表示成以2为底的幂值，不能直接利用指数函数的单调性求解，需要对500附近的以2为底的幂值进行估算，即28 500 29.进而将不等式 1 2k-2 500 等价转化为1 2k-2 28，后用指数函数单调性转化为指数的不等关系，从而解得 2 k 10.三、复习备考建议1.淡化技巧，回归数学本质“把握数学本

34、质，启发思考，改进教学”是 标准 的基本理念之一，从2022年高考数列试题可以看出，关于数列的性质使用和递推求通项的技巧考查有所弱化，回归到对数列的基本概念和函数属性的考查上，多数试题通过基本量运算即可解决.因此，在高考数列复习中，不必大量机械训练等差（比）数列性质的灵活运用，以及用数列递推公式求通项的不常用的特殊技巧（如特征根法、不动点法等），而是要注重回归基础，深刻理解数列的相关概念，掌握基础知识和基本方法（等差数列或等比数列的主要性质，常用的求和方法，以及基本的递推求通项的技巧）.2.掌握基本方法，培养解题思维习惯对于2022年高考数列试题，学生未能正确解题的主要原因不在于没有掌握基本方

35、法，而是没有深刻理解方法并正确使用，只是机械套用方法步骤解题，未关注方法适用的类型和条件.例如，利用 an=Sn-Sn-1转化问题时，没有注意到公式的适用条件 n 2，也没利用 n=1 特殊情形求 a1 并检验通项公式；在公比 q 未知的情况下使用等比数列前 n 项和公式 Sn=a1()1-qn1-q时，没有注意 q 1 的条件；在使用累加法、累乘法、裂项相消法时，没有认真观察和分析相约、相消规律，受思维定式影响直接保留第一项和最后一项而导致错误；忽略等比数列公比不为0的条件；等等.因此，在高三数列复习过程中，教师要重视培养学生正确使用基本方法的思维习惯.例如，利用公式 an=Sn-Sn-1求

36、通项时先考虑 n=1的特殊情形；使用公式 Sn=a1()1-qn1-q时先判断公比 q 是否可以取1；使用累加法、累乘法、裂项相消法时，至少写出前三项和后两项寻找规律；等等.粗心致错不是教师多强调几次或学生背一背易错点能解决的，只有形成良好的、有序的、正确的解题思维习惯，才可能使学生在一定程度上克服粗心.3.重视函数内容学习，强化函数与数列的综合应用标准将数列归为函数主线内容，要求学生感受数列的函数特性和数学的整体性，以及数列模型在实际生产、生活中的应用.基于标准，各版本新教材在不同程度上强化了数列的函数特性，在例题和习题中可见一斑.从近几年新高考数列试题来看，加大了对数列的单调性、最大（小）

37、项或最值和数列的周期性等与函数性质相关问题的考查力度，这些问题的解决与数列的学习有关，但更与函数、不等式的学习密切相关.数列内容的考查服从函数主线与数学素养考查的需要.因此，高考复习过程中要重视函数内容的学习，重视函数内容与数列内容的融合应用，重视数列模型的实际应用.4.克服思维定式，用数学思想引领解题方向新高考命题从“知识立意、能力立意”转向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的综合评价体系，数学学科高考命题重视考查学生的理性思维能力和数学核心素养.刷题教学重视题型归纳和解题套路训练，而忽视了数学思想的渗透和理性思维能力的培养，很难应对新高考.2022年全国新高考卷被评为“历史最难”，

38、凸显了刷题教学与素养导向命题的冲突与差距.不仅是高考数列内容复习，而是在所有内容的复习过程中，教师都应该注重数学思想在解题中的引领作用，特别是面对非常规试题或复杂情境试题时，要引导学生利用数学思想调整解题方向和解题策略，在不断试错中寻找解题路径，进而提升学生的理性思维能力.56下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究四、典型模拟题1.已知数列 an 的通项公式为 an=n-32n-11，则数列 an 的前 n 项和的最小值为（）.（A）29（B）-73（C）-12463（D）-4621答案：C.2.（多选题）已知数列 an 满足 a1=1，an=an+1+ln()1+a

39、n+1()n N*，则（）.（A）0 a2 1（C）an an+1（D）0 an 1答案：ACD.3.已知数列 an 和 bn 满足：a1=2，b1=1，an+1=34 an+14bn，bn+1=34bn+14 an，其中 n N*.（1）证明：数列an-bn 是等比数列；（2）若 cn=3an+bn，求数列ncn 的前 n 项和.答案：（1）略；（2）3n2+3n+4-n+22n-1.参考文献：1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2 教育部考试中心制定.中国高考评价体系M.北京：人民教育出版社，2019.（A）f

40、()x f 56（B）f()x 在 0，2 有且仅有两个极小值点（C）f()x 在 0，2 有且仅有四个零点（D）f()1 f()2答案：BCD.2.已 知 cos+6+sin =33，则 sin2+6的值是（）.（A）-29（B）-13（C）-23（D）-79答案：B.3.在条件 a()sin A-sinC=()b-c()sin B+sin C，2b cosC-3=a+c，3ab cosC=tanB+tanC 中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析.在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且.（1）求角B的大小；（2）若ABC 是钝角三角形，且 b=3，求 a+c的取值范围.答

41、案：（1）3；（2）()3，3.4.椭圆 x26+y24=1 上任意两点P，Q，若OPOQ，则|OP|OQ 的最小值为.答案：245.参考文献：1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2 教育部基础教育课程教材专家工作委员会.普通高中数学课程标准（2017年版）解读M.北京：高等教育出版社，2018.3 闫旭，王恩波.2021年高考“三角函数”专题解题分析J.中国数学教育（高中版），2021（7/8）：39-44.4 刘莉.2021年高考“三角函数”专题命题分析J.中国数学教育（高中版），2021（7/8）：34-38，50.（上接第47页）57