广东茂名五校联盟2024年高二3月联考数学试题 答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司20232024 学年度茂名市五校联盟高二联考数学试题本试卷共 4 页，19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2，选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.

2、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线l 的方程为310 xy+=，则直线l 的倾斜角为（）A.6 B.3 C.23 D.56 2.已知等比数列 na中，2854aaa=，等差数列 nb中，465bba+=，则数列 nb的前 9 项和9S=（）A.9 B.18 C.36 D.72 3.若函数()()lnf xxab=+在()()0,0f处的切线方程为 yx=，则不等式()011f x 的解集为（）A.1,ee B.1,1e C.1,e D.2,e 1+4.已知圆22:(3)(4)9Cxy+=，直线()():320lmxmym+=.则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为

3、（）A.10 B.2 2 C.6 D.2 7 5.如图，二面角l 等于 3,4A B 是棱l 上两点，,BD AC 分别在半平面,内，,ACl BDl，且2,2ABACBD=，则CD=（）学科网（北京）股份有限公司 A.14 B.2 2 C.2 3 D.4 6.双曲线22221(0,0)xyabab=的左右焦点分别为12F F，点 M 是双曲线左支上一点，1290F MF=，直线2MF 交双曲线的另一支于点2,2N MNNF=，则双曲线的离心率为（）A.2 B.5 C.3 D.9 7.已知e2.71828是自然对数的底数，设2 1323,2,eln2eeabc=，则（）A.abc B.bac

4、C.bca D.cab交于,A B 两点，且,OAOB ODAB交 AB 于点 D，则（）A.若点 D 的坐标为()2,1，则54p=B.直线l 恒过定点(),0p C.点 D 的轨迹方程为()22200 xypxx+=D.AOB的面积的最小值为24p三填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）12.已知函数()()e211xxf xx=，若方程()0f xk=有 2 个不同的实根，则实数k 的取值范围是_.13.下图是瑞典数学家科赫在 1904 年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底

5、边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.学科网（北京）股份有限公司 若第 1 个图中的三角形的周长为 1，则第n 个图形的周长为 若第 1 个图中的三角形的面积为 1，则第n 个图形的面积为_.14.已知()()1122,M x yN xy是圆22:(3)(4)4Cxy+=上的两个不同的点，若2 2MN=，则1122xyxy+的取值范围为_.四解答题本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分 100 分（

6、95 分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有 m 人，按年龄分成 5 组，其中第一组：20,25)，第二组：25,30)，第三组：30,35)，第四组：35,40)，第五组40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有 10 人.（1）根据频率分布直方图，求 m 的值并估计这 m 人年龄的第 80 百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取 20 人，担任本市的“中国梦”宣传使者.若有甲（年龄 38），乙（年龄 40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取 2 名作为组长，求甲乙两人至少有一人被选上的概率；若第四组宣传使者的年龄的平均数

7、与方差分别为 37 和 52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43 和 1，据此估计这 m 人中 3545 岁所有人的年龄的方差.16.（本小题满分 15 分）已知数列 na满足：112,2nnnaaa+=.（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb的首项为 1，其前n 项和nS 满足()()1112nnn nnSnS+=，证明：若学科网（北京）股份有限公司*1212222,1nnbbbnaaa+N.17.（本小题满分 15 分）如图所示，在四棱锥 PABCD中，侧面 PAD 底面,2,ABCD PAPDPAPD=，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC,1,AD ABAD AB

8、BCO=为 AD 的中点.（1）求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值；（2）求 B 点到平面 PCD 的距离；（3）线段 PD 上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为63？若存在，求出 PQQD 的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分 17 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点分别为12,F F，该椭圆的离心率为 12，且椭圆上动点 M 与点1F 的最大距离为 3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若直线l 与 x 轴椭圆C 顺次交于,P Q R（点 P 在椭圆左顶点的左侧），且11PFQPF R+=，求1RQF面积的最大值.19.（本小题满

9、分 17 分）学科网（北京）股份有限公司已知函数()2ln2(0)2xf xa xaxa=+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212x xxx，且不等式()()12122xxf xf x+单调递增；当()()2e,0,4xfxf x+单调递减2e234，即ba，又2 1e1,1,e2xxx+，令()()11ln,eexg xx gxx=，当()()()0,e,0,xgxf x=，即 22ln2,ln2ee，故cba.故选 A.学科网（北京）股份有限公司8.C 【考点】空间几何体的基本计算公式，导数法求函数的最值（较难题）【解析】球的表面积为36，所以球的半

10、径3R=，设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则2222lah=+，22232(3)ah=+，所以22226,2,hlalh=正四棱锥的体积4265222433112111244,43333669369696lllllVShahllVll=，当32 6l 时，0V，当2 64 2l 时，0,V 单调递增；当()()()0,0,tg tg t+时，函数kyx=图象在第四象限与()f x 有交点，当0k 时，函数kyx=图象在第三象限与()f x 有交点，()f x与函数kyx=图象恒有交点，故 C 正确；对于 D：若()(1)f xe ax，则()e1 eee,axaxaxaxax，（eexx

11、当1x=时，等号成立），当1xa=，则eeeaxax=，故 D 正确.故选 BCD.11.ACD 【考点】直线与抛物线的位置关系综合，直线过定点，动点的轨迹，最值问题（课本 P146 习题改编，中档偏难题）【解析】对于()1A:2,1,2ODDk=，由ODAB，2,:25ABABklyx=+，联立22ypx=，消去 x，有250ypyp+=，记()()1122,A x yB xy，则125y yp=，由OAOB，得21241OAOBpkky y=，54p=，故 A 正确；对于BCD：可设:ABlxmyt=+，联立22ypx=，消去 x，有2220ypmypt=，则12122,2yypm y y

12、pt+=，由2124OAOBpkky y=-1 得2420,2,:2ABppttplxmyp=+，过定点()2,0Mp，故 B 不正确；由,ODABD在以OM 为直径的圆：222()xpyp+=上运动（原点除外），故 C 正确；此时：:2ABlxmyp=+，过定点()()22222121212121212,0,2,4,2424 42AOBMpyypm y ypSp yypyyy ypmp+=+=+，故 D 正确.故选 ACD.学科网（北京）股份有限公司三填空题12.01m 【考点】导数法研究函数的单调性极值方程的根的个数（P104 习题改编，中档题）【解析】由题意()()()()2e23e21

13、,(1)1xxxxxfxf xxx=在(),0上单调递增，在()0,1 上单调 递减，在31,2上单调递减，在 3,2+上单调递增，且当 x 时，0y；当0 x=时，()()01f xf=极大值；当 x 从 1 的左侧无限趋近于 1 时，y；当 x 从 1 的右侧无限趋近于 1 时，y+；当 x+时，323;()4e2yf xf+=极小值，函数()()e211xxf xx=的大致图象如图所示，满足题意的k 的取值范围是01m.故答案为01m.13.143n；1834559n 【考点】等比数列的应用，递推公式（P55 习题改编，中档题）【解析】记第n 个图形为nP，三角形的边长为na，边数为nb

14、，周长为nL，面积为1,nSP 有1b 条边，边长为12;a P 有214bb=条边，边长为2131;3aa P=有2314bb=条边，边长为231111;33nnaaaa=，即111;43nnnnaa bb=，即11 4nnbb=.当第 1 个图中的三角形的周长为 1 时，即1111141,3,3 433nnnnnnabLa b=，由图形可知nP 是在1nP 每条边上生成一个小三角形，即21134nnnnSSba=+，即nS 2211121233,44nnnnnnnSabSSab=，学科网（北京）股份有限公司2212134SSab=，利用累加法可得()22211122134nnnnnSSab

15、abab=+，数列 na是以 13为公比的等比数列，数列 nb是以 4 为公比的等比数列，故数列21nnab 是以 49为公比的等比数列，当第 1个图中的三角形面积为 1 时，11S=，即21314 a=，此时221214 34 3,327aaP=有13b=条边，则11221222112214414 3 199,4519nnnnnnabababab+=111348341,59559nnnnSSS=.故答案为114834;3559nn.14.10,18 【考点】动点的轨迹活用点到直线距离公式圆上的点到直线距离的最值问题（较难题）【解析】2 2,MN=弦 MN 的中点 P 的轨迹为以C 为圆心，半

16、径24(2)2r=的圆，1122112211222,2222xyxyxyxyxyxy+=+表示 M N到直线0 xy+=的距离之和，即：等于 MN 的中点 P 到直线0 xy+=的距离 PH 的 2 倍，CHrPHCHr+，即5 29 222PH.11221018xyxy+.故答案为10,18.三解答题 15.【考点】由频率分布直方图估计数据的数字特征 古典概型从分层随机抽样的平均数与方差估计总 体平均数与方差（容易题）解：（1）由题意，105 0.01m=，所以200m=.设第 80 百分位数为a，因为0.01 50.07 50.06 50.70.8,0.01+=，故第 80 百分位数位于第

17、四组：)35,40 内，学科网（北京）股份有限公司由()0.050.350.3350.040.8a+=，解得：37.5a=，所以第 80 百分位数为 37.5.（2）由题意得，第四组应抽取 4 人，记为,A B C，甲，第五组抽取 2 人，记为 D，乙，样本空间为：=（A，B），（A，C），（A，甲），（A，乙），（A，D），（B，C），（B，甲），（B，乙），（B，D），（C，甲），（C，乙），（C，D），（甲，乙），（甲，D），（乙，D），共15 个样本点.）设事件 M=“甲乙两人至少一人被选上”，则 M=（A，甲），（A，乙），（B，甲），（B，乙），（C，甲），（C，乙），（甲，乙），

18、（甲，D），（乙，D），共有 9 个样本点.所以()()()35n MP Mn=.设第四组第五组的宣传使者的年龄的平均数分 别为45,xx，方差分别为2245,ss，则224545537,43,12xxss=，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 z，方差为2s.则，()()2222244551 42106ssxzsxz=+=4542396xxz+=因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为 10，据此，可估计这m 人中年龄在3545岁的所有人的年龄方差约为 10.16.【考点】等差等比数列的基本概念；累加法法求数列的通项公式；错位相减法求和数列的单调性（中档题）解：（1）112,2n

19、nnaaa+=，()()(121322nnaaaaaaa=+)()11nnnaaa+122122222nn=+()12 1 2221 2nn=+=.学科网（北京）股份有限公司（2）证明：由()()1112nnn nnSnS+=，得1111,112 1nnSSSbnn+=+，数列nSn是以首项为 1，公差为 12的等差数列，则()111122nSnnn+=+=，即()12nn nS+=.当2n 时，()()11122nnnn nn nbSSn+=，11b=也符合该式，nbn=.则12222nnnnbnna=，记012123222nT=+12nn+，由01211231232222112322222

20、nnnnnTnT=+=+，作差得231111111222222nnnnT=+1122212212nnnnn+=，则1242nnnT+=.112310222nnnnnnnnTT+=，数列 nT在*nN 上单调递增，()1min1nTT=，1nT .即12122221nnbbbaaa+.17.【考点】向量法求线面角二面角点面距探究性 问题（中档题）解：（1）在 PAD中，,PAPD O=为 AD 的中点，学科网（北京）股份有限公司POAD.又侧面 PAD 底面 ABCD，平面 PAD 平面,ABCDAD PO=平面 PAD，PO 平面 ABCD.在 PAD中，,2,2PAPD PAPDAD=.在直

21、角梯形 ABCD 中，O 为 AD 的中点，OABC=1,OCAD=.以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,0PABC，()()0,1,0,1,1,1DPB=.,OAOP OAOC OPOCOOA=平面 POC.()0,1,0OA=为平面 POC 的法向量，设 PB 与平面 POC 所成角为，则3sincos,3PB OAPB OAPB OA=，PB与平面 POC 所成角的余弦值为63.（2）()1,1,1PB=，设平面 PCD 的法向量为(),ux y z=，则00u CPxzu PDyz=+=，取()1,1,1u=.则

22、 B 点到平面 PCD 的距离33PB udu=.（3）假设存在，且设()01PQPD=.学科网（北京）股份有限公司()()0,1,1,0,PDOQOPPQ=，()()0,1,0,1OQQ=.设平面CAQ 的法向量为()111,mx y z=，则()()11110110m ACxym AQyz=+=+=，取11z=+，得()1,1,1m=+，而平面CAD 的一个法向量为()0,0,1n=，二面角QACD的余弦值为63，cos,m nm nm n=222163(1)(1)(1)+=+.整理化简，得231030+=.解得13=或3=（舍去），线段 PD 上存在满足题意的点Q，且12PQQD=.18

23、.【考点】椭圆的基本概念与性质，直线与椭圆的位置关系综合问题，基本不等式求最值（中档偏难题）解：（1）椭圆的离心率为 11,22cea=，即2ac=.椭圆上动点 M 与点1F 的最大距离为3,ac+=3.2,1,3acb=，椭圆C 的标准方程为：22143xy+=.（2）设()()1122,Q x yR xy，由（1）知，()11,0F，1111,0QFRFPFQPF Rkk+=+=.学科网（北京）股份有限公司1212011yyxx+=+，整理得1221120 x yx yyy+=.设直线 PQ 的方程为()0 xmyn m=+，联立223412xmynxy=+=，得()2223463120m

24、ymnyn+=，()()2222364 343120m nmn=+，2234nm+，212121122226312,3434mnnyyy yxmyn xmynmm+=+=+，()()122112121221x yx yyymy ynyy+=+0=，()22231262103434nmnmnmm+=+，0,4mn=.直线 PQ 的方程为4xmy=.点()11,0F 到直线 PQ 的距离2214311dmm+=+.1211 122QRFSQR dm=+.()2212122231844341myyy ymm+=+.222234,4,3416,4nmnmm+=+，令24mt=，则220,4tmt=+，

25、12221841818183 3163431641632 3QRFmtSmttttt=+，当且仅当163tt=时，等号成立，此时222843mt=+=，直线存在.学科网（北京）股份有限公司综上，1RQF面积的最大值为 3 34.19.【考点】导数法讨论函数的单调性函数的极点函数的最值恒成立双变量问题的处理等综合问题（中档偏难题）解：（1）函数()yf x=定义域为()()220,2axaxafxaxxx+=+=，二次函数22yxaxa=+的判别式244aa=.若2440aa=时，即当01a，此时，()f x 在()0,+上单调递增；若2440aa=时，即当1a 时，由()220 xaxafxx

26、+=，得20 xaaa=或20 xaaa=+.当20 xaaa+时，()0fx，当22aaaxaaa+时，()0fx，此时，函数()f x 在()()220,aaaaaa+上单调递增，在()22,aaa aaa+上单调递减.综上：当01a时，()f x 单调递增区间为()20,aaa，()2,aaa+，单调递减区间为()22,aaa aaa+.（2）若()f x 有两个极值点()1212x xxx，由（1）学科网（北京）股份有限公司知，1a，且12122xxax xa+=，不等式()()12122xxf xf x+=+恒成立，又()()()2121111ln22f xf xaxxx+=+()22221ln22axxx+()()()221212121lnln22axxa xxxx=+()()2121212121ln222ax xa xxxxx x=+()221ln4422a aaaa=+2ln2a aaa=.()()1212ln21f xf xaaxx+=+，令()ln21(1)h aaaa=，则()120h xa=，()ln21h xaa=在()1,+上单调递减，()()13h xh=，3.因此，实数 的取值范围是)3,+.