江西省南昌市2023-2024学年高二数学上学期期中试题（pdf）.pdf

1、第 1/共 5学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司南昌中 2023-2024 学年上学期期中考试数学试题命题：荣 审题：程丽军说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（选择题）两部分，全卷满分 150 分.考试时120 分钟.注意事项：考在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1.答题前，请您务必将的姓名考试证号书写字迹的 0.5 毫签字笔填写在答题卡和答题纸上.2.作答选择题必须书写字迹的 0.5 毫签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答律效.作答选择题必须 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂.如需改动，请橡擦净后，再选涂其它答案，请保持卡清洁和答题纸清洁，不折叠不

2、破损.3.考试结束后，答题纸交回.单选题：本题共 8 题，每题 5 分，共 40 分，在每个题给出的四个选项中，只有项是符合题要求的.1.点到直线的距离等于（）A.B.C.D.2.抛物线的准线程为（）A.B.C.D.3.的展开式中，项的系数是（）A.56B.56C.28D.284.“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知椭圆的个焦点和个顶点在直线上，则该椭圆的标准程为（）第 2/共 5学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司A.B.C.D.6.如图，已知两点，从点射出光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光

3、线所经过的路程等于（）A.B.C.D.7.已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线的最值是（）A.B.C.D.8.直线 经过椭圆的个顶点和个焦点，若椭圆中到 的距离为其短轴的，则该椭圆的离率为（）A.B.C.D.多选题：本题共 4 题，每题 5 分，共 20 分.在每个题给出的四个选项中，可能有多个选项符合题要求的.9.下列说法中，正确的有（）A.直线在轴上的截距为 1B.直线倾斜为C.直线必过定点D.过点在和轴上的截距相等的直线只有10.圆和圆的交点为，则（）A.公共弦所在直线程为第 3/共 5学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司B.线段中垂线程为C.公共弦的为D.两圆圆距11.已知为双曲

4、线的两个焦点，为双曲线上任意点，则（）A.B.双曲线的渐近线程为C.双曲线的离率为D.12.下列说法不正确的是（）A.椭圆的离率是.B.双曲线与椭圆的焦点相同.C.、为椭圆的左右焦点，在该椭圆上存在点满D.顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有且仅有个.填空题：本题共 4 题，每题 5 分，共 20 分.13.若抛物线上的点到其焦点的距离为 3，则_.14 已知直线与椭圆交于两点，则_.15.现有 5 种不同颜的染料，要对如图中的四个不同区域进着，要求有公共边的两块区域不能使同种颜，则不同的着法的种数是_（数字作答）16.已知平上两点和，若直线上存在点使，则称该直线为“单曲型直线”，

5、下列直线中是“单曲型直线”的是_（填序号）.第 4/共 5学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司；.三解答题：本题共 6 题，共 70 分.解答应写出字说明证明过程或演算步骤.17.（1）计算：；（2）求值：.18.6 位同学报名参加 2022 年杭州亚运会 4 个不同的项（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1 个项.（1）6 位同学站成排拍照，如果甲两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队式有多少种？（2）若每个项少需要名志愿者，求共有多少种不同报名式？（3）若每个项只招名志愿者，且同学甲不参加项，同学不参加项，求共有多少种不同录式？19.已知圆为的圆经过点和，且圆在直线，求：（1

6、）求圆为的圆的标准程：（2）设点在圆内，过点的最弦和最短弦分别为和，求四边形的积20.双曲线：的渐近线程为，个焦点到该渐近线的距离为 1.（1）求的程；（2）是否存在直线，经过点且与双曲线于 A，两点，为线段的中点，若存在，求 的程；若不存在，说明理由.21.已知椭圆的两个焦点与短轴的个端点是直三形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.（1）求椭圆的标准程；（2）设直线、的斜率分别为、，证明：.22.已知抛物线：的焦点为；（1）求抛物线的程；（2）若动点在抛物线上，线段的中点为，求点的轨迹程；第 5/共 5学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司（3）过点作两条互相垂直的直线，；直线交抛物线

7、于两点，直线交抛物线于，两点，且点，分别为线段，的中点，求的积的最值.第 1/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司南昌中 2023-2024 学年上学期期中考试数学试题命题：荣 审题：程丽军说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（选择题）两部分，全卷满分 150 分.考试时120 分钟.注意事项：考在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1.答题前，请您务必将的姓名考试证号书写字迹的 0.5 毫签字笔填写在答题卡和答题纸上.2.作答选择题必须书写字迹的 0.5 毫签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答律效.作答选择题必须 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂.

8、如需改动，请橡擦净后，再选涂其它答案，请保持卡清洁和答题纸清洁，不折叠不破损.3.考试结束后，答题纸交回.单选题：本题共 8 题，每题 5 分，共 40 分，在每个题给出的四个选项中，只有项是符合题要求的.1.点到直线的距离等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利点到直线的距离公式求解即可.【详解】点到直线的距离等于.故选：C2.抛物线的准线程为（）A.B.C.D.【答案】B第 2/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司【解析】【分析】将抛物线程写成标准式，即可求出，从求出其准线程.【详解】抛物线，即，所以，解得，则抛物线的准线为.故选：B3.的展开式中，项的系数是（

9、）A.56B.56C.28D.28【答案】A【解析】【分析】结合项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】依题意，所以的系数是.故选：A4.“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两直线互相垂直求出的值，从结合充分条件与必要条件的概念判断结论.【详解】当直线和直线垂直时，有，即，解得或，所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件，故选：A.5.已知椭圆的个焦点和个顶点在直线上，则该椭圆的标准程为（）A.B.C.D.【答案】AD第 3/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司【解析】【分析】

10、求出直线的两截距，注意区分椭圆焦点在轴上和椭圆焦点在轴上即可解答.【详解】由题直线的横截距为 2，纵截距为，当椭圆焦点在轴上时，则，此时椭圆的标准程为；当椭圆焦点在轴上时，则，此时椭圆的标准程为.故选：AD.6.如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴对称点，则就是所求的路程.【详解】易知直线的程为，设点关于直线的对称点，则且，解得，即，点关于轴的对称点，第 4/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司由光的反射规律可知，共线，共线，从共线，所以光线所经

11、过的路程为.故选：B.7.已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线的最值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据切线，半径以及圆到点的距离的关系，求得圆到直线的距离，再求切线距离的最值即可.【详解】圆，其圆为，半径，则到直线 的距离；设切线，则，若最，则取得最值，显然最值为，故的最值为，即切线的最值为.故选：A.8.直线 经过椭圆的个顶点和个焦点，若椭圆中到 的距离为其短轴的，则该椭圆的离率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】第 5/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司分析:设出椭圆的程，求出直线的程，利已知条件列出程，即可求解椭圆的离率.【详解】解:设椭圆的

12、程为:，直线 经过椭圆的个顶点和个焦点，则直线程为:,椭圆中到 的距离为其短轴的，可得:，故选:C.多选题：本题共 4 题，每题 5 分，共 20 分.在每个题给出的四个选项中，可能有多个选项符合题要求的.9.下列说法中，正确的有（）A.直线在轴上的截距为 1B.直线的倾斜为C.直线必过定点D.过点在和轴上的截距相等的直线只有【答案】AC【解析】【分析】利直线的相关知识，逐个选项分析即可.【详解】对于 A 选项，当时，故正确；对于 B 选项，易知斜率为，故倾斜为，故错误；对于 C 选项，过定点需要和变量关，令，解得即可，故正确；对于 D 选项，这样的直线还有，举反例即可，故错误.故选：AC10

13、.圆和圆的交点为，则（）第 6/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司A.公共弦所在直线的程为B.线段中垂线的程为C.公共弦的为D.两圆圆距【答案】ABD【解析】【分析】把两圆程相减得到公共弦所在直线的程，即可得到选项 A；再把两圆分别化成标准程，得到圆和半径，两圆所在的直线即为线段中垂线，即可得到选项 B；利个圆的圆到直线的距离进求出弦的，验证选项 C；两圆的距离即可得到选项 D.【详解】，减去即得到公共弦所在直线的程为，故 A 正确；把圆化为标准程得，圆为，半径为，把圆化为标准程为，圆为，线段中垂线即为圆与圆两点构成的直线为，故 B 正确；圆到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的为

14、，故 C 错误；圆到圆的距离，故 D 正确.故选：ABD.11.已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意点，则（）A.B.双曲线的渐近线程为C.双曲线的离率为D.【答案】CD【解析】第 7/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司【分析】对于 A，定义即可判断，对于 B，根据焦点位置即可判断，对于 C，直接计算即可，对于 D，因为为的中点，所以，设可求出的取值范围，即可判断【详解】双曲线：焦点在轴上，对于 A 选项，点在哪上并不确定，故 A 错误对于 B 选项，焦点在轴上双曲线渐近线程为，故 B 错误对于 C 选项，故 C 正确对于 D 选项，设，则（时取等号）因为为的中点，所以，故 D

15、 正确故选：CD12.下列说法不正确的是（）A.椭圆的离率是.B.双曲线与椭圆的焦点相同.C.、为椭圆的左右焦点，在该椭圆上存在点满D.顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有且仅有个.【答案】CD【解析】【分析】对于 A，根据椭圆程求出离率直接判断即可；对于 B，根据双曲程和椭圆程求出对应的焦点坐标即可判断；对于 C，求出使得的点应满的条件，结合椭圆的何性质判断即可；对于 D，分焦点位置不同，设抛物线的程，代点求解即可判断.【详解】对于 A，椭圆，即，则，第 8/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司所以，则椭圆离率为，故 A 错误；对于 B，双曲线，即，则其焦点为，椭圆的

16、焦点为，故 B 正确；对于 C，椭圆，则，即，所以，则，要使，则，即，即点的纵坐标为 2 或即可，椭圆上的点纵坐标取值范围为，则不存在点满，故 C 错误；对于 D，由题意，当抛物线焦点在轴上时，设抛物线程为，由，解得，则抛物线程为.当抛物线焦点在轴上时，设抛物线程为，则，解得，则抛物线程为，所以满条件的抛物线有两条，故 D 错误.故选：CD.填空题：本题共 4 题，每题 5 分，共 20 分.13.若抛物线上的点到其焦点的距离为 3，则_.【答案】2【解析】【分析】根据抛物线程及抛物线定义有，求参数即可.【详解】由题设及抛物线定义知：且.故答案：14.已知直线与椭圆交于两点，则_.第 9/共

17、17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司【答案】#【解析】【分析】联直线和椭圆程，得到两根之和，两根之积，利弦公式求出答案.【详解】联与，得，设，则，故.故答案为：15.现有 5 种不同颜的染料，要对如图中的四个不同区域进着，要求有公共边的两块区域不能使同种颜，则不同的着法的种数是_（数字作答）【答案】260【解析】【详解】试题分析：可分步研究涂的种数，从 A 处开始，再涂 B 处，C 处时进分类，分 A，C 相同，与不同两类，由计数原理计算出不同的着结果数选出正确选项解：由题意，先涂 A 处，有 5 种涂法，再涂 B 处 4 种涂法，第三步涂 C，若 C 与 A 同，则 D 有四种涂法，

18、若 C 与 A 不同，则 D 有三种涂法，由此得不同的着案有 54（14+33）=260 种，故填写 260考点：计数原理的应点评：本题考查计数原理的应，解题的关键是理解“公共边的两块区域不能使同种颜，”根据情况对C 处涂进分类，这是正确计数，不重不漏的保证16.已知平上两点和，若直线上存在点使，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是_（填序号）.第 10/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司；.【答案】【解析】【分析】根据双曲线定义，可得点的轨迹是以 M、N 为焦点，的双曲线的右，由此计算双曲线的程为，再分别判断双曲线与四条直线的位置关系，可得只有表示的直线上

19、存在点，满“单曲型直线”的条件.【详解】因为，点满，所以点轨迹是以 M、N 为焦点，的双曲线的右，可得，双曲线的程为，双曲线的渐近线程为，所以直线与双曲线没有公共点；直线经过点斜率，与双曲线也没有公共点；直线与直线与双曲线有交点，因此与直线上存在点使，满“单曲型直线”的条件，只有正确.故答案为：三解答题：本题共 6 题，共 70 分.解答应写出字说明证明过程或演算步骤.17.（1）计算：；（2）求值：.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据排列数公式计算可得；（2）根据组合数的定义求出的值，再代计算可得.第 11/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司【详解】（1）；（2

20、）由组合数的定义知：，解得，或.当时；当时.所以的值为或.18.6 位同学报名参加 2022 年杭州亚运会 4 个不同的项（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1 个项.（1）6 位同学站成排拍照，如果甲两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队式有多少种？（2）若每个项少需要名志愿者，求共有多少种不同报名式？（3）若每个项只招名志愿者，且同学甲不参加项，同学不参加项，求共有多少种不同录式？【答案】（1）144（2）1560（3）252【解析】【分析】（1）利捆绑法和插空法进排列计算即可得共有 144 种；（2）先将 6 位同学分成 4 组，再根据题意进排列计算即可得出结果；（3）先计算出

21、所有的录式，再减去不符合题意的式即可得出答案.【问 1 详解】根据题意先把甲看成整体，与除了甲、丙、丁之外的两进排列，再把丙丁插空进排列，所以共有.【问 2 详解】先分为 4 组，则按数可分为 1，1，1，3 和 1，1，2，2 两种分组式，共有种；第 12/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司再分到 4 个项，即可得共有；【问 3 详解】先考虑全部，则共有种排列式，其中甲参加项共有种，同学参加项共有种；甲参加项同时参加项共有种，根据题意減去不满题意的情况共有种.19.已知圆为的圆经过点和，且圆在直线，求：（1）求圆为的圆的标准程：（2）设点在圆内，过点的最弦和最短弦分别为和，求四

22、边形的积【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据圆上的点和圆所在的直线求圆的程；（2）根据最的弦为直径，最短的弦与最的弦垂直求解.【问 1 详解】圆在直线 上，则，则有，解得，故圆为，半径，故圆为的圆的标准程为【问 2 详解】由圆的性质，过点的最弦过圆，即为直径，.最短弦垂直于，由垂径定理得，故四边形的积为.第 13/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司20.双曲线：的渐近线程为，个焦点到该渐近线的距离为 1.（1）求的程；（2）是否存在直线，经过点且与双曲线于 A，两点，为线段的中点，若存在，求 的程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，.【解析】【分析】（1）

23、利双曲线的性质及点到直线距离公式计算即可；（2）利点差法计算即可.【问 1 详解】令，所以，由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离，所以双曲线的标准程为：；【问 2 详解】假设存在，由题意知：该直线的斜率存在，设，直线 的斜率为，则，有，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线 的程为，即，联直线与双曲线程得：第 14/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司，即直线与双曲线有两个交点，满条件，所以存在直线，其程为.21.已知椭圆的两个焦点与短轴的个端点是直三形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.（1）求椭圆的标准程；（2）设直线、的斜率分别为、，证明：.【答案】（1）（2）证明解析【

24、解析】【分析】（1）分析可得，可得出，则椭圆的程可表示为，将点的坐标代椭圆的程，求出的值，即可得出椭圆的标准程；（2）设点、，将直线的程与椭圆的程联，列出达定理，利斜率公式结合达定理可证得结论成.【问 1 详解】解：因为椭圆的两个焦点与短轴的个端点是直三形的三个顶点，则这个直三形为等腰直三形，腰为，斜边为，则，可得，所以，所以，椭圆程可表示为，将点的坐标代椭圆的程可得，解得，故椭圆标准程为.【问 2 详解】解：设点、，联可得，第 15/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司，解得，显然，否则直线 过点，由达定理可得，所以，因此，.【点睛】法点睛：求定值问题常的法有两种：（1）从特殊，

25、求出定值，再证明这个值与变量关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从得到定值22.已知抛物线：的焦点为；（1）求抛物线的程；（2）若动点在抛物线上，线段的中点为，求点的轨迹程；（3）过点作两条互相垂直的直线，；直线交抛物线于两点，直线交抛物线于，两点，且点，分别为线段，的中点，求的积的最值.【答案】（1）（2）（3）4【解析】第 16/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司【分析】（1）根据题意，得到，进得到抛物线的程；（2）设，根据题意，结合中点公式，求得，代抛物线的程，即可求得点的轨迹程；（3）不 妨 设，得 到，联 程 组，求 得和，得出，结合基本不等式，即可

26、求解.【问 1 详解】解：抛物线：的焦点为，可得，解得，所以抛物线的程为.【问 2 详解】解：设，因为线段的中点为，可得，即，因为动点在抛物线上，可得，化简得，即点的轨迹程为.【问 3 详解】解：由题意知，直线的斜率均存在，不妨设，则，联程组，整理得，则，即，且，所以，所以，同理可得：第 17/共 17学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司所以，所以，当且仅当，即时，等号成，所以积的最值为.【点睛】法技巧：直线与圆锥曲线中的最值与范围问题的求解法：1、注意题中的何特征，充分考虑图形的性质，以及圆锥曲线的何性质，进求解；2、运函数思想，建标函数，求解最值，在利代数法求解最值和范围问题时，常从以下个考虑：利判别式来构造不等关系式，从确定参数的取值范围；利已知参数的范围，求解新参数的取值范围，解这类问题的核是两个参数之间建等量关系式，进作出求解；利隐含的不等关建不等式，从求出参数的取值范围；利已知的不等关系构造不等式，从求出蹿升的取值范围；利函数的性质，利导数、基本不等式，单调性等段，求得函数的值域，从得到参数的取值范围.