人教版九年级数学下册（第二十七章 相似）27.2 相似三角形（学习、上课课件）.pptx

1、27.2 相似三角形第二十七章相似第1课时相似三角形的判定学习目标课时讲解1u相似三角形u平行线分线段成比例u平行线截三角形相似的定理u三边关系判定三角形相似定理u边角关系判定三角形相似定理u角的关系判定三角形相似定理u直角三角形相似的判定逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时流程2知1讲感悟新知知识点相似三角形11.定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边成比例，那么这两个三角形相似.感悟新知知1讲 ABCAB C.感悟新知2.相似三角形的表示方法：相似用符号“”表示，读作“相似于”.如图 27.2-1，ABC 与 A B C相似，记作“ABC A B C”，读作“ABC相似于 A

2、B C”.知1讲感悟新知特别警示：用符号“”表示，读作“相似于”.例如 ABC 与 ABC相似，记作“ABC A B C”，读作“ABC 相似于 A B C”.知1讲感悟新知知1讲感悟新知知1讲特别提醒1.相似三角形具有传递性，即若 ABC ABC，ABC A B C，则ABC A B C.2.相似三角形属于特殊的相似多边形，同样具有“对应角相等，对应边成比例”的性质.知1练感悟新知如图 27.2-2，已知 ABC ADE，A=70，B=40，AB=6，BC=6，AD=3.例1解题秘方：紧扣“相似三角形定义中对应角相等，对应边成比例”求解.知1练感悟新知(1)求 ABC 与 ADE 的相似比；

3、知1练感悟新知(2)求 AED 的度数和 DE 的长.知1练感悟新知1-1.中考重庆B卷 如图，已知 ABC EDC，AC EC=2 3，若 AB 的长度为 6，则 DE 的长度为()A.4 B.9 C.12 D.13.5B感悟新知知识点平行线分线段成比例知2讲21.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.感悟新知知2讲感悟新知知2讲要点解读1.所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；2.利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上.感悟新知知2讲2.平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形

4、一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.感悟新知知2讲感悟新知知2讲特别提醒1.本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条在三角形一边上的特殊情况.2.当被截的两条直线相交时，其交点处可看作含一条隐形的平行线(如图27.2-4).感悟新知知2练例2感悟新知知2练解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实解题.感悟新知知2练答案：C感悟新知知2练A感悟新知知2练例34感悟新知知2练解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实的推论解题.感悟新知知2练技巧点拨：利用平行线分线段成比例的基本事实或推论求线段长的方法：先确定图中的平行线，

5、再根据平行线截得的线段间的比例关系，写出一个含有待求线段和已知线段的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段的长.感悟新知知2练3-1.如图，l1 l2 l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9，求BC，BF 的长.感悟新知知2练感悟新知知3讲知识点平行线截三角形相似的定理31.定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.“和其他两边相交”是指和其他两边所在直线相交.感悟新知知3讲数学表达式：如图 27.2-8，DE BC，ABC ADE.知3讲感悟新知特别提醒书写两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上.知3讲感悟新知根据定理得到的相似三角

6、形的三个基本图形中都有BC DE，图 27.2-8很像大写字母 A，故我们称之为“A”型相似；图 27.2-8 很像大写字母X，故我们称之为“X”型相似(也像阿拉伯数字“8”).感悟新知知3讲2.作用：本定理是相似三角形判定定理的预备定理，它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、对应边成比例.感悟新知知3练如图 27.2-9 所示，已知在 ABCD 中，E 为 AB 延长线上的一点，AB=3BE，DE 与 BC 相交于点 F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.例4知3练感悟新知解题秘方：紧扣“平行线截三角形相似的两种基本图形：“A”型和“X”型进行查找.解：四边形 ABCD

7、是平行四边形，AB CD，AD BC，AB=CD，BEF CDF，BEF AED.CDF AED.AB=CD，AB=3BE，CD=3BE.知3练感悟新知求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后顺序，若顺序颠倒，则相似比成为原来相似比的倒数.知3练感悟新知4-1.中考 玉林 如图，AB EF DC，AD BC，EF 与 AC 交于点 G，则图中的相似三角形共有()A.3 对B.5 对C.6 对D.8 对C感悟新知知3练如图 27.2-10，在 ABCD 中，AE=EB，AF=2，则FC=_.例54知3练感悟新知解题秘方：判断是用平行线截线段成比例，还是用平行线截三角形相似的对应边成比例

8、是解题关键.知3练感悟新知知3练感悟新知C感悟新知知4讲知识点三边关系判定三角形相似定理41.相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似.知4讲感悟新知特别提醒由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可.感悟新知知4讲知4练感悟新知图 27.2-12、图 27.2-13 中小正方形的边长均为 1，则图 27.2-13 中的哪一个三角形(阴影部分)与图 27.2-12 中的 ABC 相似？例6知4练感悟新知解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”，用计算比较法判断.知4练感悟新

9、知知4练感悟新知D感悟新知知5讲知识点边角关系判定三角形相似定理51.相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.知5讲感悟新知特别提醒运用该定理证明两三角形相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的SAS方法.感悟新知知5讲感悟新知知5练如图27.2-15，在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC，Q 是 CD 的中点.求证：ADQ QCP.例7知5练感悟新知解题秘方：紧扣“边角关系判定三角形相似定理”证明即可.知5练感悟新知技巧点拨：利用两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法先找出两个三角形中相等的那个角；再分

10、别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后证明这两组对应边成比例.知5练感悟新知7-1.如图，在 ABC中，D，E 分别在 AB 与 AC上，且 AD=5，DB=7，AE=6，EC=4.求证：ADE ACB.知5练感悟新知知6讲感悟新知知识点角的关系判定三角形相似定理61.相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似.感悟新知知6讲特别提醒由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角.一般地，相等的角是对应角如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.感悟新知2.数学表达式如图 27.2

11、-16 所示，在 ABC 和 DEF 中，A=D，且 B=E，ABC DEF.知6讲感悟新知3.常见的相似三角形的类型：(1)平行线型：如图 27.2-17，若 DE BC，则 ADE ABC.(2)相交线型：如图 27.2-17，若 AED=B，则 AED ABC.知6讲感悟新知(3)“子母”型：如图 27.2-17，若 ACD=B，则 ACD ABC.(4)“K”型：如图 27.2-17，若 A=D=BCE=90，则 ACB DEC，整体像一个横放的字母 K，所以称为“K”型相似.知6讲知6练感悟新知如图 27.2-18，在 ABC 中，AD 是 BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交 A

12、D 于点 E，交 BC 的延长线于点 F.求证：ABF CAF.例8知6练感悟新知解题秘方：紧扣“两组对应角相等的两个三角形相似”，由于 BFA 是公共角，因此只需利用图形的相关性质说明 B=4 即可证明.知6练感悟新知证明：EF 垂直平分 AD，AF=DF.FAD=3.AD 是 BAC 的平分线，1=2.又 B=3 1，4=FAD 2，B=4.又 BFA=AFC，ABF CAF.知6练感悟新知8-1.如图，已知在四边形 ABCD 中，ADB=ACB，延长 AD，BC 相交于点 E.求证：(1)ACE BDE；证明：ADBACB，BDEACE.又EE，ACEBDE.知6练感悟新知(2)BE C

13、D=AB DE.知6练感悟新知8-2.中考怀化如图，点 A，B，C，D 在 O上，AB=CD求证：(1)AC=BD；证明：ABCD，ACBD.ACBD.知6练感悟新知(2)ABE DCE.证明：A D，B C.ABEDCE.感悟新知知7讲知识点直角三角形相似的判定71.直角三角形相似的判定方法：(1)一组锐角相等的两直角三角形相似；(2)两组直角边对应成比例的两直角三角形相似；(3)斜边与一组直角边对应成比例的两直角三角形相似.知7讲感悟新知特别提醒左栏所述三种直角三角形相似的判定方法，教材中并没有作为定理给出，所以只能作为一种分析问题的依据.感悟新知知7讲2.数学表达式：如图 27.2-19

14、，在 Rt ABC 和Rt A B C中，(1)C=C=90，A=A，Rt ABC Rt A B C.感悟新知知7讲知7练感悟新知在 Rt ABC 和 Rt DEF 中，C=F=90，下列条件中,不能判定这两个三角形相似的是()A.A=55，D=35B.AC=9，BC=12，DF=6，EF=8C.AC=3，BC=4，DF=6，DE=8D.AB=10，AC=8，DE=15，EF=9例9知7练感悟新知解题秘方：紧扣“判定直角三角形相似的思路”一一进行验证.解：A.A=55，B=90 55=35.D=35，B=D.又 C=F=90，ABC EDF.知7练感悟新知知7练感悟新知答案：C知7练感悟新知9

15、-1.如图，在Rt ABC中，ACB=90，CDAB 于点D，图中共有哪几对相似三角形？并选择其中一对进行证明.知7练感悟新知解：图中共有3对相似三角形，分别为 ACD ABC，CDB ACB，ACD CBD(选择不唯一)证明 ACD ABC如下：ACB=90，CDAB于点D，ADC=90=ACB.又 A=A，ACD ABC.知7练感悟新知知7练感悟新知课堂小结相似三角形的判定平行线的性质平行线截对应线段成比例相似三角形的判定相似三角形的定义相似三角形的判定定理平行线截三角形相似27.2 相似三角形第二十七章相似第2课时相似三角形的性质逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2u相

16、似三角形对应线段的比u相似三角形面积的比感悟新知知识点相似三角形对应线段的比知1讲11.定理：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.即：相似三角形对应线段的比等于相似比.感悟新知知1讲特别提醒：(1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段；(2)相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序.感悟新知知1讲深度理解对应高、对应中线与对应角平分线分别是指相似三角形对应边上的高、中线与对应内角的平分线.感悟新知知1讲2.相似三角形周长的比：相似三角形周长的比等于它们的相似比.感悟新知知1练例 1 如图 27.2-38，在ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于

17、ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的交点为P，矩形相邻两边的比为12.若BC=30cm，AD=10cm，求矩形EFGH的周长.感悟新知知1练解题秘方：利用相似三角形对应高的比等于相似比求解.感悟新知知1练感悟新知知1练D感悟新知知1练如果两个相似三角形的相似比是32，它们的周长差为8，那么较大的三角形的周长为_.例2解题秘方：紧扣“相似三角形的周长比等于相似比”列方程求解.感悟新知知1练感悟新知知1练答案：24也可设较小的三角形的周长为2x，较大的三角形的周长为3x.3x2x=8，x=8，较大的三角形的周长为3x=24.感悟新知知1练2-1.已知两个相似三角形的对应边之比为 1 3，则它们

18、的周长比为()A.1 9 B.9 1C.1 6 D.1 3D感悟新知知1练B感悟新知知2讲知识点相似三角形面积的比2感悟新知知2讲2.相似多边形面积的比：相似多边形面积的比等于相似比的平方.感悟新知知2讲特别提醒面积的比是相似比的平方，不要与对应线段的比、周长的比等于相似比混淆.感悟新知知2练如图27.2-39，ABCABC，BC=6，BC=4，ADBC于点 D，AD=4，求ABC的面积.例 3解题秘方：利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解.感悟新知知2练不要误认为相似三角形面积的比等于相似比.感悟新知知2练3-1.中考遂宁 如图，在 ABC中，点D，E分别是 AB，AC 的中点，若

19、ADE 的面积是 3cm2，则四边形BDEC的面积为()A.12 cm2 B.9 cm2C.6 cm2 D.3 cm2B课堂小结相似三角形的性质相似比对应线段面积相似三角形的性质周长27.2 相似三角形第二十七章相似第3课时相似三角形应用举例学习目标逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2u利用影子测量物体的高度u利用标杆测量物体的高度u利用镜子的反射测量物体的高度u利用相似测量宽度感悟新知知识点利用影子测量物体的高度知1讲11.测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，在有太阳光的前提下，通常将参照物高及其影长、被测物高及其影长构造相似三角形模型，利用“相似三角形对应边成比例”的原理解决

20、.感悟新知知1讲2.测量方法：在同一时刻测量出太阳光下参照物和被测物体的影长，再根据参照物的高度和“在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例”的原理计算出被测物体的高度.感悟新知知1讲特别提醒运用此测量方法时，要符合下列两个条件：1.被测物体的底部能够到达；2.由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长.感悟新知知1练例 1 某一时刻，身高1.6m的小明在太阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是()A1.25 m B10 m C20 m D8 m解题秘方：用“在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例”求解.感悟新知知

21、1练解：设该旗杆的高度是xm，根据题意，得1.60.4=x5，解得x=20，即该旗杆的高度是20m.答案：C感悟新知知1练1-1.中考杭州 某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆 DE直立在同一水平地面上(如图)同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是 BC=8.72m，EF=2.18 m已知B，C，E，F 在同一直线上，AB BC，DE EF，DE=2.47 m，则 AB _m9.88感悟新知知2讲知识点利用标杆测量物体的高度21.测量原理：用标杆与被测物体平行构造相似三角形.感悟新知知2讲2.测量方法：(1)测量出标杆的长度、观测者眼睛到地面的高度；(2)让标

22、杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端恰好在一条直线上，测量出观测者的脚距标杆底端的距离和距被测物体底端的距离；(3)根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出被测物体的高度.感悟新知知2讲特别提醒利用标杆测量物体的高度是生活中经常采用的方法，使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，注意标杆与地面要垂直，同时被测物体底部必须可到达.感悟新知知2练如图27.2-47，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板

23、的两条直角边DE=40 cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=_m.例2感悟新知知2练解题秘方：本题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边的比相等列出方程求解.感悟新知知2练感悟新知知2练C感悟新知知3讲知识点利用镜子的反射测量物体的高度31.测量原理：利用镜子的反射，先根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形，再计算所求物体的高度.感悟新知2.测量方法(1)在观测者与被测物体之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记；知3讲特别提醒测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置.利用物理学中的“反射角等于入射角”及“等角的余角相等”的

24、知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等.找到一组锐角对应相等，创造相似条件.感悟新知(2)测出观测者眼睛到地面的高度；(3)观测者看着镜子来回走动，直至看到被测物体顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子上的标记位置到观测者脚底的距离及到被测物体底端的距离；(4)根据两角分别对应相等推导出两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出被测物体的高度.知3讲感悟新知知3练如图27.2-48是一名同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处水平放一平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，测得AB=2米，BP=3米，PD

25、=12米，求该古城墙CD的高度.例 3感悟新知知3练解题秘方：由反射原理及ABBD，CD BD，可得ABPCDP，利用相似三角形的性质即可求出CD的长.感悟新知知3练感悟新知知3练3-1.如图，小明为测量学校旗杆AB的高度，在E处放置一面镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B.已知小明的眼睛D离地面的高度CD=1.5m，他与镜子的水平距离CE=0.5m，镜子与旗杆的底部A 处的距离AE=2m，且A，E，C三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为()A4.5 m B4.8 mC5.5 m D6 mD感悟新知知4讲知识点利用相似测量宽度41.测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，

26、常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离.感悟新知知4讲2.常见的测量方式：(1)构造“A”型相似，如图 27.2-49.(2)构造“X”型相似，如图 27.2-50.知4讲感悟新知特别解读利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤：1.利用平行线、标杆等构造相似三角形；2.测量与表示未知量的线段相对应的线段的边长以及另外任意一组对应边的长度；3.画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；4.检验并得出答案.感悟新知知4练如图 27.2-51，我们想要测量河两岸相对的两点 A，B 之间的距离(即河宽).方案：先从 B 点出发向与 AB

27、成90角的方向走 50 m 到 O 处立一标杆，然后方向不变，继续向前走 10 m 到 C 处，在 C 处向右转 90，沿 CD方向再走 17 m 到 D 处，使得点 A，O，D 在同一条直线上.那么点 A，B 之间的距离是多少？例4知4练感悟新知解题秘方：根据测量过程中的数据建立几何(相似三角形)模型，利用相似三角形对应边成比例求解.知4练感悟新知知4练感悟新知4-1.如图，身高为1.6 m 的小李 AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测对岸一棵树 CD的高度，CD 的倒影是C D，点 B，E，D 在同一水平线上，且 A，E，C 在一条视线上，河宽 BD=12 m，且 BE=2 m，求树 CD 的高度.知4练感悟新知课堂小结相似三角形应用举例标杆或直尺相似的应用测量高度工具光线镜子测量宽度