湖南省2024届高三数学上学期10月联考试题（PDF版附答案）.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4本试卷主要考试内容：小题考查集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、数列、平面向量，大题考查高考范围一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知命题:0,1px，333x，则 p 的否定是（）A0,

2、1x，333x B0,1x，333x C0,1x，333x D0,1x，333x 2定义集合,xAxBz zA yyB已知集合4,8A，1,2,4B，则 A B的元素的个数为（）A3B4C5D63已知函数 3132f xxxx的图象在0 xa a处的切线的斜率为 k a，则（）A k a 的最小值为 6B k a 的最大值为 6C k a 的最小值为 4D k a 的最大值为 44已知某公司第 1 年的销售额为 a 万元，假设该公司从第 2 年开始每年的销售额为上一年的 1.2 倍，则该公司从第 1 年到第 11 年（含第 11 年）的销售总额为（参考数据：取111.27.43）A35.15a

3、 万元B33.15a 万元C34.15a 万元D32.15a 万元5设函数 f x 的定义域为 R，且1fx 是奇函数，23fx 是偶函数，则（）A 00fB 40fC 50fD20f 学科网（北京）股份有限公司6设0,2，0,2，且1tantancos，则（）A22B 22C 22D 227已知函数 cos12f xx，sin 46g xx，则“曲线 yfx关于直线 xm对称”是“曲线 yg x关于直线 xm对称”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣如图，在菱形 AB

4、CD 中，120ABC，2AB，以菱形 ABCD 的四条边为直径向外作四个半圆，P 是四个半圆弧上的一动点，若 DPDADC，则的最大值为（）A 52B3C5D 32二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9已知函数 241lg4fxxx，则（）A f x 的最小值为 1B x R，12ffxC92log 23ff D0.10.18119322ff10若正项数列 na是等差数列，且25a，则（）A当37a 时，715a B4a 的取值范围是5,15C当7a 为整数时，7a 的

5、最大值为 29D公差 d 的取值范围是0,511若函数 f x 的定义域为 D，对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得121f xf x，则称 f x为“A 函数”，则下列说法正确的是（）学科网（北京）股份有限公司A函数 lnfxx是“A 函数”B已知函数 f x，1fx的定义域相同，若 f x 是“A 函数”，则 1fx也是“A 函数”C已知 f x，g x 都是“A 函数”，且定义域相同，则 f xg x也是“A 函数”D已知0m，若 sin xfxm，,2 2x 是“A 函数”，则2m 12定义在0,上的函数 f x 的导函数为 fx，0fx 且 232xxfxf xfxf x 恒成立

6、，则（）A 11212122ffffffB0,a ，函数 0fxayxxfx有极值C 11212122ffffffD0,a ，函数 0fxayxxfx为单调函数三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13设向量,2ABxx在向量3,4AC 上的投影向量为15 AC，则 x _14若0,2，1cos23，则sin3 _15若关于 x 的不等式277xaa x的解集恰有 50 个整数元素，则 a 的取值范围是_，这 50 个整数元素之和为_16如图，已知平面五边形 ABCDE 的周长为 12，若四边形 ABDE 为正方形，且 BCCD，则当BCD的面积取得最大值时，AB _四、解

7、答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤学科网（北京）股份有限公司17（10 分）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知coscos2abbBAc（1）求 tan A；（2）若17a，ABC的面积为 2 2，求ABC的周长18（12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PAAB，E，F，M 分别是 PB，CD，PD 的中点（1）证明：/EF平面 PAD（2）求平面 AMF 与平面 EMF 的夹角的余弦值19（12 分）已知数列 na满足12312121223nnaaaaaaaaann（1）求 na的

8、通项公式；（2）求数列nan的前 n 项和nS 20（12 分）某商场在 6 月 20 日开展开业酬宾活动顾客凭购物小票从 620 这 15 个号码中依次不放回地抽取 2 个号码，第 1 个号码为 a，第 2 个号码为 b设 X 是不超过 ba的最大整数，顾客将获得购物金额 X 倍的商场代金券（若0X，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用（1）已知某顾客抽到的 a 是偶数，求该顾客能获得代金券的概率；（2）求 X 的数学期望21（12 分）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点0,1C，83,55D（1）求椭圆的方程（2）设 P 是椭圆上一点（异于 C，D），直线 PC，PD 与

9、 x 轴分别交于 M，N 两点，证明在 x 轴上存在两点 A，B，使得 MB NA 是定值，并求此定值22（12 分）已知函数 1lnaxf xeax有两个零点1x，2x（1）求 a 的取值范围；（2）证明：122xxa学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷参考答案1Ap 的否定是0,1x，333x 2B因为4,8A，1,2,4B，所以1,2,4,8AB，故 A B的元素的个数为 43C 221922 924fxxx，当且仅当419x 时，等号成立，所以 k a 的最小值为 44D设第 i i1,2,11年的销售额为ia 万元，依题意可得数列 ii1,2,11a是首项为 a，公比为1.2 的等

10、比数列，则该公司从第 1 年到第 11 年的销售总额为 11111 1.21.21102.2210.27.433.151.aaaa万元5C因为1fx 是奇函数，所以11fxf x ，则 10f又23fx 是偶函数，所以2323fxfx，所以 510ff6A因为1tantancos，所以 sinsin1coscoscos，所以sincoscossincos，即sinsin2又0,2，0,2，所以2，即 22或2，即2（舍去）7A令1112mkkZ，得1112mkkZ，所以曲线 yfx关于直线1112xkkZ 对称令22462mkkZ，得22124kmkZ，所以曲线 yg x关于直线22124kx

11、kZ 对称因为1112km mkZ真包含于22124mkkmZ，所以“曲线 yfx关于直线 xm对称”是“曲线 yg x关于直线 xm对称”的充分不必要条件8A如图，设 DEkDA，DFkDC，设 P 是直线 EF 上一点，令 DPxDEyDF，则1xy，k xyk因为 P 是四个半圆弧上的一动点，所以当 EF 与图形下面半圆相切时，取得最学科网（北京）股份有限公司大值设线段 AB 的中点为 M，线段 AC 的中点为1O，连接 MP，连接1DO 并延长使之与 EF 交于点2O，过 M作2MNDO，垂足为 N因为120ABC，2AB，所以11DO ，1212132OOO NNOO NMP，则25

12、2DO 由DACDEF，得2152DODEkDADO，故的最大值为 529ACD 21lg10lg1012fxx，A 正确因为当且仅当12x 时，f x 取得最小值，且最小值为 1，所以 11f，所以 12ffx，B 错误因为9lg 2lg 210log 2lg9lg83，所以911log 226，又 211326，且 f x 在1,2上单调递减，在 1,2上单调递增，所以92log 23ff，C 正确因为0.10.20.189331，所以0.10.1811193222，所以，D 正确10ABC当37a 时，公差2d，7347815aad，A 正确因为 na是正项等差数列，所以150ad，且0

13、d，所以公差 d 的取值范围是0,5，D 错误因为452ad，所以4a 的取值范围是5,15，B 正确7555,30ad，当7a 为整数时，7a 的最大值为 29，C 正确11BD对于选项 A，当11x 时，10fx，此时不存在2x，使得121f xf x A 不正确对于选项 B，由 f x，1fx的定义域相同，若 f x 是“A 函数”，则对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得121f xf x，则对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得 12111f xf x，所以 1f x也学科网（北京）股份有限公司是“A 函数”B 正确对于选项 C，不妨取 fxx，1g xx，0,x，令 12F x

14、f xg xxx，则124F xF x，故 f xg x不是“A 函数”C 不正确对于选项 D，因为 sinf xmx，,2 2x ，是“A 函数”，所以sin0mx在,2 2 上恒成立又0m，所以10m，且12sinsin1mmxx，即对于任意1,2 2x ，都存在唯一的2,2 2x ，使得21sins1inmmxx，因为11sin1mxmm ，所以1n1i1111smmmxmmm，由111111mmmm，解得2m D 正确12AD设函数 10fxg xxxfx，则 23222220 xfxfxfxx fxxfxfxfxgxxfxxfx，所以 g x 在0,上单调递减，B 错误，D 正确从而

15、 12gg，即 12111122ffff，因为 0fx，所以 10f，20f，所以 11212122ffffff，C 错误，A 正确光速解法：取 0f xx x，满足 0fx 且 232xfxf xx fxf x，则 11212122ffffff，0,a ，函数 0fxayxxfx为单调函数131向量,2ABxx在向量3,4AC 上的投影向量为3825AB ACACxx ACACAC，则138525xx，解得1x 学科网（北京）股份有限公司14 5 39因为0,2，所以20,，所以22 2sin 21cos23，因为21cos22cos13，0,2，所以6cos3，3sin3，所以5 3sin

16、3sin 2sin 2coscos2 sin91544,4357,58；925或 1625不等式277xaa x等价于不等式70 xax当7a 时，70 xax的解集为，不合题意；当7a 时，70 xax的解集为,7a，则 50 个整数解为 43，42，5，6，所以 4443a ，这 50 个整数元素之和为 436509252；当7a 时，70 xax的解集为7,a，则 50 个整数解为 8，9，56，57，所以5758a，这50 个整数元素之和为 8575016252综上，a 的取值范围是44,4357,58，这 50 个整数元素之和为 925或 162516273 178过点 C作CFBD

17、，垂足为F设0ABx x，则 BDAEDEx，因为 BCCD，所以3212ABBC，则362BCx由0BC，BCCDBD，得03x在BCF中，222223162183622CFBCBFxxxx记BCD的面积为 S，则4321291822SBDxxFxC设函数 432918f xxxx，则 3224273642736fxxxxxxx，令 0fx，得0 x 或273 178x当273 1708x时，0fx；当 273 1738x时，0fx故当273 178x时，f x 取得最大值，则 S 取得最大值，此时273 178AB学科网（北京）股份有限公司17解：（1）因为coscos2abbBAc，所以

18、sincos2sincossinsinABBABC2 分又sinsinsincoscossinCABABAB，所以 3sincossinBAB3 分因为sin0B，所以cos13A 4 分又0,A，所以sin2 23A，tan2 2A 5 分（2）ABC的面积n122 22si3ASbcbc，则6bc 7 分由22222c23s2oabcbcbcbcA，得224253bcabc，9 分所以5bc，故ABC的周长为51710 分18（1）证明：取 PA 的中点 N，连接 EN，DN，因为 E 是 PB 的中点，所以/EN AB，12ENAB1 分又底面 ABCD 为正方形，F 是 CD 的中点，

19、所以/EN DF，ENDF，所以四边形 ENDF 为平行四边形，所以/EF DN 3 分因为 EF 平面 PAD，DN 平面 PAD，所以/EF平面 PAD4 分（2）解：以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令2AB，则1,0,1E，1,2,0F，0,0,2P，0,2,0D，0,1,1M5 分从而1,1,0EM ，1,1,1MF，1,2,0AF 6 分设平面 AMF 的法向量为111,mx y z，则11111200 xyxyz，令11y，得2,1,1m 8 分设平面 EMF 的法向量为222,nxyz，则2222200 x

20、yzxy，令21y，得1,1,2n 10 分1cos,2m nm nm n 11 分学科网（北京）股份有限公司故平面 AMF 与平面 EMF 的夹角的余弦值为 1212 分19解：（1）当1n 时，12a 1 分当2n 时，111221 21 2nnnnaaannnn，3 分即11212nnaaan n，4 分当1n 时，上式也成立，所以1221 212322nnnnan nnnn nn5 分当1n 时，也符合232nnan n，所以232nnan n6 分（2）由（1）知232nnann7 分1024 25 232 nnSn，8 分01124 25 232 nnSn，9 分则 0121111

21、22223222132221nnnnnnSnnn，11 分所以1221nnSn 12 分20解：（1）当ba时，该顾客能获得代金券设“a 是偶数”为事件 A，“ba”为事件 B，则 21520620820 1856421015P ABA，2 分 2158 148 15P AA，3 分学科网（北京）股份有限公司所以 41158215P ABP BP AA，所以当顾客抽到的 a 是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为 12 4 分（2）X 可能的取值为 0，1，2，3当0X 时，ba，则 102P X 5 分当1X 时，121aba，若11a，则120ab 对每一个 a，b 有 20a种不同的取值，

22、则,a b共有98145 种可能的取值6 分若610a，对每一个 a，b 有1a 种不同的取值，则,a b 共有5678935 种可能的取值，所以215453581 21P XA7 分当2X 时，231baa若7a，则 220ab对每一个 a，b 有 212a种不同的取值，则,a b 共有753 116 种情况若6a，则1217b，,a b 共有 6 种可能的取值所以215166112 105P XA9 分当3X 时，341baa，,a b 只有6,18，6,19，6,20 这 3 种情况，所以31321070P X 10 分所以181111331901232211057021030E X 1

23、2 分21（1）解：设椭圆方程为221pxqy，1 分则164912525qpq，解得141pq，3 分所以椭圆的方程为2214xy 4 分注：若直接设22221xyab 得到2214xy，扣 1 分（2）证明：设00,P xy，,0A m，,0B n，学科网（北京）股份有限公司直线003385:8555yPD yxx，令0y，得000385535Nxyxy5 分直线001:1yPC yxx令0y，得001Mxxy6 分00000000000038583355311 535xynynxmyymxxMB NAnmyyyy 8 分令00058333myymnyn，令583mn，33mn，得4n，4

24、m ，10 分则2222200000020000003443444412 583121 531 53583yxyyyyMB NAyyyyyy 故存在4,0A 和4,0B，使得 MB NA 是定值，且定值为 1212 分22（1）解：令 0fx，得10lnaxexa，则11ln11lnaxxeaexx 2 分令函数 xg xex，则11lngagxx，因为 g x 在 R 上单调递增，所以 11lnaxx，即n1laxx3 分令函数 n1lh xxx，则 21xh xx，则 h x 在0,1 上单调递减，在1,上单调递增，所以 min11h xh4 分因为当0 x 时，lnl11nxxxxx ，

25、当 x 时，1ln xx ，5 分依题意可得方程n1laxx有两个不相等的正根，所以1a，即 a 的取值范围是1,6 分（2）证明：令函数 2ln11xxxx，则 22102xxx，所以 x在0,上单调递减7 分因为 10，所以当0,1x时，0 x；当1,x 时，0 x8 分不妨假设12xx，则由（1）知1201xx，所以 10 x，20 x，学科网（北京）股份有限公司所以111111111111l2n22xaxxxxxx，则21121axx，9 分222222211111l2n22xaxxxxxx，则22221axx，10 分所以22121212122a xxxxxxxx，11 分因为120 xx，所以122xxa12 分