9.3 分式方程【十大题型】（举一反三）（沪科版）（学生版）.docx

1、专题9.3 分式方程【十大题型】【沪科版】【题型1 解分式方程的一般方法】1【题型2 换元法解分式方程】2【题型3 裂项法解分式方程】3【题型4 根据分式方程的解求值】4【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】4【题型6 已知分式方程有增根求参数】5【题型7 已知分式方程有整数解求参数】5【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】6【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】6【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】8【知识点1 分式方程】（1）分式方程：分母中含有未知数的方程（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。（

2、3）分式方程解方程的步骤：利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程解整式方程验根-检验整式方程解得的根是否符合分式方程作答【题型1 解分式方程的一般方法】【例1】（2022广东平洲一中八年级阶段练习）分式方程：1x-2+3=4x-2的解是_.【变式1-1】（2022广西贵港八年级期中）解下列分式方程：(1)2xx+2-xx-1=1；(2)1x+3-23-x=12x2-9【变式1-2】（2022山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x=_时，分式x-8x-7与分式17-x互为相反数【变式1-3】（2022上海上外附中七年级期末）解方程：x+5x+4+x+2x+1=x+3x+2+x+4x+3

3、【知识点2 换元法解分式方程】换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系例解方程： 另（xy）=u，则原方程转换为： 方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。【题型2 换元法解分式方程】【例2】（2022河南南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：解方程：x-1x-4xx-1=0解：设y=x-1x，则原方程化为：y-4y=0，方程两边同时乘以y得：y240，解得：y2，经检验：y2都是方程y-4y

4、=0的解，当y2时，x-1x=2，解得x1；当y2时，x-1x=-2，解得：x=13经检验：x1或x=13都是原分式方程的解，原分式方程的解为x1或x=13上述这种解分式方程的方法称为换元法问题：(1)若在方程x-1x+xx-1=52中，设 y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；(2)模仿上述换元法解方程：x-1x+2-3x-1-10【变式2-1】（2022上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程x2+1x-x3x2+1+1=0，如果设x2+1x=y，那么原方程化为关于y的整式方程是（）A3y2+3y-1=0B3y2-3y-1=0C3y2-y+1=0D3y2-y-1=0【变式2-2

5、】（2022上海八年级课时练习）如果16x2-8x+1=0，那么4x的值是（）A1B-1C1D4【变式2-3】（2022上海九年级专题练习）解方程组：1x+12x-y=33x-12x-y=1 【知识点3 分式的运算技巧-裂项法】解题技巧：裂项相消法：【题型3 裂项法解分式方程】【例3】（2022山东烟台八年级期中）观察下面的变形规律：112=1112；123=1213；134=1314；解答下面的问题：(1)已知n为正整数，结合你的发现，请将1n(n+1)写成上面式子形式；(2)说明你（1）中式子的正确性；(3)直接写出112+123+134+ +120212022的结果；(4)类比你发现的规

6、律，解关于n（n为正整数）的分式方程：113+135+157+1(2n-1)(2n+1)=n+1002n+202【变式3-1】（2022山东济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规律：112=1-12,123=12-13,134=13-14,145=14-15，回答问题：若1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+1(x+99)(x+100)1x+100，则x的值为 _【变式3-2】（2022江苏镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式：16=123=12-13,112=134=13-14,120=145=14-15.(1)由此可推断：142=_

7、；(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律_；(3)仿照以上方法解方程：3(x-1)(x-4)=1x-1【变式3-3】（2022湖南岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题观察下列算式：16=123=12-13112=134=13-14120=145=14-15(1)填空：142；(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律：(3)请用（2）中的规律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+9)(x+10)=1(x+10)【知识点4 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】（1）方程无解，即方程的根为增根；（2）方程的解为正值

8、，先求解出含有字母的方程根，令这个根0，求解出字母取值范围；（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根0，求解出字母取值范围【题型4 根据分式方程的解求值】【例4】（2022河北南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于x的方程2axa-x=83的解为x=1，则a等于（）A-1B1C4D8【变式4-1】（2022湖南溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于x的方程3x-1=x+axx-1的增根是x=1，则字母a的值为（）A1B-1C2D-2【变式4-2】（2022北京市第九中学八年级期中）若x=4是关于x的方程2x-mx-3=3的解，则m的值为_【变式4-3】（2022全国八年级专题练习）若

9、关于x的方程axx+1+3x+1+3x=2有增根x=-1，则2a-3的值为（）A2B3C4D6【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】【例5】（2022黑龙江黑龙江三模）关于x的分式方程1-axx-2+2=12-x有解，则a的取值范围是_【变式5-1】（2022湖南八年级单元测试）若关于x的分式方程1x-2+x+mx2-4=3x+2无解，则m的值为()A-6B-10C0或-6D-6或-10【变式5-2】（2022河北邢台市第六中学八年级阶段练习）已知关于x的分式方程xx-2+2m2-x=3m无解，则m的值是（）A1或13B1或3C13D1【变式5-3】（2022重庆二模）若关于x的不等式组2x

10、-m-132(x+23)+129有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程my-4y-2=2-3y-22-y有解，则所有满足条件的整数m的和是（）A7B10C13D21【知识点5 增根的讨论】方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。【题型6 已知分式方程有增根求参数】【例6】（2022湖南永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如果方程5x-42x-4=2x+k3x-6有增根，则k是 _【变式6-1】（2022浙江宁波七年级期末）用去分母的方法解关于x的分式方程2-xx-3=a3-x-2时会产生增根，则a的值是_【变式6-2】（20

11、22江西省石城二中九年级阶段练习）解关于x的方程xx-1-kx2-1=xx+1不会产生增根，则k的值是（）A2B1Ck2且k-2D无法确定【变式6-3】（2022全国八年级）若关于x的方程mx2-9+2x+3=1x-3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值【题型7 已知分式方程有整数解求参数】【例7】（2022重庆四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）若关于x的不等式组x3-4-2x+332x+a-251-2x，有且仅有四个整数解，且使关于y的分成方程ay+2=2y-1y+2+1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A2B3C5D10【变式7-1】（2022安徽九年级专题练习

12、）若整数a使关于x的分式方程8-ax2-x2xx-2有整数解，则符合条件的所有a之和为（）A7B11C12D13【变式7-2】（2022重庆一中八年级阶段练习）关于x的不等式组a+x3x+131-3(x-1)14+2x有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程3y+153-y+2ayy-3=2的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（）A4B8C11D15【变式7-3】（2022全国八年级专题练习）若关于x的不等式组x-3(x-2)-2a+x203x+15x-1有解，且关于y的方程2ay-3=4-y-a3-y的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A8B4C3D1【变式8-1】（2022

13、山东龙口市教学研究室八年级期中）若关于x的分式方程2x+m=3x+3有负数解，则m的取值范围为_【变式8-2】（2022江苏宿迁八年级阶段练习）关于x的方程x-1x-3=2+kx-3的解大于1，则k的取值范围为_【变式8-3】（2022山东济南八年级期中）若关于x的分式方程x+ax-2+2a2-x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+21，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A18B16C12D6【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】【例9】（2022山东聊城八年级期末）已知：x+2x3可转化为x+12x1+2，解得x11，x22，x+6x5可转化为x+23x2+3，解得x12，x23，x

14、+12x7可转化为x+34x3+4，解得x13，x24，根据以上规律，关于x的方程x+n2+nx-32n+4的解为_【变式9-1】（2022湖南岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解方程1x+1=2x+1-1的解是x=0；2x+1=4x+1-1的解是x=1；3x+1=6x+1-1的解是x= ；4x+1=8x+1-1的解是x= ；（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解【变式9-2】（2022江苏无锡八年级期中）阅读下列材料：方程1x+1-1x=1x-2-1x-3的解为x=1，方程1x-1x-1=1x-3-1x

15、-4的解为x=2，方程1x-1-1x-2=1x-4-1x-5的解为x=3，(1)请直接写出方程1x-4-1x-5=1x-7-1x-8的解为_；(2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为-5的分式方程：_；(3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：_；_【变式9-3】（2022四川遂宁八年级期末）先阅读下面的材料，然后解答问题通过计算，发现：方程x+1x=2+12的解为x12，x2=12；方程x+1x=3+13的解为x13，x2=13；方程x+1x=4+14的解为x14，x2=14；(1)观察猜想：关于x的方程x+1x=n+1n的解是 ；(2)利用你

16、猜想的结论，解关于x的方程x+1x-3=a+1a-3；(3)实践运用：对关于x的方程x-1x=m-1m的解，小明观察得“x1=m”是该方程的一个解，则方程的另一个解x2= ，请利用上面的规律，求关于x的方程x2-x-1x-1=m-1m-1的解【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】【例10】（2022辽宁大连八年级期末）当ab时，定义一种新运算：F(a,b)=2a-b,ab2bb-a,ab，例如：F(3,1)=23-1=1，F(-1,4)=244-(-1)=85（1）直接写出F(a+1,a)=_；（2）若F(m,2)-F(2,m)=1，求出m的值【变式10-1】（2022广西北海市实验学校

17、八年级期中）对于非零的两个有理数a，b，规定ab1b-1a，若22x-10，则x的值为（）A56B54C32D-16【变式10-2】（2022全国七年级专题练习）定义新运算：对于任意实数a，b(其中a0)，都有a*b1a-a-ba，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：2*112-2-120.(1)求5*4的值；(2)若x*21(其中x0)，求x的值【变式10-3】（2022江苏扬州八年级期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在九章算术对方程一词给出的注释对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”（1）判断一元一次方程3-21-x=4x与分式方程2x+12x-1-1=44x2-1是否是“相似方程”，并说明理由；（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.