5.3 轴对称的性质【八大题型】（举一反三）（北师大版）（学生版）.docx

1、专题5.3 轴对称的性质【八大题型】【北师大版】【题型1 游戏中的轴对称】1【题型2 利用轴对称的性质求角度】3【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】4【题型4 在格点中作轴对称图形】6【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】8【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】11【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】13【题型8 轴对称图案的设计】18【知识点1 轴对称的性质】（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线由轴对称的性质得到一下结论：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；如果两个图形成轴对称，我们只要找

2、到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线【题型1 游戏中的轴对称】【例1】（2022春余姚市校级月考）小王设计了一“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长8cm，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点6cm、与直线l的距离为3cm，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4点以l对称轴跳至P5点；（1）棋子跳至P6点时，与

3、点P1的距离是 ；（2）棋子按上述程序跳跃2014次后停下，这时它与点B的距离是 【变式1-1】（2022云梦县一模）甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子如图，已共下了7枚棋子，棋盘中心黑子的位置用（1，0）表示，其右下角黑子的位置用（0，1）表示甲将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形他放的位置是（）A（1，1）B（2，1）C（1，2）D（1，2）【变式1-2】（2022潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形则下列下子方法不正确的是（），说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3

4、）A黑（3，7）；白（5，3）B黑（4，7）；白（6，2）C黑（2，7）；白（5，3）D黑（3，7）；白（2，6）【变式1-3】（2022绥棱县校级模拟）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为3步【题型2 利用轴对称的性质求角度】【例2】（2022秋河东区期末）如图，ABC中，B58，C55，点D为BC边上一动点分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF则EAF的度数等于 【变式2-1】（2022春

5、寿阳县期末）如图，ABC中，B60，C50，点D是BC上任一点，点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF，则EAF的度数是（）A140B135C120D100【变式2-2】（2022秋台江区期中）如图，四边形ABCD中，ABAD，ABC沿着AC翻折，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，若B度，则D的度数是 度【变式2-3】（2022秋房山区期末）如图，点P是AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB的对称点，直线QR分别交AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果PMO33，PNO70，求QPN的度数【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】【例3

6、】（2022秋土默特左旗期中）如图，点P在AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若PEF的周长为15，求MN的长【变式3-1】（2022春洛宁县期末）如图，点P在AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若PEF的周长为20，求MN的长【变式3-2】（2022春驿城区期末）如图，点P是AOB外的一点，点M，N分别是AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上若PM3cm，PN4cm，MN4.5cm，则线段QR的长为 【变式3-3】（2022秋淮安月考）如图，在ABC中，AB12cm，A

7、C6cm，BC10cm，点D，E分别在AC，AB上，且BCD和BED关于BD对称（1）求AE的长；（2）求ADE的周长【题型4 在格点中作轴对称图形】【例4】（2022秋密山市校级期末）如图所示，（1）写出顶点C的坐标；（2）作ABC关于y轴对称的A1B1C1，并写出B1的坐标；（3）若点A2（a，b）与点A关于x轴对称，求ab的值【变式4-1】（2022秋自贡期末）如图，在直角坐标系中，A、B、C、D各点的坐标分别为（7，7）、（7，1）、（3，1）、（1，4）（1）在给出的图形中，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1； （不写作法）（2）写出点A1和C1的坐标；（3）求四

8、边形A1B1C1D1的面积【变式4-2】（2022秋嵊州市期末）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，B的坐标分别是（6，7），（4，3）（1）请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系（2）请画出ABC关于y轴对称的A1B1C1【变式4-3】（2022春铜仁市期末）如图，已知点A（4，3），B（3，1），C（1，2），请解决下列问题：（1）若把ABC向下平移1个单位，再向左平移5个单位得到A1B1C1，请画出平移后的图形并写出A1，B1，C1的坐标；（2）若A2B2C2是ABC关于x轴对称的图形，请画出A2B2C2并写出A

9、2，B2，C2的坐标【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】【例5】（2022春广陵区校级期中）发现（1）如图1，把ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，请你判断1+2与A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由思考（2）如图2，BI平分ABC，CI平分ACB，把ABC折叠，使点A与点I重合，若1+2100，求BIC的度数；拓展（3）如图3，在锐角ABC中，BFAC于点F，CGAB于点G，BF、CG交于点H，把ABC折叠使点A和点H重合，试探索BHC与1+2的关系，并证明你的结论【变式5-1】（2022春杜尔伯特县期中）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点

10、A落在F处，折痕为MN（1）求线段CN长 （2）连接FN，并求FN的长【变式5-2】（2022秋成都期末）如图，四边形ABCD中，ABCD，ADAB，AB6，ADCD3，点E、F分别在线段AB、AD上，将AEF沿EF翻折，点A的落点记为P当P落在四边形ABCD内部时，PD的最小值等于 【变式5-3】（2022惠安县期末）如图，已知一张长方形纸片ABCD，ABCD，ADBC1，ABCD5在长方形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK（1）请你动手操作，判断MNK的形状一定是 ；（2）问MNK的面积能否小于12？试说明理由；（3）如何折叠能

11、够使MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】【例6】（2022春崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题如图2，作B关于直线l的对称点B，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置证明：如图3，在直

12、线l上另取任一点C，连接AC，BC，BC，直线l是点B，B的对称轴，点C，C在l上，CBCB，CBCB，AC+CBAC+ 在ACB中，ABAC+CBAC+CBAC+CB即AC+CB最小本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB与l的交点上，即A、C、B三点共线）本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型【简单应用】（1）如图4，在等边ABC中，AB6，ADBC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值借助上面的模型，

13、由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段BE的长度，则EM+MC的最小值是 ；（2）如图5，在四边形ABCD中，BAD130，BD90，在BC，CD上分别找一点M、N当AMN周长最小时，AMN+ANM 【拓展应用】如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，AOB30，OA1千米，OB2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程【变式6-1】在ABC中，ACB90，B60，AC6，点D，E在AB边上，ADCD

14、，点E关于AC，CD的对称点分别为F，G，则线段FG的最小值等于（）A2B3C4D5【变式6-2】（2022秋双流区校级期中）在ABC中，A45，AC8，BDAC，BD6，点E为边BC上的一个动点E1，E2分别为点E关于直线AC，AB的对称点，连接E1E2，则线段E1E2长度的最小值是 【变式6-3】（2022春青羊区期末）如图，ABC中，B45，C75，AB4，D为BC上一动点，过D作DEAC于点E，作DFAB于点F，连接EF，则EF的最小值为 【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】【例7】（2022春二道区期末）解答下列各题：（1）【问题引入】：如图，在ABC中，BAC70，点D在BC

15、的延长线上，三角形的内角ABC与外角ACD的角平分线BP，CP相交于点P，求P的度数（写出完整的解答过程）（2）【深入探究】：如图，在四边形MNCB中，设Ma，N，四边形MNCB的内角MBC与外角NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则P的度数为 （用含有和的代数式表示）（3）【问题拓展】：如图，在图中，把BAC70改成BAC，其他条件不变，将PBC以直线BC为对称轴翻折得到GBC，GBC的角平分线与GCB的角平分线交于点M，则BMC的度数为 .（用含有的代数式表示）【变式7-1】（2022秋洛南县期末）问题提出：（1）如图1，画出直角三角形ABC关于AC所在直线的轴对称图形ACB，其中BAC

16、90（保留作图痕迹，不写作法）问题探究：（2）如图2，MAN90，射线AE在MAN的内部，点B、C在MAN的边AM、AN上，且ABAC，过点C作CFAE于点F，过点B作BDAE于点D，证明：ABDCAF深入思考：（3）如图3，在RtABC中，ACB90，ACBC，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过点A作ADl于点D，过点B作BEl于点E判断线段AD、BE、DE之间的数量关系，并加以说明【变式7-2】（2022春临汾期末）综合实践课上，小聪用一张长方形纸片ABCD对不同折法下的夹角大小进行了探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点A落在A处，EF为折痕，如图所示（1）若AEF30，求AEB

17、的度数；又将它的另一个角也折过去，并使点B落在EA上的B处，折痕为EG，如图所示，求FEG的度数；（2）若改变AEF的大小，则EA的位置也随之改变，则FEG的大小是否改变？请说明理由【变式7-3】（2022秋鼓楼区月考）问题情境如图1，ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，我们就称BAC是ABC的正角以图2为例，ABC中，B70，C35，若沿BAC的平分线AB1折叠，则AA1B170沿A1B1剪掉重叠部分，在余下的B1A1C中，由三角形的内角和定理可知A

18、1B1C35，若沿B1A1C的平分线A1B2第二次折叠，则点B1与点C重合此时，我们就称BAC是ABC的正角探究发现（1）ABC中，B2C，则经过两次折叠后，BAC是不是ABC的正角？（填“是”或“不是”）（2）小明经过三次折叠发现BAC是ABC的正角，则B与C（不妨设BC）之间的等量关系为 根据以上内容猜想：若经过n次折叠BAC是ABC的正角，则B与C（不妨设BC）之间的等量关系为 应用提升（3）如果一个三角形的最小角是10，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是它的正角【题型8 轴对称图案的设计】【例8】（2022秋沧州期末）如图1所示是一块有图案的瓷砖，请利用四块这样

19、的瓷砖拼出一个正方形，使所拼的图案为轴对称图形在图4中画出你的四个设计方案（图2、图3视为同一图案）【变式8-1】（2022金华）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑如图（1），（2）所示观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案它们具有如下特征：都是轴对称图形；涂黑部分都是三个小正三角形请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征【变式8-2】（2022春临渭区期末）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1： ；特征2： （2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）【变式8-3】（2022秋盂县期末）有这样一道题：用四块如图甲所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称图案，和你的同伴比一比，看谁的拼法多某同学设计了如图的两个图案，请你也用如图乙所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称图案（至少设计四种图案）