7.2 复数的四则运算-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）.docx

1、高一数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)7.2复数的四则运算【考点梳理】考点一复数加法与减法的运算法则1.设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，则(1)z1z2(ac)(bd)i；(2)z1z2(ac)(bd)i.2.对任意z1，z2，z3C，有(1)z1z2z2z1；(2)(z1z2)z3z1(z2z3).考点二复数加减法的几何意义如图，设复数z1，z2对应向量分别为，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1z2对应，向量与复数z1z2对应.考点三复数乘法的运算法则和运算律1.复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，d

2、R)是任意两个复数，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3考点四复数除法的法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，且cdi0)是任意两个复数，则i(cdi0).【题型归纳】题型一：复数的加减法的代数运算1（2021全国高一）计算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2（2021全国高一课时练习）计算：(1)；(2)；(3)题型二：复数加减法的几何意义3（2021全国高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若A

3、，C对应的复数分别为1i和43i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（ ）AB5C2D104（2020全国高一课时练习）在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为那么向量对应的复数是（）A1BCD5（2022全国高一）如图所示，已知复数，所对应的向量，它们的和为向量请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程题型三：复数代数形式的乘法除法运算6（2021重庆实验外国语学校高一阶段练习）设复数，满足，则（ ）A4BCD27（2021全国高一课时练习）已知，.求：(1)；(2)；(3)（n为正整数）；(4).8（2021全国高一）计算：(1)(2)(3)(4)题型四：复数范围内因式分解9（2

4、021全国高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)；(2)；(3).10（2021全国高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)(2)(3)(4)题型五：复数范围内解方程11（2021河北邯山区新思路学本文化辅导学校高一期中）已知复数，其中（1）若是纯虚数，求m的值（2）能否为某实系数一元二次方程的两个虚根？若能，求出m的值；若不能，请说明理由12（2021安徽安庆高一期末）已知是关于x的方程的一个根，其中为虚数单位（1）求的值；（2）记复数，求复数的模题型六：复数的平方根和立方根13（2020全国高一课时练习）设复数（i是虚数单位），则（ ）ABCD14（2021全国高一专题练习）设z1是

5、方程x26x250的一个根(1)求z1；(2)设z2ai(其中i为虚数单位，aR)，若z2的共轭复数z2满足|z13z2|125，求z22.题型七：复数的综合运算15（2021全国高一课）计算下列各题（1）；（2）2716 （2021全国高一）（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）.17（2021全国高一单元测试）为虚数单位，且是纯虚数，（1）求的取值范围；（2）若，求的最小值.【双基达标】一、单选题18（2022全国高一）设复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数（ ）ABCD19（2022全国高一）已知为虚数单位，则复数可化简为（ ）ABCD20（2022全国高一）设复数，满足，则的最

6、大值是（ ）A2BC4D21（2021全国高一课时练习）若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（ ）.ABCD22（2021全国高一课时练习）若是纯虚数，满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限23（2021全国高一课时练习）已知是虚数单位，复数的共轭复数为，下列说法正确的是（ ）A如果，则，互为共轭复数B如果复数，满足，则C如果，则D24（2021山东邹城高一期中）1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著重要的艺术一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为和，数系扩

7、充后这两个根分别记为和若，则复数（ ）ABCD【高分突破】一：单选题25（2021云南昆明市外国语学校高一阶段练习）已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）A复数z的模为B复数z的共轭复数为C复数z的虚部为D复数z在复平面内对应的点在第一象限26（2021云南省大姚县第一中学高一阶段练习）已知复数，复平面内，复数与所对应的点关于原点对称，与关于实轴对称，则（ ）AB7CD2527（2021河北沧州市一中高一阶段练习）为虚数单位，复数，则的虚部为（ ）ABCD28（2020全国高一课时练习）设的实部与虚部相等，其中为实数，则A3B2C2D329（2021全国高一课时练习）已知是虚数

8、单位，则复数对应的点所在的象限是（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限30（2020全国高一课时练习）已知复数在复平面内的对应点关于实轴对称，（为虚数单位），则ABCD31（2021全国高一课时练习）已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（ ）A的共轭复数为B的虚部为CD在复平面内对应的点在第一象限32（2021湖北武汉市第四十九中学高一阶段练习）复数，则（ ）ABCD1二、多选题33（2021河北武安市第一中学高一阶段练习）已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）AB复数的虚部为C若，则复平面内对应的点位于第二象限D已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线34（

9、2021全国高一课时练习）已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）A若复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上B若复数z满足，则复数C复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则35（2021全国高一单元测试）下列说法正确的是（）A若，则B若复数，满足，则C若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等D“”是“复数是虚数”的必要不充分条件36（2021湖北随州市第一中学高一期中）设，为复数，且，下列命题中正确的是（ ）A若，则B若，则的实部与的虚部互为相反数C若为纯虚数，则为实数D若，则，在复平面内对应的

10、点不可能在同一象限37（2021河北武安市第一中学高一阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）A若互为共轭复数，则为实数B若i为虚数单位，n为正整数，则C复数的共轭复数为D若m为实数，i为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件38（2021江苏高一期末）1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ）ABCD三、填空题39（2021河北博野县实验中学高一阶段练习）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_.40（2021上海高一单元测

11、试）如果z，那么z100z501_.41（2021河北藁城新冀明中学高一阶段练习）已知复数z满足等式，则的最大值为_42（2021全国高一课时练习）复平面上点对应着复数以及向量，对于复数，下列命题都成立；若非零复数，满足，则.则对于非零向量仍然成立的命题的所有序号是_.四、解答题43（2021上海高一课时练习）已知复数zai(a0，aR)，i为虚数单位，且复数为实数.（1）求复数z；（2）在复平面内，若复数(mz)2对应的点在第一象限，求实数m的取值范围.44（2021上海高一课时练习）已知复数.（1）若在复平面中所对应的点在直线上，求的值；（2）求的取值范围.45（2021上海高一单元测试）

12、已知复数、满足、，且，求与的值.46（2019山东胶州市实验中学高一期中）已知复数w满足为虚数单位，求z；若中的z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根47（2021全国高一课时练习）已知复数z满足：z23+4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限.（1）求复数z；（2）设aR，且，求实数a的值.48（2021江苏省苏州实验中学高一期中）设是虚数是实数，且（1）求的值及的实部的取值范围（2）设，求证：为纯虚数；（3）求的最小值【答案详解】1(1)(2)(3)(4)(5)(6)【解析】(1)(2)(3)(4)(5)(6).2(1)(2)(3)(1)解：由复数的运算法则，可得.(

13、2)解：由复数的运算法则，可得.(3)由的运算规律及方法，可得.3B【解析】【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出【详解】依题意，对应的复数为(43i)(1i)34i，因此AC的长度为|34i|5.故选：B4D【解析】【详解】=-=（）=，故选D.5答案见解析【解析】【分析】由向量加法的坐标表示可得复数加法过程【详解】，对应的两个复数相加的运算过程：6C【解析】【分析】先设出复数的代数形式，然后结合已知利用复数的四则运算及复数的模长公式可求得结果【详解】设，因为复数，满足，所以，所以，所以，所以，故选：C7(1)(2)(3)(4)i【解析】【分析】（

14、1）根据复数的加减法和乘法运算规则计算得出结果；（2）根据复数的四则运算规则计算得出结果；（3）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果；（4）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果.(1)根据复数的加减法和乘法运算规则得，.(2)根据复数的四则运算规则得，.(3)根据复数的乘方及四则运算规则得，(4)根据复数的乘方及四则运算规则得，8(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】（1）利用复数的乘方运算即可求解.（2）利用复数的乘法运算即可求解.（3）利用复数的乘法运算即可求解.（4）利用复数的乘方以及乘法运算即可求解.(1)(2)(3)(4)9(1)(2)(3)【解析】【分析】利用完全平方公式

15、平方差公式将所给的表达式分解因式.(1)(2)(3) 10(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】注意,利用配方法和十字叉乘法，结合共轭复数的运算即可在复数范围内分解因式.(1);(2);(3);(4)11（1）；（2）当时，能为某实系数一元二次方程的两个虚根【解析】【分析】（1）先求得关于的表达形式，然后根据纯虚数的概念列出方程组，求解即得；（2）根据实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭，其实部相等虚部互为相反数，得到方程组求解即得.【详解】（1）依题意，所以因为是纯虚数，所以解得（2）假设是实系数一元二次方程的两个虚根，因为方程的两个虚根为，所以互为共轭复数，于是，从而解得故当时，能为某实

16、系数一元二次方程的两个虚根12（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件可得，然后结合复数相等的条件得到方程组，解方程组即可求出结果；（2）由（1）可以求出复数，然后结合复数的除法运算以及模长公式即可求出结果.【详解】（1）根据条件可将代入方程，整理得，所以，解得（2）由（1）可知，所以于是，因此复数的模为.13C【解析】由，可求出，,代入原式计算即可.【详解】解：由题意知，原式.故选：C【点睛】本题主要考查复数的基本运算，属于基础题.14（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接利用实系数一元二次方程的求根公式求解；（2）由z2=a+i得其共轭复数，把z1及 代入|z13z2|12

17、5，整理后求解a的值，代入z2=a+i后求解z22【详解】(1)因为6242564，所以z134i或z134i.(2)由|z(ai)|125，得125125，所以a2.当a2时，z(2i)234i；当a2时，z(2i)234i.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，训练了实系数一元二次方程虚根的求法，考查了复数模的求法，考查了学生的计算能力，是基础题15（1）；（2）14i【解析】【分析】运用复数的运算法则进行计算即可.【详解】（1）原式（2）原式16（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【解析】【分析】根据复数四则运算法则计算、化简即可求得结果.【详解】（1），又，；（2）；（

18、3）；（4），；（5）；（6）.17（1）；（2）最小值为.【解析】（1）先利用是纯虚数得到或，再分两种情况讨论即可得出结果；（2）由（1）及可得，分别求出复数，代入，利用基本不等式求解即可.【详解】（1），因为为纯虚数，所以且，所以或，当时，当时，所以，综上：.（2）由（1）或，又，所以，由题意知，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.【点睛】关键点睛：本题考查有关复数的问题以及基本不等式求最值问题.熟练掌握复数运算法则以及模的求法是解决本题的关键.18D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】由，得，故选：D19A【解析】【分析】利用复数的四则运算即可求解.【

19、详解】.故选：A20B【解析】【分析】设，其中a，b，c，d都是实数，由复数的运算建立方程组，求解得，从而可得选项.【详解】解：设，其中a，b，c，d都是实数，所以，.又，所以，所以，.由+-2，得，所以，.所以，由知，故.故选：B.21B【解析】【分析】设方程为，根据韦达定理分别将用表示，即可得出答案.【详解】解：设方程为，则，所以，所以，则方程为，故只有B选项符合题意.故选：B.22D【解析】【分析】化简求出a再求解即可【详解】是纯虚数，故 此时 ，所以，即，所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限.故选：D23D【解析】【分析】对于A，举反例，可判断；对于B，设，代入验证可判断；对于C，

20、举反例可判断；对于D，设，代入可验证.【详解】对于A，设，但，不互为共轭复数，故错误；对于B，设（，），（，）由，得，则，而不一定等于，故错误；对于C，当时，有，故错误；对于D，设，则，正确故选：24C【解析】【分析】利用复数除法运算求得.【详解】由，得故选：C25D【解析】【分析】利用复数的乘方和除法运算化简得到复数z，再逐项判断.【详解】因为，所以，A.复数z的模为，故错误；B.复数z的共轭复数为，故错误；C.复数z的虚部为，故错误；D.复数z在复平面内对应的点为，所以在第一象限，故正确；故选：D26C【解析】【分析】根据复数的几何意义可得，进而可得，结合复数形式的乘法运算计算即可.【详解

21、】因为，得对应的点为，又复数与对应点关于原点对称，故的对应点为，所以，又复数与关于实轴对称，所以，所以.故选：C27B【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据虚部的定义即可求解.【详解】，所以的虚部为，故选：B.28A【解析】【详解】试题分析：，由已知，得，解得，选A.【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.29D【解析】【分析

22、】先化简，再利用复数的除法化简得解.【详解】.所以复数对应的点在第四象限，故选：D【点睛】结论点睛：复数对应的点为，点在第几象限，复数对应的点就在第几象限.30A【解析】【分析】由题意，求得，则，再根据复数的除法运算，即可求解【详解】由题意，复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则，则根据复数的运算，得.故选A.【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题31D【解析】利用复数的除法运算，化简，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可.【详解】，的共扼复数为，的虚部为，在复平面内对应的

23、点为，在第一象限.故选：D.【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.32C【解析】【分析】根据复数的运算法则，结合复数的除法运算，即可求解.【详解】由题意，复数，可得，所以.故选：C.33AD【解析】【分析】根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，故A选项正确.B选项，的虚部为，故B选项错误.C选项，对应坐标为在第三象限，故C选项错误.D选项，表示到和两点的距离相等，故的轨迹是线段的垂直平分线，故D选项正确.故选：AD34CD【解析】根据复数减法的模的几何意义，判断A选项的正确性.设，结合求得，

24、由此判断B选项的正确性.根据复数模的定义判断C选项的正确性.根据复数加法、减法的模的几何意义，判断D选项的正确性.【详解】满足的复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上，A错误；在B中，设，则.由，得，解得，B错误；由复数的模的定义知C正确；由的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确.故选：CD【点睛】本小题主要考查复数模的运算以及复数加法、减法的模的几何意义，属于基础题.35AD【解析】由求得判断A；设出，证明在满足时，不一定有判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确.【详解】若，则，故A正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B错误；当时为纯虚数，其实部

25、和虚部不相等，故C错误；若复数是虚数，则，即所以“”是“复数是虚数”的必要不充分条件，故D正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.36BD【解析】【分析】根据复数的模扱共轭复数的概念判断A，由复数的加减法法则和分类判断C，结合复数的乘法法则及复数的概念、几何意义判断BD，【详解】若，如，不共轭；若为纯虚数，则，的实部互为相反数，而虚部不一定相等，所以不一定为实数，故A，C错误；令，若，则，所以，故B正确；若，则.如果，在复平面内对应的点在同一象限，那么，同号，不可能使得，故D正确.故选：BD37AD【解析】【分析】根据复数的概念与运算法则

26、判断各选项【详解】设，所以A正确；，所以B错；，所以共轭复数为，所以C错；复数在复平面内对应的点位于第四象限的充要条件是，即，所以D正确，故选：AD38ABD【解析】【分析】根据可判断ABD，根据复数的乘法运算可判断C.【详解】因为所以，故A正确，故B正确，故C错误，故D正确故选：ABD392.【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.【详解】，令得.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.40【解析】【分析】先求出复数，计算出后可求的值.【详解】因为，故，所以，故，故，故答案为：.【点睛】知

27、识点睛：对任意的，若，则，若，则，若，则，若，则.41【解析】【分析】由题意画出图形，数形结合得答案【详解】|z1i|1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹，如图：|z3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z3|的最大值为故答案为【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题42【解析】【分析】根据平面向量加法交换律判定；结合平面向量加法运算法则判定；由判定；结合平面向量数量积判定；结合平面向量数量积判定.【详解】解：成立，故正确；由平面向量加法运算法则可得，故正确；成立，故正确；，故不成立，若非零向量，满足，则，则，所以不一定成立，故

28、不成立.故答案为：43（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用复数的四则运算以及复数的分类即求解.（2）利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】（1）因为zai(a0)，所以zaiaiai，由于复数z为实数，所以10，因为a0，解得a1，因此，z1i.（2）由题意(mz)2(m1i)2(m1)212(m1)i(m22m)2(m1)i，由于复数(mz)2对应的点在第一象限，则，解得m0.因此，实数m的取值范围是(0，).44（1）；（2）.【解析】（1）化简，得在复平面中所对应的点的坐标，代入直线计算；（2）代入模长公式表示出，再利用二次函数的性质求解最值即可.【详解】（1）化简

29、得，所以在复平面中所对应的点的坐标为，在直线上，所以，得.（2），因为，且，所以，所以的取值范围为.45，.【解析】设复数、在复平面上对应的点为、，从模长入手，可以得到，进而得到以、为邻边的平行四边形是矩形.【详解】设复数、在复平面上对应的点为、，由于，故， 故以、为邻边的平行四边形是矩形，从而，则，.【点睛】本题的易错点在，原因是可以交换位置，所以这个取正负值均可.46（1）（2），【解析】【分析】利用复数的运算计算出w，代入z即可得出把代入关于x的方程，利用复数相等解出p，q，即可得出【详解】 ，是关于x的方程的一个根，q为实数，解得，解方程，得实数，方程的另一个根为【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题47（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设zc+di（c，dR），再由z23+4i求解；（2）根据2+i，求得，由求解.【详解】（1）设zc+di（c，dR），则z2（c+di）2c2d2+2cdi3+4i，解得或（舍去），z2i；（2）2+i，解得48（1）；（2）见解析；（3） 1.【解析】【详解】（1）因为z是虚数,可设z=x+yiR,且、ii可得，此时，；从而证明u是纯虚数；（2）；（3）i，然后化简和计算得到