7.2 离散型随机变量及其分布列-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）.docx

1、高二数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第三册)第七章 随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列【考点梳理】知识点一随机变量的概念、表示及特征1概念：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数X()与之对应，我们称X为随机变量2表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.3特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点(2)所有可能取值是明确的知识点二离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量知识点三离散型随机

2、变量的分布列及其性质1定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(Xxi)pi，i1,2,3，n为X的概率分布列，简称分布列2分布列的性质(1)pi0，i1,2，n.(2)p1p2pn1.知识点四两点分布如果P(A)p，则P()1p，那么X的分布列为X01P1pp我们称X服从两点分布或01分布【题型归纳】题型一、随机变量的概念及分类1判断下列变量是否是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.（1）某市医院明天接到120急救电话的次数；（2）公交车司机下周一收取的费用；（3）某单位下个月的用水量；（4）某家庭上个月的电话费.2给出下列各量：某机场候

3、机室中一天的游客数量；某寻呼台一天内收到的寻呼次数；某同学离开自己学校的距离；将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；体积为8的正方体的棱长.其中是离散型随机变量的是（）ABCD题型二、求离散型随机变量的分布列3甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、.记甲同学三个项目中通过考试的个数为，求随机变量的分布列.4从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数的分布列题型三、分布列的性质及应用5设随机变量X的分布列为P(Xk)m(k1，2，3)，则m的值为（）ABCD6若离散型随机

4、变量的分布列为：01则的值为（）A0BCD1【双基达标】1甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局用表示甲的得分，则表示（）A甲赢三局B甲赢一局输两局C甲、乙平局三次D甲赢一局输两局或甲、乙平局三次2如图所示是离散型随机变量X的概率分布直观图，则（）A0.1B0.12C0.15D0.183袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（）ABCD4一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于

5、6分的概率是（）ABCD5设随机变量的分布列为，则等于（）ABCD6设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3若随机变量，则等于（）A0.3B0.4C0.6D0.77下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（）A抛掷一枚骰子，所得点数B某射击手射击一次，击中目标的次数C从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设D某医生做一次手术，手术成功的次数8已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，在这些抛物线中，记随机变量，则（）ABCD9(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（）X101PabcAaBbCcDP(|X|1)1

6、0设随机变量的分布列为，则 ABCD11某篮球运动员在一次投篮训练中的得分的分布列如下表，其中，且，023则这名运动员得3分的概率是_.12已知随机变量的分布列为：P若，则实数的最小值为_.13设离散型随机变量的分布列为012340.20.10.10.3试求：(1)的分布列；(2)的分布列.14同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X(1)写出X的分布列；(2)求；(3)求“点数和大于9”的概率15某校组织冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学（1）求的分布列；（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率

7、16某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得分，答错得分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分（1）求的分布列；（2）求甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率【高分突破】1已知集合，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（）ABCD42一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随

8、机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为,则随机变量的所有可能取值的种数为()A20B24C4D183随机变量的分布列如下表，其中，且，则（）246ABCD4若离散型随机变量的分布列如下则的最大值为（）ABCD5在某校篮球队的首轮选拔测试中,参加测试的五名同学的投篮命中率分别为,每人均有10次投篮机会,至少投中6次才能晋级下一轮测试,假设每人每次投篮相互独立,则晋级下一轮的人数大约为()A2人B3人C4人D5人6随机变量的分布列为，为常数，则的值为()ABCD7已知为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；

9、当两条棱异面时，则下列结论正确的是（）A共有24对相交棱BCD8某电视台的一档栏目推出有奖猜歌名活动，规则：根据歌曲的主旋律制作的铃声来猜歌名，猜对当前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名.现推送三首歌曲，给某选手，已知该选手猜对每首歌曲的歌名相互独立，且猜对三首歌曲的歌名的概率以及猜对获得相应的奖金如下表所示.歌曲猜对的概率0.80.60.4获得的奖金金额/元100020003000下列猜歌顺序中获得奖金金额的均值超过2000元的是（）ABCD9在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个

10、小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以表示笼内还剩下的果蝇的只数，则_.10在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次（若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”如137,359,567等)得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分已知某同学甲参加活动，求甲得分X的分布列11第24届冬季奥林匹克运动会（TheXXIVOlympic Winter Games），即2022年北京冬季奥

11、运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，求p的值；(3)在（2）的条件下，设进

12、入决赛的人数为，求的分布列【答案详解】【题型归纳】1（1）是随机变量，是离散型随机变量；（2）是随机变量，是离散型随机变量；（3）是随机变量，不是离散型随机变量；（4）不是随机变量.【详解】（1）的取值，随各种原因的变化而变化，可能为0，1，2，是随机变量，也是离散型随机变量；（2）的取值随乘客的数量变化而变化，是随机变量，也是离散型随机变量.（3）的取值，随各种原因的变化而变化，可能取0，)内某一区间上的所有值，无法一一列出，是随机变量，但不是离散型随机变量.（4）的取值是一个定值，故不是随机变量.2A【详解】由题意，是离散型随机变量，是连续型随机变量，中体积为8的正方体的棱长是一个常量，不

13、是随机变量.故选：A.3分布列见解析【详解】随机变量的可能取值为、，.所以，随机变量的分布列如下表所示：4(1)；(2)0123【详解】(1)所选3人中恰有一名男生的概率； (2) 的可能取值为0,1,2,3.的分布列为:01235B【详解】由分布列的性质得故选：B6B【详解】由题意知，解得或（舍去）故选：B【双基达标】1D【详解】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次故选：D2C【详解】由题意，解得故选：C3B【详解】根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到

14、黑球，第5次取到了红球，故.故选：B.4A【详解】记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，因为，所以.故选：A.5C【详解】由题意知，概率分布为由，解得.所以.故选:C.6A【详解】因为，所以或.故选：A7A【详解】对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数的取值范围为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布； 对于选项B，射击手射击一次，有击中或者不击中目标两种可能的结果，B中的随机变量服从两点分布；对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布；对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D中的随机变量服从两点分布.故选A

15、.8A【详解】由于抛物线的对称轴在y轴左侧，所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，所以共有种不同的情况因为，所以的取值范围是，其中的可能情况为且，所以，的可能情况为且，所以，的可能情况为且，所以，所以故选：A9BD【详解】由题意得：a，b，c成等差数列2bac.由分布列的性质得abc3b1.故B、D正确；因为题目中未给出a与c的关系，本题我们只知道，故无法求出a与c的值，故A、C错误；故选：BD10ABC【详解】随机变量的分布列为,， 解得，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故答案为：A、B、C.11【详解】由分布列的性质知，且，都是非负数，因为由题知，所以三个方程联立成

16、方程组，可解得，所以得3分的概率是.故答案为：124【详解】由题意，可得，解得，由随机变量的分布列可知，的可能取值为，可得，因为，所以的取值范围为，则实数的最小值为4.故答案为：4.13(1)分布列见解析(2)分布列见解析【详解】(1)由分布列的性质知，所以.列表为012341357910123的分布列为135790.20.10.10.30.3(2)的分布列为01230.10.30.30.314(1)答案见解析(2)(3)【详解】(1)由题意的可能值依次为，两枚骰子的点数和列表如下（第一行是一个骰子的点数，第一列是另一个骰子的点数，其他格子中为两个骰子点数和，共36个：123456123456

17、723456783456789456789105678910116789101112由表可得，的分布列如下：23456789101112(2)；(3)15（1）分布列见解析；（2）【详解】（1）可取0123（2）设“去执行任务的同学中有男有女”为事件，则.16（1）分布列见解析；（2）【详解】（1）由题意知,的可能取值为由于乙队人答对的概率分别为,的分布列为:（2）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”,表示“甲队得分等于乙队得分等于”, 可知互斥, 又,则甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率为【高分突破】1C【详解】根据题意，从集合中任取3个不同的元素有4种：，其中最小的元素取值分别为，从

18、集合中任取3个不同的元素有10种：，其中最大的元素的取值分别为，由，随机变量的取值为，故对应，故选：C.2B【详解】由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有(种).故选B.3C【详解】由分布列可得，又，则，由，即，即所以，所以 所以故选：C4D【详解】由题意，即，显然，所以，它在上是减函数，所以时，故选：D5B【详解】5名同学投篮各10次，相当于做了10次独立重复事件，他们投中的次数服从二项分布，则他们投中的期望分别为故晋级下一轮大约有3人，故选B6B【详解】由题意，即，所以故选B7AC【详解】若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1

19、个顶点恰有3条棱，所以共有对相交棱，因此，故A正确，B错误；若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故，于是 ，故C正确，D错误故选：AC8AD【详解】根据规则，该选手获得奖金总额为.按的顺序进行，则该选手获得奖金总额为的可能取值有四种情况：，.概率分布表为01000300060000.20.320.2880.192.故A正确.同理，按的顺序猜获得奖金金额的均值为1872元，故B错误.按的顺序猜获得奖金金额的均值为1904元，故C错误.按的顺序猜获得奖金金额的均值为2112元，故D正确.故选：AD9【详解】根据题意，的可能取值为只考虑飞出的两只苍蝇，记“笼内还剩下只果蝇”为事件，当事件发生时，共飞走只果蝇，第只飞出的是苍蝇，且在前只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以， 故答案为：10见解析.【详解】由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，1,1，所以X的分布列为X011P11(1)甲进入决赛可能性最大(2)(3)分布列见解析【详解】(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：， 甲进入决赛可能性最大(2) 整理得，解得或，又，；(3)由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，进入决赛的人数为可能取值为， ，的分布列为0123P