【七年级下册】5.15 命题、定理、证明（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题5.15 命题、定理、证明（知识讲解）【学习目标】1、 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；2、 掌握定理的定义，理解定理与真命题的关系，能写出一个定理的逆命题，并判断是否为真命题；3、 理解并掌握证明的基本推理过程。【要点梳理】1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题特别说明：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果，那么.”，也可写成：“若，则.”（3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保

2、证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.特别说明：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可【典型例题】类型一、命题、定理、证明命题的判断真（假）命题1下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？(1) 将27开立方(2) 任意三角形的三条中线相交

3、于一点吗？(3) 锐角小于直角(4) （a为实数）【答案】(1)不是命题；(2)不是命题；(3)是命题；(4)是命题【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可（1）解：将27开立方不是命题；（2）任意三角形的三条中线相交于一点吗？不是命题；（3）锐角小于直角是命题；（4）（a为实数）是命题【点拨】本题主要考查了命题的定义， 一般地，在数学中把用语言，符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题举一反三：【变式1】写出下列命题的逆命题，并判断真假(1) 三角形三个内角的和等于；(2) 两直线平行，同旁内角互补【答案】(1)内角和等于的多边形是三角形；真命题；(2)同旁内角互补，两直线平行；真命题【

4、分析】（1）将命题“如果，那么”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果，那么”，我们称这样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题据此写出命题的逆命题，然后判断真假即可；（2）根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可（1）解：命题“三角形三个内角的和等于”的逆命题为：“内角和等于的多边形是三角形”，逆命题是真命题；（2）解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”，逆命题是真命题【点拨】此题考查了命题与判断命题的真假，熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论是解答此题的关键类型二、命题、定理、证明命题的题设、

5、结论逆命题互逆命题2命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角(1) 写出这个命题的逆命题；(2) 判断这个逆命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例【答案】(1)逆命题是：“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”(3) 假命题，反例：两个角都是直角【分析】（1）根据逆命题的定义，把原命题的条件与结论互换即可（2）举出反例，即可证明命题为假命题解答：（1）原命题中，条件为“一个锐角和一个钝角”，结论为“这两个角一定互为补角”，将条件与结论互换，得到逆命题，即“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”（2）互补的两个角可以都为直角，“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”是假命题反例是“两个角

6、都是直角”【点拨】本题考查了逆命题，以及真假命题，熟练掌握相关定义即可得到结论举一反三：【变式1】 已知命题“如果，那么”(1) 写出此命题的条件和结论；(2) 写出此命题的逆命题；(3) 判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明【答案】(1)条件为：；结论为：；(2)如果，那么；(3)假命题，反例不唯一【分析】（1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论；（2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可；（3）举出反例即可解：（1）此命题的条件为：，结论为：；（2）此命题的逆命题为：如果，那么；（3）此命题的逆命题是假命题，当为相反数时，它们的绝对值相

7、等，但本身不相等，如时，而【点拨】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题【变式2】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：(1) 两直线平行，同旁内角互补；(2) 垂直于同一条直线的两直线平行；(3) 相等的角是内错角；(4) 有一个角是60的三角形是等边三角形【答案】(1) 同旁内角互补，两直线平行，真命题（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题（3）内错角相等，假命题；例如：1与2是内错角，但不相等（4）等

8、边三角形有一个角是60真命题【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可解答：（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题；（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题；（3）内错角相等，假命题；例如：1与2是内错角，但不相等；（4）等边三角形有一个角是60真命题 【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，属于中考常考题型类型三、命题、定理、证明命题的已知、求证、证明过程3（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，求证：；（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角

9、互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断ABCD，CDEF，则利用平行线的传递性得到ABEF，然后根据平行线的性质得到结论；（2）利用了平行线的判定与性质定理求解（1）证明：B1180，ABCD，23，CDEF，ABEF，BF180；（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补【点拨】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可举一反三：【变

10、式1】 如图，有如下四个论断：；平分；平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论解答：已知：，平分，求证：平分 证明：如图所示， ， ，即， ， ， 平分， ， ， 平分【点拨】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键【变式2】求证:对顶角相等(请画出图形，写出已知、求证、证明.) 试题分析：根据题设与结论画出符合条件的图形，根据图形写出已知、求证，然后进行证明即可.试题解析：已知：如图，直线AB与CD交于点O求证：12已知:如图，证明

11、：AB、CD相交于O(已知)，13180，23180(邻补角的定义)，12(同角的补角相等).中考真题专练1（2022上海中考真题）下列说法正确的是（）A命题一定有逆命题B所有的定理一定有逆定理C真命题的逆命题一定是真命题D假命题的逆命题一定是假命题【答案】A【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合

12、题意；D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意故选：A【点拨】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题2（2022江苏无锡中考真题）请写出命题“如果，那么”的逆命题：_【答案】如果，那么【分析】根据逆命题的概念解答即可解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，故答案为：如果，那么【点拨】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题3（2022浙江湖州中考真题）“如果，那么”的逆命题是_【答案】如果，那么【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案解：“如果，那么”的逆命题是：“如果，那么”，故答案为：如果，那么【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义