4.2 平行线分线段成比例【八大题型】（举一反三）（北师大版）（教师版）.docx

1、专题4.2 平行线分线段成比例【八大题型】【北师大版】【题型1 “#”字型】1【题型2 “X”字型】4【题型3 “A”字型】6【题型4 “8”字型】9【题型5 判断比例式】11【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】15【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】19【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】23【知识点1 平行线分线段成比例定理】两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理如图：如果，则， 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，【题型1 “#”字型】

2、【例1】（2022醴陵市模拟）如图，直线l1l2l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB2，BC3，EF2，那么DE的长是（）A2B43C1D34【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可【解答】解：直线l1l2l3，ABBC=DEEF，AB2，BC3，EF2，23=DE2，DE=43，故选：B【变式1-1】（2022福建模拟）如图，abc，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F已知AB3，BC2，DE6，则DF等于（）A4B9C10D15【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题【解答】解：abc，ABBC=DEEF，即32=6EF，EF4，D

3、FEF+DE4+610，故选：C【变式1-2】（2022秋清苑区期中）如图，直线abc，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与AEAC一定相等的是（）ACEACBBFBDCBFFDDABCD【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可【解答】解：abc，AEAC=BFBD，故选：B【变式1-3】（2022秋长宁区校级月考）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1l2l3已知DE：DF3：8，AC24（1）求BC的长；（2）当AD4，CF20时，求BE的长【分析】（1）利用平行线分线

4、段成比例定理得到ABAC=DEDF，然后利用比例的性质求出AB，再计算ACAB即可；（2）作ANDF交CF于N，交EB于M，如图，易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，则BEFNAD4，所以CN16，根据平行线分线段成比例定理，由BMCN得到BM16=924，然后求出BM后计算EM+BM即可【解答】解：（1）l1l2l3，ABAC=DEDF，即AB24=38，解得AB9，BCACAB24915；（2）作ANDF交CF于N，交EB于M，如图，易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，BEFNAD4，CNCFFN20416，BMCN，BMCN=ABAC，即BM16=924，BM6，

5、BEEM+BM4+610【题型2 “X”字型】【例2】（2022春莱西市期末）如图：ABCDEF，AD：DF3：1，BE12，那么CE的长为（）A3B4C5D6【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据AD：DF3：1，BE12，可计算出CE的长【解答】解：ABCDEF，BCCE=ADDF=3，BC3CE，CE=14BE=14123，故选：A【变式2-1】（2022广西模拟）如图，ABCDEF，AF与BE相交于点G，且DG2，DF10，BCBE=38，则AG的长为（）A2B3C4D5【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例依据平行线分线段成比例定理，即可得出AG的长【解答】

6、解：ABCDEF，ADAF=BCBE，又DG2，DF10，BCBE=38，AG+2AG+2+10=38，AG4故选：C【变式2-2】（2022秋船山区校级期末）如图：ABCDEF，AD：AF3：5，BE12，那么CE的长为（）A2B4C245D365【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可【解答】解：ABCDEF，BCBE=ADAF，AD：AF3：5，BE12，BC12=35，解得：BC=365，CEBEBC12-365=245，故选：C【变式2-3】（2022秋合肥校级期末）如图，ABCDEF，BE与AF相交于点H，且AH2HD=12DF，则BCCE的值为（）A1

7、B34C23D56【分析】设DHx，则AH2x，DF4x，由平行线分线段成比例定理即可得到结论【解答】解：AH2HD=12DF，设DHx，则AH2x，DF4x，ABCDEF，BCCE=ADDF=3x4x=34，故选：B【知识点2 平行线分线段成比例定理的推论】平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例如图：如果EF/BC，则， 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若或或，则有EF/BC【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行【小结】推论也简称“A”和“

8、8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明F与F重合即可【题型3 “A”字型】【例3】（2022秋零陵区期末）如图，已知AD为ABC的角平分线，DEAB交AC于E，如果AEEC=35，那么BD：BC等于（）A3：5B5：3C8：5D3：8【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可【解答】解：DEAB，BDDC=AEEC=35，BDBC=38，故选：D【变式3-1】（2022秋越城区期末）如图，在ABC中，DEBC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AE4，EC2，则ADAB的值为（）A23B12C13D14【分析】根据平行线分线段成比例定理，写出比例线段，代入线段的值【解答】

9、解：DEBC，ADAB=AEAC，ADAB=46=23，故选：A【变式3-2】（2022秋新民市期末）如图，点A，B在格点上，若BC=23，则AC的长为（）A1B43C2D3【分析】根据平行线分线段成比例可得BC：AC1：2，然后代入数据计算即可【解答】解：观察图形可知，BC：AC1：2，BC=23，AC3BC223=43故选：B【变式3-3】（2022秋覃塘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BDEFAC若DE5，DF3，CEAD，则EFBD的值为 35【分析】设CEADx，则DECE=DFAF，求出CE，由EFDB可求出EFBD的值【解答】解：设CEADx，EFAC，D

10、ECE=DFAF，5x=3x-3，解得x7.5，AF4.5，EFDB，EFBD=AFAD=4.57.5=35故答案为：35【题型4 “8”字型】【例4】（2022镜湖区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则BEEG的值为（）A12B13C23D34【分析】由AF2DF，可以假设DFk，则AF2k，AD3k，证明ABAF2k，DFDGk，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题【解答】解：由AF2DF，可以假设DFk，则AF2k，AD3k，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ADBC3k，AEEC=AFBC

11、=23，BEEG=AEEC=23故选：C【变式4-1】（2022秋金牛区期末）如图，ABC中，D、E分别为BA、CA延长线上的点，DEBC，BD3AD，若CE6，则AC的长为（）A2B3C4D5【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AEAC=ADAB，把已知数据代入计算，得到答案【解答】解：DEBC，AEAC=ADAB，即6-ACAC=12，解得：AC4，故选：C【变式4-2】（2022秋南皮县校级月考）如图，ABCD相交于点E，且ACEFDB，点C，F，B在同一条直线上已知ACp，EFr，DBq嘉嘉得出结论pq=rp，淇淇得出结论rp+rq=1，则（）A只有嘉嘉正确B只有淇淇正确C两人均正确

12、D两人均不正确【分析】根据平行线分线段成比例，可证得EFAC=BFBC，EFBD=CFBC，两式相加即可得出结论【解答】解：ACEF，EFAC=BFBC，EFDB，EFBD=CFBC，EFAC+EFBD=BFBC+CFBC=BF+CFBC=BCBC=1，即rp+rq=1，rp+rq=1故选：B【变式4-3】（2022秋宜兴市校级月考）如图，l1l2，AF：BF2：5，BC：CD4：1，则AE：EC的值为（）A5：2B1：4C2：1D3：2【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AGBD=AFBF=25，AEEC=AGCD，求出AG=25BD，CD=15BD，再求出AGCD即可【解答】解：l1l2

13、，AGBD=AFBF，AF：BF2：5，AGBD=25，即AG=25BD，BC：CD4：1，BC+CDBD，CD=15BD，AGCD=25BD15BD=21，l1l2，AEEC=AGCD=21，故选：C【题型5 判断比例式】【例5】（2022春潍坊期末）如图，ABCDEF，AF交BE于点G，若ACCG，AGFG，则下列结论错误的是（）ADGBG=12BCDEF=12CCGCF=13DDGBE=13【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可【解答】解：ABCD，DGBG=CGAG，ACCG，DGBG=CGAG=12，故A正确，不符合题意；CDEF，CDEF=DGEG，DE3DG，EG2D

14、G，CDEF=DGEG=12，故B正确，不符合题意CDEF，CGCF=DGDEBG2DG，BE4DG，DE3DG，CGCF=DGDE=13，故C正确，不符合题意；ABCDEF，BGEG=AGFG，AGFG，BGEG，BE2BG，DGBG=CGAG=12，BG2DG，BE4DG，DGBE=14，故D错误，符合题意；故选：D【变式5-1】（2022春东平县期末）已知，在ABC中，点D为AB上一点，过点D作DEBC，DHAC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（）AADDB=AEDHBCFDE=DHCGCFDFG=ECCGDCHBC=AEAC

15、【分析】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可【解答】解：DEBC，DHAC，四边形DECH是平行四边形，DHCE，DECH，DEBC，ADDB=AEEC=AEDH，故选项A正确，不符合题意，DHCG，DFFG=DHGC=ECCG，故C正确，不符合题意，DEBC，DEBC=AEAC，CHBC=AEAC，故D正确，不符合题意，故选：B【变式5-2】（2022秋青浦区期末）如图，点D、E分别在ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DEAC的是（）AADDB=BECEBBDAD=BEECCADAB=CEBEDBDBA=DEAC【分析】根据平行线分线段成比例

16、判断即可【解答】解：A因为ADDB=ECBE，所以DEAC，故A不符合题意；B因为BDAD=BECE，所以DEAC，故B符合题意；C因为ADAB=CEBC，所以DEAC，故C不符合题意；D因为BDAB=BEBC，所以DEAC，故D不符合题意；故选：B【变式5-3】（2022香坊区一模）如图，ABCDEF，AF交BE于点G，若ACCG，AGFG，则下列结论错误的是（）ADGBG=12BDGBE=13CCGCF=13DCDEF=12【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可【解答】解：ABCD，DGBG=CGAG，ACCG，DGBG=CGAG=12，故A正确，不符合题意；ABCDEF，BG

17、EG=AGFG，AGFG，BGEG，BE2BG，DGBG=CGAG=12，BG2DG，BE4DG，DGBE=14，故B错误，符合题意；CDEF，CGCF=DGDE，BG2DG，BE4DG，DE3DG，CGCF=DGDE=13，故C正确，不符合题意；CDEF，CDEF=DGEG，DE3DG，EG2DG，CDEF=DGEG=12，故D正确，不符合题意故选：B【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】【例6】（2022沁阳市模拟）如图，BE是ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF3EF，则BDDC=（）A43B32C65D23【分析】过点E作EHAD交BC于H，根据平行线

18、分线段成比例定理得到CHHD，BDDH=BFEF=3，计算即可【解答】解：过点E作EHAD交BC于H，则CHHD=CEEA，BE是ABC的中线，CEEA，CHHD，EHAD，BDDH=BFEF=3，BDDC=32，故选：B【变式6-1】（2022春任城区校级期末）如图，AD是ABC的中线，E是AD上一点，且AE：ED1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC1：4【分析】作DHBF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FHHC，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，计算得到答案【解答】解：作DHBF交AC于H，AD是ABC的中线，FHHC，DHBF，AFFH=AEED=12，AF：FC1：4，

19、故答案为：1：4【变式6-2】（2009秋北京校级期中）如图，在ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PMAC交AB于点M，作PNAB交AC于点N（1）若点D是BC的中点，且AP：PD2：1，求AM：AB的值；（2）若点D是BC的中点，试证明AMAB=ANAC；（3）若点D是BC上任意一点，试证明AMAB+ANAC=APAD【分析】（1）过点D作DEPM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；（2）延长AD至点Q，使DQAD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PMBQ，PNCQ，继而可得A

20、MAB=ANAC；（3）过点D作DEPM交AB于E，即可得AMAE=APAD，又由PMAC，根据平行线分线段成比例定理可得AEAB=CDBC，继而求得AMAB+ANAC=APAD【解答】解：（1）过点D作DEPM交AB于E，点D为BC中点，点E是AB中点，且AMAE=APAD，（2分）AMAB=AM2AE=13；（2）延长AD至点Q，使DQAD，连BQ、CQ，则四边形ABQC是平行四边形PMBQ，PNCQ，AMAB=APAQ，ANAC=APAQ，AMAB=ANAC；（注：像第（1）题那样作辅助线也可以）（3）过点D作DEPM交AB于E，AMAE=APAD，又PMAC，DEACAEAB=CDBC

21、，AMAB=AMAEAEAB=APADCDBC；同理可得：ANAC=APADBDBC，AMAB+ANAC=APAD(CDBC+BDBC)=APAD（注：如果像第（2）题那样添辅助线，也可以证）【变式6-3】（2022春西湖区校级期中）如图，在ABC中，AD是BC上的中线，点F为AD的中点，连接BF并延长交AC于点E，设AEEC=m，EFFB=n，则m+n（）A12B23C56D32【分析】取CE中点G，连接DG，由中位线定理可得DGBE，再由点F为AD中点可得点E为AG中点，可求得m，由中位线定理可得EF=12DG，DG=12BE，可求出n，即可得出答案【解答】解：取CE中点G，连接DG，点D

22、为BC中点，DG为BCE的中位线，DG=12BE，DGBE，点F为AD中点，EFDG，EF为ADG的中位线，点E为AG中点，EF=12DG，AEEC=12，EF=14BE，EFFB=13，即m=12，n=13，m+n=56，故选：C【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】【例7】（2022宁阳县一模）如图，在ABC中，D在AC边上，AD：DC1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE1，则EC（）A32B2C3D4【分析】过D点作DFCE交AE于F，如图，先由DFBE，根据平行线分线段成比例得到DFBE3，再由DFCE得到比例式，然后利用比例的性质求CE的长【解答】解：过D

23、点作DFCE交AE于F，如图，DFBE，DFBE=ODOB，O是BD的中点，OBOD，DFBE1，DFCE，DFCE=ADACAD：DC1：2，AD：AC1：3，DFCE=13，CE3DF313故选：C【变式7-1】（2022秋虹口区期末）在ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DEAC，DFAB，AE：EB3：2，那么AF：FC的值是（）A32B23C25D35【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可【解答】解：如图：DEAC，AE：EB3：2，AEEB=CDBD=32，BDCD=23，DFAB，AFCF=BDCD=23，故选：B

24、【变式7-2】（2022秋亳州期末）如图，ADEFBC，点G是EF的中点，EFBC=35，若EF6，则AD的长为（）A6B132C7D152【分析】根据平行线分线段成比例定理得EFBC=AEAB=35，BEAB=25，再根据平行线分线段成比例定理得EGAD=BEAB=25，由中点的定义得EG3，代入即可求解【解答】解：EFBC，AB：BC2：3，EFBC=AEAB=35，BEAB=25，ADEF，EGAD=BEAB=25，点G是EF的中点，EG3，3AD=25MAD=152故选：D【变式7-3】（2022邢台模拟）在ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为

25、三段的长分别是x、y、z，若这三段有xyz，则x：y：z等于（）A3：2：1B4：2：1C5：2：1D5：3：2【分析】如图，作MHBC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J首先证明HGMG=12CF，再利用平行线分线段成比例定理构建方程组即可解决问题【解答】解：如图，作MHBC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于JMHBC，GMCF=AGAF=GHEF=AMAC=12，BEEFCF，HGMG=12CF，HMBE=MKKB=11，y+zx，GMBF=MJJB=14，x+y4z，x=52z，y=32z，x：y：z5：3：2，故选：D【题型8 平行线分线段成比例

26、中的常作辅助线】【例8】（2022襄阳）如图，在ABC中，D是AC的中点，ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD3：1，AB+BE33，则ABC的周长为 53【分析】如图，过点F作FMAB于点M，FNAC于点N，过点D作DTAE交BC于点T证明AB3AD，设ADCDa，证明ETCT，设ETCTb，则BE3b，求出a+b，可得结论【解答】解：如图，过点F作FMAB于点M，FNAC于点N，过点D作DTAE交BC于点TAE平分BAC，FMAB，FNAC，FMFN，SABFSADF=BFDF=12ABFM12CBDT=3，AB3AD，设ADDCa，则AB3a，ADDC，DTAE，ETCT，BE

27、ET=BFDF=3，设ETCTb，则BE3b，AB+BE33，3a+3b33，a+b=3，ABC的周长AB+AC+BC5a+5b53，故答案为：53【变式8-1】（2022雁塔区校级模拟）如图，已知点F在AB上，且AF：BF1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD2：1，连接FD与AC交于点M，则FN：ND2：3【分析】过点F作FEBD，交AC于点E，求出EFBC=13，得出FE=13BC，根据已知推出CD=12BC，根据平行线分线段成比例定理推出FNND=EFCD，代入化简即可【解答】解：过点F作FEBD，交AC于点E，EFBC=AFAB，AF：BF1：2，AFAB=13，FEBC=13，

28、即FE=13BC，BC：CD2：1，CD=12BC，FEBD，FNND=FECD=13BC12BC=23即FN：ND2：3故答案为：2：3【变式8-2】（2022秋六盘水期末）如图，已知四边形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且CE：BE2：3，DF：CF1：2，BF与DE相交于点G，则DG：GE5：6【分析】如图，过点E作ETBF交CD于点，利用平行线分线段成比例定理求出DF：FT可得结论【解答】解：如图，过点E作ETBF交CD于点TETBF，CT：FTCE：EB2：3，DF：CF1：2，DF：TF5：6，FGET，DG：GEDF：FT5：6，故答案为：5：6【变式8-3】（2022宿迁

29、）如图，在ABC中，AB4，BC5，点D、E分别在BC、AC上，CD2BD，CE2AE，BE交AD于点F，则AFE面积的最大值是 43【分析】连接DE首先证明DEAB，推出SABESABD，推出SAEFSBDF，可得SAEF=25SABD，求出ABD面积的最大值即可解决问题【解答】解：连接DECD2BD，CE2AE，CDBD=CEAE=2，DEAB，CDECBA，DEBA=CDCB=23，DFAF=DEBA=23，DEAB，SABESABD，SAEFSBDF，SAEF=25SABD，BD=13BC=53，当ABBD时，ABD的面积最大，最大值=12534=103，AEF的面积的最大值=25103=43，故答案为：43