8.6.3 平面与平面垂直(透课堂）-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第二册）.docx

1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)8.6.3平面与平面垂直【知识导学】考点一二面角的概念1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面.3.画法：4.记法：二面角l或二面角AB或二面角PlQ或二面角PABQ.5.二面角的平面角：(1)若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB.(2)二面角的平面角的取值范围是0180.平面角是直角的二面角叫做直二面角.考点二平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面

2、角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)画法：(3)记作：.2.平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号语言l，l图形语言考点三平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言，l，a，ala图形语言【考题透析】透析题组一：平面与平面垂直的判定1（2021江西九江市第三中学高一期中（理）如图，在四形边中，将沿折起，使平面，构成三棱锥则在三棱锥中，下列结论正确的是（） A平面B平面C平面平面D平面平面2（2022全国高一单元测试）如图所示，矩形所在平面与半圆弧所在平面

3、垂直，是弧上异于、的点.(1)证明：平面平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？说明理由.3（2021陕西西安高级中学高一）如图所示，四棱锥的底面是边长为4的菱形，为的中点.求证：(1)直线平面；(2)平面平面.透析题组二：平面与平面垂直的性质定理4（2021全国高一课时练习）已知三个不同的平面，和三条不重合的直线，则下列说法错误的是（）A若，且，则B若，则C若，则D若，则5（2021全国高一课前预习）如图，平面平面，四边形为矩形，和均为等腰直角三角形，且.（1）求证：平面平面；（2）若点为线段上任意一点，求证：平面.6（2022全国高一）如图，在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，且（1）求证

4、：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值透析题组三：二面角的求法7（2021天津河东高一期末）如图，在三棱锥中，平面，则二面角的平面角是（）A90B60C45D308（2022陕西西安建筑科技大学附属中学高一期末）如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PAAC，ABBC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：平面BDE平面PAC；(2)求二面角PBCA的平面角的大小.9（2021天津高一期末）如图，平面四边形中，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且.（1）若为棱中点，求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的平面角的正弦值.透析题组四：已知二面角的大小求

5、线段距离或长度10（2021全国高一课时练习）如图，二面角-l-的大小是60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是（）ABCD11（2021江苏高一专题练习）如图，菱形的边长为，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（）ABCD12（2020安徽宣城高一阶段练习（理）如图，在体积为的四棱锥中，底面ABCD为边长为2的正方形，为等边三角形，二面角为锐角，则四棱锥外接球的半径为（）ABCD透析题组五：已知二面角的大小求异面直线所成的角13（2021福建高一期中）如图，已知等边与等边所在平面成锐二面角，E，F分别为，中点，则异面

6、直线与所成角的余弦值为（）ABCD14（2020黑龙江哈师大附中高一期末）矩形ABCD中，AB2，AD1，E，F分别是边AB，CD的中点，将正方形ADFE沿EF折到A1D1FE位置，使得二面角A1EFB的大小为120，则异面直线A1F与CE所成角的余弦值为（）ABCD15（2020浙江高一期末）已知二面角为，为垂足，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【考点同练】一、单选题16（2022陕西宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知两条直线及两个平面，以下说法中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则17（2021广东广州高一期末）设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题

7、正确的是（）A，则B，则C，则D，则18（2021广东仲元中学高一期末）如图，把两个完全相同的直三角尺，斜边重合，沿其斜边折叠形成一个120的二面角，其中，且，则空间四边形外接球的表面积为（）ABCD19（2021全国高一）设m，n为两个不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中不正确的是（）A若，则B当m与平行时，若m与n不平行，则n与不平行C若，点，点，则D若，则20（2021全国高一课前预习）设，是两个不重合的平面，是两条直线，下列命题中，真命题是（）A若，则B若，则C若，则D若，则21（2021全国高一单元测试）给定下列四个命题：若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；若一个平面经

8、过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是（）A和B和C和D和22（2021全国高一课前预习）如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则以下四个结论中正确的个数为（）；是等边三角形；与所成的角为；与平面所成的角为A1个B2个C3个D4个23（2021吉林长岭县第三中学高一阶段练习）如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足.设，则的取值范围是（）ABCD二、解答题24（2022湖南高一课时练习）如图，三棱锥中，平

9、面平面ABC，点D，E在线段AC上，且，点F在线段AB上，且求证：平面PFE25（2022陕西西安高一阶段练习）如图，四棱锥的底面为矩形，.(1)证明：平面平面.(2)若，求点到平面的距离.26（2021陕西西安高级中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中，侧面平面，侧棱，底面是直角梯形，其中是上一点.(1)若平面，求；(2)求证：平面平面.27（2021黑龙江鸡西高一期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，平面ABCD，点E是棱PC上的一点.(1)证明：平面平面PBC；(2)是否存在一点E，使得平面BDE？若存在，请说明点E的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；(3)若三棱锥的体积是，

10、求点D到平面PAB的距离.28（2021陕西省宝鸡市长岭中学高一）如图，在三棱锥中，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点. (1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的大小；(3)当平面时，求三棱锥的体积【答案精讲】1D【详解】对于A，在等腰直角中，与不垂直，所以和平面不垂直，故A错误；对于B，在等腰直角中，与不垂直，所以和平面不垂直，故B错误；对于C，当平面时，通过直观想象可知平面和平面所成的二面角为锐角，所以平面和平面不垂直，故C错误；对于D，因为平面，平面，所以.，在等腰直角中，又因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故D正确.故选:D2(1)由题意可知，平面平面，平面平面，平

11、面，平面，平面，是弧上异于、的点，且为直径，又，平面，平面，又平面，平面平面；(2)存在点，且当为的中点时，平面，证明如下：连接、交于点，连接、，四边形为矩形，为中点，为的中点，又平面， 平面，平面.3(1)证明：因为四棱锥的底面是边长为4的菱形，所以，又，所以直线平面；(2)如图所示：，连接AC与BD交于点O，连接OE，因为O，E为中点，所以OE/PC，所以线平面，又平面EDB，所以平面平面.4C【详解】对于A，若，且，设，则，且，故，故A正确；对于B，又，故B正确；对于C，若，则或异面，故C错误；对于D，若，则，又，故D正确.故选：C5【详解】（1）因为为矩形，所以，又因为平面平面，平面，

12、平面平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，即，且、平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面；（2）因为，平面，平面，所以平面.因为和均为等腰直角三角形，且，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面.又因为平面，所以平面.6【详解】（1）证明：分别为中点，为的中位线，且，又F为中点，为的中位线，又，又，平面又平面，所以平面平面（2）由（1）知平面，又平面，平面平面因为为中点，又平面平面，所以平面为直线与平面所成角，在直角中，所以【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；证，证明所作的角为直线与平面所成的角

13、，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.7A【解析】【分析】由平面可得，再由，故为所求二面角【详解】解：平面，平面，平面，因为，所以，为二面角的平面角，二面角为直二面角故选：8(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，证明，再根据线面垂直的判定定理可得平面PAC，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面，则有，从而可得即为二面角PBCA的平面角，从而可得出答案.(1)证明：因为PAAB，PAAC，所以

14、平面，又因平面，所以，因为D为线段AC的中点，所以，又，所以平面PAC，又因为平面BDE，所以平面BDE平面PAC；(2)解：由（1）得平面，又平面，所以，因为ABBC，所以平面，因为平面，所以，所以即为二面角PBCA的平面角，在中，所以，所以，即二面角PBCA的平面角的大小为.9（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证明出即为异面直线与所成的角，分别求出NE、EC、CM，在中，由余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值；（2）直接利用面面垂直的判定定理证明平面平面；（3）解：在平面内，过点P作于F，连接，证明出即为二面角的平面角，求出，在中，可以求出二面角的平面

15、角的正弦值.【详解】（1）解：取的中点，连接，因为为的中点，则，则即为异面直线与所成的角，在中，则，所以为直角三角形，则，在中，由余弦定理可得，故异面直线与所成角的余弦值为；（2）证明：由（1）可知，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（3）解：在平面内，过点P作于F，连接，由（2）可知，平面平面，又平面平面，所以平面，因为，由三垂线定理可得，则即为二面角的平面角，在中，由余弦定理可得，在中，所以，在等腰中，在中，故二面角的平面角的正弦值为.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果

16、求体积（或求距离），常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法.10C【解析】【分析】作AO于O，ACl于C，连接OB，OC，则,设AB与所成的角为，则ABO，解三角形得解.【详解】如图，作AO于O，ACl于C，连接OB，OC，则OCl则,设AB与所成的角为，则ABO，由图得sinsin30sin60故选：C【点睛】方法点睛：求空间的角常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法.要根据已知条件灵活选择方法求解.11D【解析】【分析】取的中点，连接、，可得出二面角的平面角为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设，计算出、，利用勾股定理求得，即为四面体

17、的外接球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】取的中点，连接、，因为、都是边长为的等边三角形，且为的中点，则，所以，二面角的平面角为，且，设、分别为、的外心，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设，易知，同理可得，平面，平面，同理可得，所以，四边形是边长为的正方形，由正弦定理可得，因此，四面体的外接球的表面积为.故选：D.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要

18、使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.12A【解析】【分析】取AB的中点E，CD的中点F，连E、PF、EF，过点P作，易得平面PEF，平面ABCD，根据四棱锥的体积为，得到，进而得到，然后利用截面圆的性质求得外接球的球心再求半径即可.【详解】如图所示： 取AB的中点E，CD的中点F，连E、PF、EF，过点P作，垂足为H.则、，有，所以平面PEF，所以，又，所以平面ABCD，因为四棱锥的体积为，所以，解得，由，得，.三角形PEF的平面图如下：，N为EF的中点，由

19、图可知四棱锥外接球的球心O为过点M的EP的垂线1和EF的中垂线的交点，设四棱锥外接球的半径为R，.故选：A【点睛】本题主要考查四棱锥的结构特征和外接球问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.13C【解析】【分析】连接，根据面面角可得，再利用余弦定理即可求解.【详解】连接，等边与等边所在平面成锐二面角，可得，设等边与等边的边长为，则，即为等边三角形， 所以，因为E，F分别为，中点，所以，异面直线与所成角即为所成的角，在中，.故选：C14D【解析】【分析】连接，可得为异面直线A1F与CE所成的角，然后在中，利用余弦定理可求出结果.【详解】解：连接，因为在矩形ABCD中，E，F分别是边A

20、B，CD的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以为异面直线A1F与CE所成的角，由已知条件得，因为，所以为二面角A1EFB的平面角，即，所以，则为等边三角形，所以，在中，由余弦定理得，故选：D【点睛】此题考查了二面角、异面直线所成的角，考查了余弦定理，考查了计算能力，属于中档题.15B【解析】作出图形，设，然后以、为邻边作平行四边形，可知为二面角的平面角，异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，利用余弦定理计算出，即可得解.【详解】如下图所示：设，以、为邻边作平行四边形，在平面内，则，所以，为二面角的平面角，即，为等边三角形，则，四边形为平行四边形，即，平面，平面，则，在平行四边形

21、中，且，所以，异面直线与所成角为或其补角，在中，由余弦定理可得.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角16C【解析】【分析】根据线面平行、线线平行的性质可判断AB，根据直线与平面垂直的判定定理可判断CD

22、.【详解】对于A，则可能平行、相交、异面，故错误；对于B，则在平面内或，故错误；对于C，由，可得，又，所以，故正确；对于D，由C可知，得不到，故错误.故选：C17B【解析】【分析】A. 利用直线与平面的位置关系判断； B.利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理判断；C.利用直线与直线的位置关系判断；D.利用平面与平面的位置关系判断.【详解】A. ，则或，故错误；B. 过直线a作平面，有，因为，所以，又因为，所以，所以，故正确C. ，则或a，b异面，故错误；D. ，则或相交，故错误；故选：B18B【解析】【分析】过点作于，连接，证得为二面角的平面角，进而求出的长度，然后取的中点,证得为空间四

23、边形外接球的球心，从而可知为球直径，从而结合球的表面积的公式即可求出结果.【详解】过点作于，连接，由于和全等，所以，所以为二面角的平面角，即，在中，结合余弦定理得，即，因此，因为，所以，在中，从而，在中，又因为，所以，取的中点，连接，由于是和的斜边，所以，故为空间四边形外接球的球心，为球直径，所以空间四边形外接球的半径为，所以空间四边形外接球的表面积为，故选：B.19B【解析】【分析】由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可判断A；由面面平行的性质定理可判断B；由面面垂直的性质定理可判断C；由面面平行的性质定理可判断D【详解】对于A，由，可得，又，则，故A正确；对于B，过作平面，使得，则内的

24、任一条直线都与平行，故B错误；对于C，若，点点，点，由面面垂直的性质定理可得，故C正确；对于D，若，由面面平行的性质定理可得，故D正确故选：B20C【解析】【分析】对选项A、B、D可以在正方体中取特殊直线、平面进行否定，对于C，利用面面垂直的判定定理进行证明.【详解】在正方体中分别取平面和直线进行验证：对于A：如图示，所取的直线m、n和平面满足，但是.故A错误；对于B：如图示，所取的直线m和平面满足，但是相交.故B错误；对于C：因为，过m的一个平面，则.因为，所以.又，所以.故C正确.对于D：如图示，所取的直线m、n和平面满足，但是.故D错误；故选：C21D【解析】【分析】按照点线面的位置关系

25、，对四个命题一一判断.【详解】错，两个平面相交时，也有无数个公共点；正确，为根据面面垂直的判定定理；错，比如，显然有，但b与c也可能相交；正确，利用面面垂直的性质定理进行判断.故正确.故选：D.22C【解析】【分析】取的中点，连接AO，OC,易得直二面角的平面角，再逐项判断.【详解】如图所示：取的中点，连接AO，OC，则，直二面角的平面角，对于，平面，平面，面，平面，故正确；对于，设正方形的边长为2，在直角中，是等边三角形，故正确；对于，与平面所成的线面角的平面角是，故与平面成的角不正确，故错误；对于，可取中点，的中点，连接，由于，是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而是直角三角形的中线

26、，其长度是的一半即正方形边长的一半，故是等边三角形，由此即可证得与所成的角为，故正确故选：C23C【解析】【分析】在平面内，作，垂足为，连结，利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，设，再将表示为的函数，即可求出的取值范围.【详解】在平面内，作，垂足为，连结，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，设，在中，又，即，所以，所以，在中，又,所以在中，因为函数在单调递减，所以，所以.故选：C24证明见解析.【解析】【分析】由等腰三角形的性质证明PEAC.然后证明出PEAB，ABEF，利用线面垂直的判定定理证明直线AB平面PEF.【

27、详解】由知，E为等腰PDC中DC边的中点，故PEAC.又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，且平面PAC，PEAC，所以PE平面ABC，从而PEAB.因为，EF/BC，故ABEF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB平面PEF.25(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，证明平面，即可证明出平面平面.（2）用等体积法，即，即可求出答案.(1)连接，交于点，连接，如图所示， 底面为矩形，为，的中点，又，又，平面，平面，平面平面(2)，在中，在中，在中，设点到平面的距离为，由等体积法可知，又平面，为点到平面的距离，即点到平面的距离为

28、26(1)(2)证明详见解析【解析】【分析】（1）平面，推出，易证四边形为平行四边形，又，由此即可求出结果；（2）根据面面垂直的性质定理，可证明平面，即可证得，再根据题意结合面面垂直的判定定理，即可证明结果.(1)解：因为平面，平面，且平面平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，则，又，所以，即(2)证明：因为平面平面，底面，面面，且，所以平面，则，又，且平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.27(1)证明见解析；(2)存在，证明见解析；(3)【解析】【分析】（1）由线面垂直性质知；取的中点，由长度和平行关系可证得四边形是平行四边形，进而利用勾股定理证得，由线面垂直和面面垂直的判定定理可

29、证得结论；（2）由三角形相似，则只需即可根据平行线分线段成比例得到，由线面平行的判定知平面，从而确定存在.（3）利用三棱锥的体积公式及等体积法求出点D到平面PAB的距离即可.(1)平面，平面，设，则，取的中点，连结，则，又四边形是平行四边形，则，平面，平面平面，平面平面(2)当点为边上靠近点的三等分点时（即）时，平面理由如下：连结交于点，连结，平面，平面，平面(3)因为，所以, 故,又，解得，因为,所以平面PAD，所以,设点D到平面PAB的距离，由，解得.即点D到平面PAB的距离为.28(1)证明见解析；(2)；(3)【解析】【分析】（1）可通过证明及来证明面，进而可得平面平面；（2）通过证明面，可得是二面角的平面角，在中计算即可；（3）通过来计算三棱锥的体积.(1)由，且得面，又面，又，D为线段AC的中点，则，又，面，面，面，又面，平面平面；(2)由（1）知面，又面，又，且，面，面，面，又面是二面角的平面角，在中，即二面角的平面角的大小为；(3)平面，平面，且平面平面，又D为线段AC的中点，可得E为线段PC的中点，且又由面，可得面，可得，则三棱锥的体积为