3.3.2 抛物线的简单几何性质-2020-2021学年高二数学重难点手册（圆锥曲线篇人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、3.3.2抛物线的简单几何性质知识储备抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点F F F F 离心率e1准线方程x xyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线四种不同抛物线方程的异同点共同点(1)原点都在抛物线上；(2)焦点都在坐标轴上；(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对

2、称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即不同点(1)焦点在x轴上时，方程的右端为2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号.熟记常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2；(2)|AF|，|BF|，弦长|AB|x1x2p (为弦AB的倾斜角)；(3)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF

3、或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上典例剖析考点一 抛物线的标准方程与几何性质典例精析(1)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)(2)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28xB.y22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x【答案】(1)B(2)C【解析】(1)抛物线y22px(p0)的准线为x且过点(1,1)，故1，解得p2.所以抛物线的焦点坐标为(1

4、,0)(2)由已知得抛物线的焦点F设点M(x0，y0)，则，.由已知得，0，即8y0160，因而y04，M.由|MF|5，得 5.又p0，解得p2或p8.故C的方程为y24x或y216x. 解题技法1求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2ax(a0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2ay(a0)，这样就减少了不必要的讨论2抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程(

5、2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算过关训练1(2020武汉调研)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|6，则此抛物线方程为()Ay29xBy26xCy23xDy2x【答案】B【解析】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由抛物线定义得：|BD|a，故BCD30，在直角三角形ACE中，因为|AE|AF|6，|AC|63a，2|AE|AC|，所以63a12，从而得a2，|FC|3a6，所以p|FG|FC|3，因此抛物线方程为y26x.2(2020合肥

6、模拟)已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_【答案】x24y【解析】FPM为等边三角形，则|PM|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M.因为焦点F ，FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x24y.考点二 直线与抛物线的位置关系典例精析设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为2.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，

7、y2，x1x22，故直线AB的斜率k.(2)由y，得yx.设M(x3，y3)，由题设知x31，于是M.设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(1,1m)，|MN|.将yxm代入y，得x22x2m0.由48m0，得m，x1,21.从而|AB| |x1x2|2.由题设知|AB|2|MN|，即，解得m.所以直线AB的方程为yx.解题技法1直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决2解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的

8、焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解过关训练1(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.【答案】2【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则4(x1x2)，k.设AB中点为M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足为A，B，则|MM|AB| (|AF|BF|) (|AA|BB|)M(x0，y0)为AB中点，

9、M为AB的中点，MM平行于x轴，y1y22，k2.2已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积【解析】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线C的方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由题意可知O

10、AOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍去)，直线l2：xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|3 能力检测姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题1已知第一象限内的点M既在双曲线上，又在抛物线上，设的左、右焦点分别为、，若的焦点为，且是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为的左、右焦点分别为、，的焦点为，所以抛物线的准线方程为：，又因为是以为底边的等腰三角形，过M作MA垂直准线，

11、如图所示：则，所以四边形是正方形，则是等腰直角三角形，所以，所以，又，所以，即，解得.故选：A2点在以为焦点的抛物线上，以为圆心，为半径的圆交轴于两点，则（ ）A9B12C18D32【答案】C【解析】设，因为抛物线的焦点为，所以，即，因此，解得：，不妨取，则，因此以为圆心，为半径的圆的方程为：，令，解得：或，即圆与轴的两交点为，不妨取，则，因此.故选：C.3已知抛物线的焦点为F，过点且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A，若，则抛物线C的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，解得，所以抛物线C的方程为.故选：A.4在圆锥PO中，已知高PO2，底面圆的半径为4，M为母线P

12、B的中点，根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M为原点MO为x轴，过M点与MO垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，又为的中点，所以，设抛物线方程为，则，所以，解得，所以抛物线的焦点到准线的距离为.故选：B.5是抛物线上一点，是圆关于直线的对称圆上的一点，则最小值是（ ）ABCD【答案】C【解析】如下图所示：设点关于直线的对称点为点，则，整理得，解得，即点，所以，圆关于直线的对称圆的方程为，设点，则，当时，取最小值，因此，.故选：C.6已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则（ ）ABCD【答案】

13、A【解析】由抛物线的方程可得其准线方程为，根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于其到准线的距离，故，解得，故选：A.7焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程可设为，因为焦点到准线的距离为，所以故选：D8若抛物线x2ay的准线与抛物线yx22x+1相切，则a（ ）A8B8C4D4【答案】B【解析】抛物线抛物线x2ay的准线为则与抛物线yx22x+1相切，所以，所以，故选：B9已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上的一点，且，则抛物线的方程是（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意可得，解得，则抛物线的方程是

14、，故选：B.10已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|()ABC3D2【答案】C【解析】如图所示：过点Q作QQl交l于点Q，因为，所以|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|QQ|3.故选C.11抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点P在抛物线上，向量与的夹角为，过P作抛物线准线的垂线，垂足为H，线段和抛物线交于点Q，则（ ）A1B2C3D【答案】C【解析】由抛物线定义知，结合知为等边三角形.故和准线夹角，过Q作垂直于准线，垂足为E，则，故故选：C12已知抛物线与椭圆交于点，若抛物线C的焦点F也是椭圆E的焦点，则实数

15、a的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意：对于抛物线，有，所以抛物线C的焦点为，所以对于椭圆E，有，解得或，又因，即，所以，所以.故选：A二、填空题13已知点P为抛物线上的动点，过点P作圆的切线，切点为A，则PA的最小值为_.【答案】1【解析】圆的圆心，半径，由切线的性质可得，若要使最小，则取最小值， 设，则，令，则，易知单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以的最小值为2即的最小值为，所以.故答案为：.14抛物线的准线方程为_【答案】【解析】由抛物线方程可知，抛物线的准线方程为：故答案为：15已知点为抛物线：的焦点，定点和动点都在抛物线上，点，则的最大值为_【答案】【解

16、析】因为在抛物线上，所以，抛物线方程为，焦点，设动点，则，取，则，结合抛物线定义可知，的长度即点的横坐标，则，当且仅当时取“”号，故答案为：.16已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，过点F和的直线l与抛物线C交于P，Q两点.若，则_.【答案】9【解析】由抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，所以，所以抛物线方程为.因为，所以点P的纵坐标为1，代入抛物线方程，可得点P的横坐标为，不妨设，则，故直线l的方程为，将其代入得.可得，故.故答案为：9三、解答题17已知抛物线的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有.当点A的横坐标为3时，为正三角形

17、.（1）求C的方程；（2）若直线，且和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】（1）由题意知，设，则FD的中点为.因为，由抛物线的定义可知，解得或（舍去）.由，解得，所以抛物线C的方程为.（2）由（1）知，设，因为，则，由得，故，故直线AB的斜率，因为直线和直线AB平行，设直线的方程为，代入抛物线的方程得，由题意，得；设，则，.当时，可得直线AE的方程为，由，整理得，直线AE恒过点.当时，直线AE的方程为，过点，所以直线AE过定点.18已知纵坐标分别为的点，是抛物线上的两点，且点，到直线的距离相等.（1）求抛物线的方程；（2）若直

18、线与抛物线交于点，与抛物线的准线交于点，(点为坐标原点)的延长线与准线交于点，且，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】（1）因为点M，N在抛物线C上，且纵坐标分别为.所以点M，N的横坐标分别为因为点M，N到直线的距离相等，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）设直线AB的方程为，与联立得，设，则，由得，即，所以，抛物线准线方程是，故，由B，E三点共线得，即，直线AB的方程为所以直线过定点，点P的坐标为.19抛物线，抛物线上一点到抛物线焦点F的距离为3.（1）求抛物线C的方程；（2）若点Q为抛物线C上的动点，求点Q到直线距离的最小值以及取得最小值时点Q

19、的坐标；（3）若直线l过点且与抛物线C交于A，B两点，当与的面积之和取得最小值时，求直线l的方程.【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】（1）由题意可得，抛物线的准线，由于，则，即，即抛物线C的方程为：.（2）设平行于直线且与抛物线相切的直线为，则，又，则直线 与直线 的距离，此时点的坐标为.（3）当直线的斜率不存在时，方程为：，易得；当直线的斜率存在时，设方程为，设，由消去并整理得：， ，则，当且仅当时取等号，又，所以或，所以，解得：，所以当与的面积之和取得最小值时，直线的方程为.20已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，抛物线C上一点P(4，m)到焦点F的距离为5 （1）

20、求抛物线C的标准方程；（2）已知M是抛物线C上任意一点，若在射线上存在两点G， H，使得线段MG，MH的中点恰好落在抛物线C上，求当MGH面积取得最小值时点M的坐标【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设抛物线的标准方程为，焦点，则，解得，抛物线的标准方程为.（2）设.则由中点在抛物线上，可得，整理得.同理得.是方程的两个实根，且，.弦长点到的距离.令，.在上递增，时面积最大时，此时点21已知抛物线：，焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且（1）求抛物线的方程；（2）若，求的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据抛物线的定义知，（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，即，即， ，令，则22已知抛物线：的焦点是椭圆的一个焦点.（1）求抛物线的方程；（2）设，为抛物线上的不同三点，点，且.求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）因为椭圆的焦点为，依题意，所以：（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，设，则，由，则，即，所以即，整理得到，所以，化简得即，解得或.当时，直线的方程为，即为，即直线过定点；当时，直线的方程为，即为，即直线过定点，此时与点重合，故应舍去，所以直线过定点.