5.5.2 三角恒等变换(2)-简单的三角恒等变换-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）.docx

1、第五章 三角函数课时5.5.2 三角恒等变换(2)简单的三角恒等变换1.能用二倍角公式导出半角公式,并能进行简单的应用.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用.4.体会三角恒等变换中的基本思想方法,加强逻辑推理和数学运算能力的培养.基础过关练题组一三角函数式的求值问题1.若cos 2=-45,且2,则sin = () A.31010B.1010C.35 D.-10102.cos20cos351-sin20= ()A.1B.2C.2D.33.已知sin2-cos2=-15,4500,bR),则A=,b=.8.化简(1

2、+sin+cos)sin2-cos22+2cos=(其中180360).9.已知A,B,C为ABC的三个内角,sin Acos2C2+sin Ccos2A2=32sin B,求证:sin A+sin C=2sin B.题组三三角恒等变换的综合应用10.函数y=sinx1+cosx的最小正周期等于 ()A.2B.C.2D.311.函数y=12sin 2x+sin2x的值域是 ()A.-12,32B.-32,12C.-22+12,22+12D.-22-12,22-1212.函数y=sinx-6cos x的最大值为 ()A.12B.14C.1D.2213.在ABC中,若sin Asin B=cos2

3、C2,则ABC是 ()A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形14.已知函数f(x)=sin2x-6+2cos2x-1.(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的集合;(2)若4,2,且f()=45,求cos 2的值.能力提升练题组一三角函数式的求值问题1.已知sin-2cossin+cos=2,则sin 2= () A.917B.-917C.817D.-8172.已知tan =2,则tan-4+tan 2= ()A.-1B.1C.53D.17153.已知为第三象限角,且sin +cos =2m,sin 2=m2,则m的值为(深度解析)A.33B.-33C.-1

4、3D.-234.(多选)下列各式中,值为12的是 ()A.tan22.51-tan222.5B.tan 15cos215C.33cos212-33sin212D.1-cos6025.设0,3,已知6sin +2cos =3.(1)求tan+6的值;(2)求cos2+712的值.6.已知2,且cos =-35.(1)求tan 的值;(2)求cos2sin2+1的值.7.设,(0,),且sin(+)=513,tan2+4=3.(1)求cos 的值;(2)求cos 的值.8.在tan =43,7sin 2=2sin ,cos2=277这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并解决问题.已知0,2,

5、0,2,cos(+)=-13,求cos .题组二三角函数式的化简与证明问题9.若20,由半角公式可得sin =1-cos22=31010.2.C 原式=cos210-sin210cos35(cos10-sin10)=cos10+sin10cos35=2cos35cos35=2.3.答案2解析由题意得sin2-cos22=15,即1-sin =15,sin =45.450540,cos =-35,tan2=1-cossin=1-3545=2.4.解析(1)cos(-)=-cos =223,cos =-223.又(-,0),sin =-1-cos2=-13.(2)cos24-2+sin3+2sin

6、32-2=121+cos 2-+-sin2-cos2=12+12sin +sin2cos2=12+12sin +12sin =12+sin =12+-13=16.5.解析因为为钝角,为锐角,sin =45,sin =1213,所以cos =-35,cos =513.所以cos(-)=cos cos +sin sin =-35513+451213=3365.因为2,且02,所以0-.解法一:由0-可得,0-22,所以cos-2=1+cos(-)2=1+33652=76565,sin-2=1-cos2-2=46565.所以tan-2=sin-2cos-2=47.解法二:同解法一,求得cos -2=

7、76565.由0-0,cos 10,则1+sin2=sin 1+cos 1.7.答案2;1解析2cos2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x+1=2sin2x+4+1,A=2,b=1.8.答案cos 解析原式=2cos22+2sin2cos2sin2-cos24cos22=2cos2cos2+sin2sin2-cos22cos2=cos2sin22-cos22cos2=-cos2coscos2.因为180360,所以902180,所以cos20,所以原式=cos .9.证明由sin Acos2C2+sin Ccos2A2=32sin B,得sin A1+cosC2+sin C1+cos

8、A2=32sin B,即sin A+sin C+sin Acos C+cos Asin C=3sin B,sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B,sin A+sin C+sin(-B)=3sin B,即sin A+sin C+sin B=3sin B,sin A+sin C=2sin B.10.C由y=2sinx2cosx22cos2x2=tanx2,得最小正周期T=12=2.11.Cy=12sin 2x+sin2x=12sin 2x+1-cos2x2=12+22sin2x-4,函数的值域为12-22,12+22.12.By=sinx-6cos x=sin xcos 6cos

9、x-cos xsin 6cos x=32sin xcos x-12cos2x=34sin 2x-121+cos2x2=34sin 2x-14-14cos 2x=12sin2x-6-14,ymax=12-14=14.13.Bsin Asin B=cos2C2=12(1+cos C),即2sin Asin B=1+cos C=1-cos(A+B),2sin Asin B=1-cos Acos B+sin Asin B,变形得cos(A-B)=1,又因为A-B(-,),A-B=0,即A=B,不能说明ABC是直角三角形或等边三角形,则ABC是等腰三角形.14.解析(1)f(x)=sin2x-6+2co

10、s2x-1=sin 2xcos6-cos 2xsin6+cos 2x=32sin 2x+12cos 2x=sin2x+6.所以当2x+6=2k+2,kZ,即x=k+6,kZ时, f(x)max=1,相应x的取值集合为xx=k+6,kZ.(2)由(1)知f()=sin2+6=45.由42,得232+676,所以cos2+6=-35.因此cos 2=cos2+6-6=cos 2+6cos6+sin2+6sin6=-3532+4512=-33+410.能力提升练1.D由sin-2cossin+cos=2,可得tan-2tan+1=2,即tan =-4,所以sin 2=2sincossin2+cos2

11、=2tantan2+1=-817.2.Atan-4+tan 2=tan-11+tan+2tan1-tan2=2-11+2+221-4=13-43=-1,故选A.3.B依题意得sin 2=2sin cos =m2,又(sin +cos )2=1+2sin cos =1+m2=4m2,m2=13.由是第三象限角知,sin +cos =2m0,sin =1-cos2=45.sin(+)=513,且51345,sin(+)0,且(0,),可得0,2.(0,),+0,32.若+0,2,函数y=sin x在0,2上是增函数,且sin(+)sin ,+,即0,这与(0,)矛盾,+2,32,cos(+)=-1

12、-sin2(+)=-1213.cos =cos(+-)=cos(+)cos +sin(+)sin =-121335+51345=-1665.8.解析方案一:选条件.解法一:因为tan =43,所以sincos=43.则sin=43cos,sin2+cos2=1,解得sin=437,cos=17或sin=-437,cos=-17.因为0,2,所以sin=437,cos=17.因为cos(+)=-13,且sin2(+)+cos2(+)=1,所以sin2(+)=89.因为0,2,0,2,所以0+,所以sin(+)=223.所以cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =-1

13、317+223437=86-121.解法二:因为0,2,tan =43,所以点P(1,43)在角的终边上,所以cos =112+(43)2=17,sin =4312+(43)2=437.以下同解法一.方案二:选条件.因为7sin 2=2sin ,所以14sin cos =2sin .因为0,2,所以sin 0 ,所以cos =17.又因为sin2+cos2=1,所以sin2=4849.因为0,2,所以sin =437.以下同方案一的解法一.方案三:选条件.因为cos2=277,所以cos =2cos22-1=17.由sin2+cos2=1,得sin2=4849.因为0,2,所以sin =437

14、.以下同方案一的解法一.9.D2,42cos20.1-sin =sin22+cos22-2sin2cos2=sin2-cos22,12(1-cos )=sin22,1-sin-12(1-cos)=sin2-cos22-sin22=sin2-cos2-sin2=-cos2.10.CDA不符合,1-cos21+cos2=2sin22cos2=tan2=|tan |;B不符合,sin1+cos=2sin2cos22cos22=tan2;C符合,因为(0,),所以原式=1-cos221cos=sincos=tan ;D符合,1-cos2sin2=2sin22sincos=tan .故选CD.11.解析

15、 (1)cos215+cos215-3sin 15sin 15=2cos215-3sin215=1+cos 30-32(1-cos 30)=1+32-321-32=74.(2)推广:当+=30时,cos2+cos2-3sin sin =74.证明:+=30,=30-,cos2+cos2-3sin sin =cos2+cos2(30-)-3sin sin(30-)=cos2+32cos+12sin2-3sin 12cos-32sin=cos2+34cos2+32cos sin +14sin2-32cos sin +32sin2=74cos2+74sin2=74.12.D函数f(x)=sin x+

16、acos x=a2+1sin(x+),其中tan =a,-2,2,其图象关于直线x=6对称,所以+6=2,解得=3,所以tan =a=3,故选D.13.D选项A中,y=2sin2x+4,最小正周期为,故A错误;选项B中,y=12sin 4x,最小正周期为2,是奇函数,故B错误;选项C中,y=-sin 4x,最小正周期为2,是奇函数,故C错误;选项D中,y=-cos 4x,最小正周期为2,是偶函数,故选D.14.Cf(x)=2sin2 018x+4+cos2 018x-4=2sin 2 018x+2cos 2 018x+22cos 2 018x+22sin 2 018x=322cos2 018x

17、+22sin2 018x=3sin2 018x+4,A=f(x)max=3,周期T=22 018=1 009,又存在实数x1,x2,对任意实数x总有f(x1)f(x)f(x2)成立,f(x2)=f(x)max=3,f(x1)=f(x)min=-3,|x1-x2|的最小值为12T=2 018,又A=3,A|x1-x2|的最小值为32 018.故选C.15.AC易知f(x)=2sin6-2x=2sin2x+56,f(x)的最小正周期T=,A正确;令-2+2k2x+562+2k(kZ),得-23+kx-6+k(kZ),f(x)的单调递增区间为-23+k,-6+k(kZ),B错误;对称中心的横坐标满足

18、2x+56=k(kZ),x=k2-512(kZ),当k=1时,x=12,C正确; f512=2sin2512+56=-32,D错误.故选AC.16.答案 716解析设大正方形的边长为4,依题意得小正方形的边长为3.因此4cos -4sin =3cos -sin =34,4sin -4cos =3sin -cos =34.,得sin cos -sin sin -cos cos +sin cos =916.又sin =cos ,cos =sin ,sin2-(cos cos +sin sin )+cos2=916,cos(-)=1-916=716.思路探究利用几何图形找到等量关系是解题的突破口,将关系式进行适当的恒等变形是解题的关键.平时学习中要学会积累恒等变形的经验.17.解析(1)f(x)=2cos xsinx-3+3sin2x+sin xcos x=2cos x12sinx-32cosx+3sin2x+sin xcos x=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3,故f(x)的最小正周期为22=.(2)令2k-22x-32k+2,kZ,解得k-12xk+512,kZ,可得函数的单调递增区间为k-12,k+512,kZ.又x0,所以函数的单调递增区间为0,512,1112,单调递减区间为512,1112.