中考数学冲刺——函数压轴1（1-10）.pdf

1、春中考冲刺讲师：小鞠老师思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师1如图，抛物线 yax2+bx+2 交 x 轴于点 A（3，0）和点 B（1，0），交 y 轴于点 C（1）求这个抛物线的函数表达式（2）点 D 的坐标为（1，0），点 P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值（3）点 M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点 N，使MNO 为等腰直角三角形，且MNO 为直角？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由思考让我快乐【解答】解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+3）（x1）a（x2+2x3）ax2+2ax

2、3a，即3a2，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x+2，则点 C（0，2），函数的对称轴为：x1；（2）连接 OP，设点 P（x，x2x+2），则 SS 四边形 ADCPSAPO+SCPOSODCAOyP+OC|xP|COOD（x2x+2）2（x）x23x+2，10，故 S 有最大值，当 x时，S 的最大值为；（3）存在，点 N 的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）初三中考冲刺系列中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师思考让我快乐中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列2如图，抛物线 yax22ax+c 的图象经过点 C（0，2），顶点 D 的坐标为（1，），

3、与x 轴交于 A、B 两点（1）求抛物线的解析式（2）连接 AC，E 为直线 AC 上一点，当AOCAEB 时，求点 E 的坐标和的值（3）点 F（0，y）是 y 轴上一动点，当 y 为何值时，FC+BF 的值最小并求出这个最小值（4）点 C 关于 x 轴的对称点为 H，当FC+BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使QHF 是直角三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由思考让我快乐中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）由题可列方程组：，解得：抛物线解析式为：yx2x2；（2）由题，AOC90，AC，AB4，设直线 AC 的解析式为：yk

4、x+b，则，解得：，直线 AC 的解析式为：y2x2；当AOCAEB 时（）2（）2，SAOC1，SAEB，AB|yE|，AB4，则 yE，则点 E（，）；由AOCAEB 得：；初三中考冲刺系列思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师（3）如图 2，连接 BF，过点 F 作 FGAC 于 G，则 FGCFsinFCGCF，CF+BFGF+BFBE，当折线段 BFG 与 BE 重合时，取得最小值，由（2）可知ABEACOBEABcosABEABcosACO4，|y|OBtanABEOBtanACO3，当 y时，即点 F（0，），CF+BF 有最小值为；（4）当点

5、Q 为直角顶点时（如图 3）：由（3）易得 F（0，），C（0，2）H（0，2）设 Q（1，m），过点 Q 作 QMy 轴于点 M则 RtQHMRtFQMQM2HMFM，12（2m）（m+），解得：m，则点 Q（1，）或（1，）当点 H 为直角顶点时：点 H（0，2），则点 Q（1，2）；当点 F 为直角顶点时：同理可得：点 Q（1，）；综上，点 Q 的坐标为：（1，）或（1，）或 Q（1，2）或 Q（1，）思考让我快乐中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师3如图，在平面直角坐标系中，直线 y2x+6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交点 C，抛物线 y2x2+bx+c 过 A，C 两点

6、，与 x 轴交于另一点 B（1）求抛物线的解析式（2）在直线 AC 上方的抛物线上有一动点 E，连接 BE，与直线 AC 相交于点 F，当 EFBF时，求 sinEBA 的值（3）点 N 是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点 E 位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点 M，使以 M，N，E，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由初三中考冲刺系列思考让我快乐中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列【解答】解：（1）在 y2x+6 中，当 x0 时 y6，当 y0 时 x3，C（0，6）、A（3，0），抛物线 y2x2+bx

7、+c 的图象经过 A、C 两点，解得，抛物线的解析式为 y2x24x+6；（2）令2x24x+60，解得 x13，x21，B（1，0），点 E 的横坐标为 t，E（t，2t24t+6），如图，过点 E 作 EHx 轴于点 H，过点 F 作 FGx 轴于点 G，则 EHFG，EFBF，BH1t，BGBHt，点 F 的横坐标为+t，F（+t，+t），2t24t+6（+t），t2+3t+20，解得 t12，t21，当 t2 时，2t24t+66，当 t1 时，2t24t+68，E1（2，6），E2（1，8），当点 E 的坐标为（2，6）时，在 RtEBH 中，EH6，BH3，BE3，sinEBA；同

8、理，当点 E 的坐标为（1，8）时，sinEBA，sinEBA 的值为或；（3）M 的坐标为（2，10）或（4，10）或（0，6）思考让我快乐中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列4如图 1，抛物线 yax2+bx+6 与 x 轴交于点 A（2，0），B（6，0），与 y 轴交于点C，顶点为 D，直线 AD 交 y 轴于点 E（1）求抛物线的解析式（2）如图 2，将AOE 沿直线 AD 平移得到NMP当点 M 落在抛物线上时，求点 M 的坐标在NMP 移动过程中，存在点 M 使MBD 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 M的坐标思考让我快乐中考函数压轴 1（#1-1

9、0）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列【解答】解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+2）（x6）a（x24x12）ax24ax12a，即：12a6，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2+2x+6，令 y0，解得：x4 或2，故点 A（2，0），函数的对称轴为：x2，故点 D（2，8）；（2）将点 A、D 的坐标代入一次函数表达式：ymx+n 得：，解得：，故直线 AD 的表达式为：y2x+4，设点 N（n，2n+4），MNOA2，则点 M（n+2，2n+4），将点 M 的坐标代入抛物线表达式得：2n+4（n+2）2+2（n+1）+6，解得：n22，故点 M 的坐标为（2，4）或（2，4）；点 M（

10、n+2，2n+4），点 B、D 的坐标分别为（6，0）、（2，8），则 BD2（62）2+82，MB2（n4）2+（2n+4）2，MD2n2+（2n4）2，当BMD 为直角时，由勾股定理得：（62）2+82（n4）2+（2n+4）2+n2+（2n4）2，解得：n，当MBD 为直角时，同理可得：n4，当MDB 为直角时，同理可得：n，故点 M 的坐标为：（2，4）或（，）或（，）或（，）思考让我快乐中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列5如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1，0）和点 C（0，4），交 x 轴正半轴于点 B，连接 AC，点 E

11、是线段 OB 上一动点（不与点 O，B 重合），以OE 为边在 x 轴上方作正方形 OEFG，连接 FB，将线段 FB 绕点 F 逆时针旋转 90，得到线段FP，过点 P 作 PHy 轴，PH 交抛物线于点 H，设点 E（a，0）（1）求抛物线的解析式（2）若AOC 与FEB 相似，求 a 的值（3）当 PH2 时，求点 P 的坐标思考让我快乐中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列【解答】解：（1）点 C（0，4），则 c4，二次函数表达式为：yx2+bx+4，将点 A 的坐标代入上式得：01b+4，解得：b3，故抛物线的表达式为：yx2+3x+4；（2）tanACO，A

12、OC 与FEB 相似，则FBEACO 或CAO，即：tanFEB或 4，四边形 OEFG 为正方形，则 FEOEa，EB4a，则或，解得：a或；（3）令 yx2+3x+40，解得：x4 或1，故点 B（4，0）；分别延长 CF、HP 交于点 N，PFN+BFN90，FPN+PFN90，FPNNFB，GNx 轴，FPNNFBFBE，PNFBEF90，FPFB，PNFBEF（AAS），FNFEa，PNEB4a，点 P（2a，4），点 H（2a，4a2+6a+4），PH2，即：4a2+6a+442，解得：a1 或或或（舍去），故：点 P 的坐标为（1，4）或（2，4）或（，4）思考让我快乐中考函数压

13、轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列6如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 B，C 两点，与 y 轴交于点 A，直线 yx+2 经过 A，C 两点，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，直线 MN 与对称轴交于点 G，与抛物线交于 M，N 两点（点 N 在对称轴右侧），且 MNx 轴，MN7（1）求此抛物线的解析式（2）求点 N 的坐标（3）过点 A 的直线与抛物线交于点 F，当 tanFAC时，求点 F 的坐标（4）过点 D 作直线 AC 的垂线，交 AC 于点 H，交 y 轴于点 K，连接 CN，AHK 沿射线 AC以每秒 1 个单位长度的速度移动

14、，移动过程中AHK 与四边形 DGNC 产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为 t（0t），请直接写出 S 与 t 的函数关系式思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）直线 yx+2 经过 A，C 两点，则点 A、C 的坐标分别为（0，2）、（4，0），则 c2，抛物线表达式为：yx2+bx+2，将点 C 坐标代入上式并解得：b，故抛物线的表达式为：yx2+x+2；（2）抛物线的对称轴为：x，点 N 的横坐标为：+5，故点 N 的坐标为（5，3）；（3）tanACOtanFAC，即ACOFAC，当点 F 在直线 AC 下方时，设直线 AF 交 x

15、 轴于点 R，ACOFAC，则 ARCR，设点 R（r，0），则 r2+4（r4）2，解得：r，即点 R 的坐标为：（，0），将点 R、A 的坐标代入一次函数表达式：ymx+n 得：，解得：，故直线 AR 的表达式为：yx+2，联立并解得：x，故点 F（，）；当点 F 在直线 AC 的上方时，ACOFAC，AFx轴，则点 F（3，2）；综上，点 F 的坐标为：（3，2）或（，）；（4）S思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师7如图 1，抛物线 C：yax2+bx 经过点 A（4，0）、B（1，3）两点，G 是其顶点，将抛物线 C 绕点 O 旋转 180，得到新

16、的抛物线 C（1）求抛物线 C 的函数解析式及顶点 G 的坐标；（2）如图 2，直线 l：ykx经过点 A，D 是抛物线 C 上的一点，设 D 点的横坐标为 m（m2），连接 DO 并延长，交抛物线 C于点 E，交直线 l 于点 M，若 DE2EM，求 m 的值；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 AG、AB，在直线 DE 下方的抛物线 C 上是否存在点P，使得DEPGAB？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）将 A（4，0）、B（1，3）代入 yax2+bx 中，得解得抛物线 C 解析

17、式为：yx24x，配方，得：yx24x（x+2）2+4，顶点为：G（2，4）；（2）抛物线 C 绕点 O 旋转 180，得到新的抛物线 C新抛物线 C的顶点为：G（2，4），二次项系数为：a1新抛物线 C的解析式为：y（x2）24x24x将 A（4，0）代入 ykx中，得 04k，解得 k，直线 l 解析式为 yx，D（m，m24m），直线 DO 的解析式为 y（m+4）x，由抛物线 C 与抛物线 C关于原点对称，可得点 D、E关于原点对称，E（m，m2+4m）如图 2，过点 D 作 DHy 轴交直线 l 于 H，过 E 作 EKy 轴交直线 l 于 K，则 H（m，m），K（m，m），DHm

18、24m（m）m2m+，EKm2+4m（m）m2+m+，DE2EM，DHy 轴，EKy 轴DHEKMEKMDH，即 DH3EKm2m+3（m2+m+）解得：m13，m2，m2m 的值为：3；（3）点 P 的横坐标为：或思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师8在平面直角坐标系中，过点 A（3，4）的抛物线 yax2+bx+4 与 x 轴交于点 B（1，0），与 y 轴交于点 C，过点 A 作 ADx 轴于点 D（1）求抛物线的解析式（2）如图 1，点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点，连接 PD 交 AB 于点 Q，连接 AP，当 SAQD2SAPQ 时，

19、求点 P 的坐标（3）如图 2，G 是线段 OC 上一个动点，连接 DG，过点 G 作 GMDG 交 AC 于点 M，过点 M作射线 MN，使NMG60，交射线 GD 于点 N；过点 G 作 GHMN，垂足为点 H，连接BH请直接写出线段 BH 的最小值思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）将点 A（3，4），B（1，0）代入 yax2+bx+4，得：，解得，yx2+3x+4；（2）如图 1，过点 P 作 PEx 轴，交 AB 于点 E，A（3，4），ADx 轴，D（3，0），B（1，0），BD3（1）4，SAQD2SAPQ，AQD 与APQ

20、 是等高的两个三角形，PEx 轴，PQEDQB，PE2，可求得直线 AB 的解析式为 yx+1，设 E（x，x+1），则 P（x2，x+1），将点 P 坐标代入 yx2+3x+4 得（x+2）2+3（x+2）+4x+1，解得 x13+，x23，当 x3+时，x23+21+，x+13+14+，点 P（1+，4+）；当 x3时，x2321，x+13+14，P（1，4），点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点，1x23，点 P 的坐标为（1+，4+）或（1，4）；（3）BH 最小2（1+a）思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师9在平面直角坐标系中，抛物线 y

21、ax2+bx+c 过点 A（1，0），B（3，0），与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC，将OBC 沿 BC 所在的直线翻折，得到DBC，连接 OD（1）用含 a 的代数式表示点 C 的坐标（2）如图 1，若点 D 落在抛物线的对称轴上，且在 x 轴上方，求抛物线的解析式（3）设OBD 的面积为 S1，OAC 的面积为 S2，若，求 a 的值思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3）a（x22x3），即 c3a，则点 C（0，3a）；（2）过点 B 作 y 轴的平行线 BQ，过点 D 作 x 轴的平行线交

22、 y 轴于点 P、交 BQ 于点 Q，CDP+PDC90，PDC+QDB90，QDBDCP，设：D（1，n），点 C（0，3a），CPDBQD90，CPDDQB，其中：CPn+3a，DQ312，PD1，BQn，CD3a，BD3，将以上数值代入比例式并解得：a，a0，故 a，故抛物线的表达式为：yx2+x+；（3）如图 2，当点 C 在 x 轴上方时，连接 OD 交 BC 于点 H，则 DOBC，过点 H、D 分别作 x 轴的垂线交于点 N、M，设：OCm3a，S1SOBDOBDMDM，S2SOAC1m，而，则 DM，HNDMOC，BNBO，则 ON3，则 DOBC，HNOB，则BHNHON，则

23、 tanBHNtanHON，则 HN2ONBN（）2，解得：m6（舍去负值），CO|3a|6，解得：a2（不合题意值已舍去），故：a2当点 C 在 x 轴下方时，同理可得：a2；故：a2或 a2思考让我快乐10如图 1（注：与图 2 完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点 A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足 PA+PC 的值为最小的点 P 坐标（请在图 1 中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点 E，使四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为 12 的平行四边形？若存在，请求出点 E 坐标，若不存

24、在请说明理由（请在图 2 中探索）中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 1（#1-10）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）将点 A、B 的坐标代入二次函数表达式得：ya（x1）（x5）a（x26x+5），则 5a4，解得：a，抛物线的表达式为：y（x26x+5）x2x+4，函数的对称轴为：x3，顶点坐标为（3，）；（2）连接 B、C 交对称轴于点 P，此时 PA+PC 的值为最小，将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式：ykx+b 得：，解得：，直线 BC 的表达式为：yx+4，当 x3 时，y，故点 P（3，）；（3）存在，理由：四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为 12 的平行四边形，则 S 四边形 OEBFOB|yE|5|yE|12，点 E 在第四象限，故：则 yE，将该坐标代入二次函数表达式得：y（x26x+5），解得：x2 或 4，故点 E 的坐标为（2，）或（4，）