小学数学讲义暑假六年级优秀第11讲从整体考虑.pdf

1、1第 11 级上优秀 A 版教师版第 十 一知识站牌五年级春季类比与猜想六年级暑假归纳与递推六年级暑假从整体考虑六年级秋季数形结合六年级秋季从极端考虑探讨整体思想在换元法、捆绑法、旋转轮换式方程、几何割补中的应用漫画释义第十一讲从整体考虑第 11 级上优秀 A 版教师版21.理解从整体考虑的内涵，尝试着用整体考虑思想去思考问题2.运用整体考虑思想解决相关问题现实生活中，我们经常会听到“整体考虑”这个词，而且也会时不时的用“整体考虑”这个词来说明问题例如你的父母给你买衣服时，先买了一件上衣，发现你的裤子和上衣不搭配，于是又给你买了一件和上衣搭配的裤子为什么你的父母会发现不搭配呢？原因是你父母整体

2、考虑了你的身材现在又有一个现实问题摆在你面前，大家可以看看我们的例题，个别题目你看完后就有解题思路，有的题目根本没有思路不过纵观所有例题，从整体考虑我们的多数题目还得和老师一起思考才会有思路，因此为了解决这个问题，我们就来认真听讲，看看老师是怎么思考的吧！整体思想解题在解数学题时，有时候从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之，会导致解题过程繁杂、运算量大有很多数学问题，如果我们有意识地放大考查问题的“视角”往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析

3、和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理其主要表现形式有：整体设元、整体代换、整体补形整体设元（换元）：用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的一般在题目条件中数字较大、式子较复杂，而重复度高的情况下使用整体代换：根据问题的条件和结论，选择一个或几个式子，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的一般在某个式子里的各个分量具体值是无法求解的，而题目却必须要求某个式子的值时使用例如：一个圆柱体底面积是 5 平方厘米展开后是一个正方形，求这个圆柱体的

4、表面积整体补形：根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法 一 般 在 几 何 问 题，通 过 割 补 法 解 题 时 使 用 例 如：45,90,7,3ABDADBC oo，求ABCDS四 边形课堂引入经典精讲教学目标3第 11 级上优秀 A 版教师版第 十 一1.你能通过移动天平上的砝码，使下面的天平平衡吗？【分析】左边=1020838克，右边=1016430克，左边比右边多 8 克只要从左边拿 4 克到右边，两边的重量就一样多这样可以把左边8克的砝码和右边 4 克的砝码互换一下，左右两边重量都是34 克，天

5、平平衡2.3只小花猫的重量等于1只狗的重量，1 只小花猫等于 3 只鸭的重量，1 只狗重9 千克，1只猫与1只鸭各重多少千克？【分析】3只猫等于1只狗的重量，1 只狗重9 千克，3只猫也就重9 千克，933（千克），所以1只猫就等于3 千克1只猫等于 3只鸭的重量，1只猫重3 千克，3只鸭也就重3 千克331（千克），所以1只鸭等于1千克3.甲、乙两人共储蓄 32 元，乙、丙两人共储蓄 30 元，甲、丙两人共储蓄 22 元三人各储蓄多少元？【分析】方法一：甲乙 乙丙+甲丙32302284(元)，即 2 倍的(甲 乙 丙)等于 84 元甲 乙 丙84242(元)423210(元)丙储蓄款，423

6、012(元)甲储蓄款，422220(元)乙储蓄款方法二：(322230)224212(元)甲储蓄款321220(元)乙储蓄款，302010(元)丙储蓄款4.解方程：12432xx【分析】12432xx12234xx147x2x 5.解方程组：47144,125240.xyxy【分析】第一个方程两边同时乘以3 得1221432xy再减去第二个方程得16192y 解得知识回顾第 11 级上优秀 A 版教师版412y 进而15x 所以原方程组的解为1512xy计算方面的换元法：例 1、例 2计数方面的捆绑法：例 3几何方面的整体代换：例 4应用题方面的整体考虑：例 51111111111111111

7、1111234523456234562345 （学案对应：学案 1）【分析】设111112345A，11112345B原式1166ABAB1166ABAABB 1166AB16(AB)16【想想练练】计算：111111111111(1)()(1)()232013232014232014232013【分析】本题数据较多，直接计算过于复杂，观察到题中出现的相同算式，考虑整体设元设：11112342013a ，1111123420132014b，则原式1(1)(1)2014a bb aba计算：2201320132013201420132012（学案对应：学案 2）【分析】设20132013a 原式

8、2(1)1)aaa22(1)aa1例 2例题思路例 15第 11 级上优秀 A 版教师版第 十 一【想想练练】20122013201320122012201220132013【分析】设20122012,20132012ab原式(1)(1)abab abbababa100004 名男生和 4 名女生排成一队，要求女生必须排在一起，则共有多少种排法？（学案对应：学案 3）【分析】先把女生排好共有4424A 种排法，再把排好的女生队伍当做一个整体，这个整体与 4 名男生去排队有55120A 种排法，所以共有45452880AA种已知如图阴影面积为 2.28 平方厘米，求下图圆的面积（=3.14）（学

9、案对应：学案 4）苏步青和他的行程题我国著名数学家苏步青教授去法国做学术访问时，一位陪同他的数学家在电车里给苏教授出了这道题：甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距100 里，甲每小时走6 里，乙每小时走 4 里如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时10 里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住这只狗共跑了多少里路？本题好像是一个分段行程问题，但如果按照这个思路尝试，却会发现计算量庞大，无法得出结果但换个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同由此便能求出答案：狗一共跑了1006410（小时），所以

10、狗跑的距离为10 10100（千米）有时我们会遇到一些看起来无法解决的问题，这个时候我们就需要问问自己：是否应该换个角度思考？尝试着像上面的题从整体思考，一定能让我们的头脑在锻炼中变得越来越聪明！例 4例 3第 11 级上优秀 A 版教师版6【分析】设圆的半径为 r，则有2213.142.2842rr，解得28r，所以圆的面积是3.14 825.12（平方厘米）【想想练练】图中阴影部分的面积是225cm，求圆环的面积【分析】设大圆半径为 R，小圆半径为r，依题有222522Rr，即2250Rr则圆环面积为：22222()50157(cm)RrRr（A 版（1）（3）已知 36177413xyx

11、y，求 xy已知238356xyzxyz，求xyz购买 3 斤苹果，2 斤桔子需要 6.90 元；购买 8 斤苹果，9 斤桔子需要 22.80元，那么苹果、桔子各买 1 斤需要元购买 1 斤香蕉，2 斤桔子需 3 元；购 5 斤香蕉，8 斤桔子需 17 元，那么购买 1 斤香蕉、1 斤桔子共需_元有甲、乙、丙三种货物，若购甲3 件、乙7 件、丙1件，共需 20元；若购甲 4 件、乙10 件、丙1件，共需 27元；则购买甲、乙、丙各1件，共需要元某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹅蛋共用去9.25元；买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹅蛋共用去3.20元试问买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元？【分析】两个

12、方程相加得1010171330 xy，即3xy23813562xyzxyz（）（）(1)2(1)得，82610 xyz 假设购买 1 斤苹果、桔子分别需要 x 元、y 元，则：326.98922.8xyxy，两式相加得111129.7xy，即2.7xy所以各买 1 斤需要2.7 元假设购买 1 斤香蕉、桔子分别需要 x 元、y 元，则：例 57第 11 级上优秀 A 版教师版第 十 一23158172xyxy（）（）2（）-(1)3 得 22173 38xy ，4xy即购买 1 斤香蕉、1 斤桔子共需 4 元设甲、乙、丙的单价分别为x，y，z，则 3720(1)41027(2)xyzxyz，由

13、(1)3(2)2 得3202276xyz ，即各买一件需要6 元设鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各买一个分别需 x,y,z 元，则：13599.25(1)2433.2(2)xyzxyz（1）+（2）4，得2121219.253.24xyz，1.05xyz即买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需 1.05 元1.计算：31415926314159273141592531415926314159271【分析】设31415926a 原式(1)(1)(1)1aaaa a22111aaaa旅馆房价 30 元，小雪、小珂、小戴三人一起入住，每人付 10 元后来老板又打折了，只要25 元，让服务员退给他们 5 元，服务员偷偷拿了

14、2 元，退给他们每人一元，这样等于他们三个一人掏了 9 元，3 927(元)，再加上服务员的 2 元，是 29 元问：那一元去哪了？答案：问题本身就是严重的逻辑混乱，没分清整体和部分的关系可以分为两个整体：1小雪、小珂、小戴付的 30 元钱，这 30 元钱最终归属是：老板 25，小雪、小珂、小戴每人 1，服务员 2251 1 1230 2小雪、小珂、小戴付的 27 元钱，这 27 元钱的最终归属是：老板 25，服务员 225227也就是说服务员的 2 元是包含在三人掏的那 27 元里面的，不能乱加起来！附加题第 11 级上优秀 A 版教师版82.如图，ABCD 是正方形阴影部分的面积为（取3.

15、14）35DCBA【分析】设内部的正方形边长为 a，由勾股定理，可以求得内部的正方形的面积为2225334a，（或者22(35)3 5234a ），所以其内切圆的面积是217()22a，阴影部分面积为17347.3123.2025的百位数字为0，去掉0后是225，2259=2025，这样的4位数称为“零巧数”，那么请罗列出所有的“零巧数”有【分析】设零巧数为 0a bc，因此有 09a bcabc，即10009009abcabc，225bca，因此 a是小于8的偶数，因此所有的零巧数是 2025,4050,60754.有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加

16、写在它的后面，也可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数将这两个三位数和一个四位数相加等于3600 求原来的两位数【分析】设原来的两位数是 ab，则得到的两个三位数分别为3ab 和3ab，四位数为33ab，由题知33333600ababab，即1033003003103600ababab，21294ab，故14ab 5.小李应聘某公司主任职位时，要根据下表回答主任的月薪是多少，请你来回答这个问题职位会计与出纳出纳与秘书秘书与主管主管与主任主任与会计月薪和3000 元3200 元4000 元5200 元4400 元【分析】观察所有人的工资和发现每人的工资都计算了两次，所

17、以将全部工资和相加后除以 2 后得到五人的工资和为：（3000+3200+4000+5200+4400）2=9900（元）由于要求主任的月薪，所以将会计和出纳的 3200 元，秘书和主管的 4000 元减去即得主任的月薪为：9900-3000-4000=2900（元）6.商店规定4个空汽水瓶可换一瓶汽水，某班28位同学春游，他们至少买多少瓶汽水才能确保每人有一瓶汽水喝？【分析】此规定等价于：3 个空瓶=1 瓶汽水（不含瓶），设至少买 x 瓶汽水才能确保每人有一瓶汽水喝，有283xx，21x，则只需买 21 瓶汽水，其中 21 个空瓶可换 7 瓶汽水，（在换的过程中，最后还需向商店借一个空瓶，喝

18、完汽水再还回商店）共计 28 瓶7.赵伯伯为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少千米？【分析】上山下山的平均速度为241136（千米/时），所以整个过程的平均速度也是 4 千米/时，故共走 12 千米9第 11 级上优秀 A 版教师版第 十 一1.有很多相同部分的计算题，通过换元，达到简便计算的效果2.计数问题，排列组合里的捆绑法3.无法单独求出每个未知数，但是可以求出某几个未知数的和的方程及相关应用题4.几何面积计算中出现求不出来的半径时，通常用整体考虑1.计算 1

19、111111111111111()()()()5791179111357911137911【分析】设1111111,7911791113ab，则原式=1111()()()55565a bb aba2.计算：201420132012201220132014【分析】设20132012a原式20142012(2)aa2014201220122aa222012a 2(201320122012)402600003.4名男生和3名女生排成一队，要求女生必须排在一起，则共有多少种排法？【分析】先把女生排好共有336A 种排法，再把排好的女生队伍当做一个整体，这个整体与 4 名男生去排队有55120A 种排法

20、，所以共有3535720AA种4.大圆半径为 R，小圆半径为 r，两个同心圆构成一个环形以圆心O 为顶点，半径 R 为边长作一个正方形；再以O 为顶点，以r 为边长作一个小正方形图中阴影部分的面积为 50平方厘米，求圆环的面积(取3.14)O【分析】圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能题中已知阴影部分的面积，也就是2250Rr平方厘米，那么环形的面积为：2222()50157RrRr(平方厘米)家庭作业知识点总结第 11 级上优秀 A 版教师版15.有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位

21、数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数【分析】方法一：设两位数为 x，则有（10 x1）（100 x）414，解得：x57方法二：可以用数字谜的方法来解 列竖式如下：1141 4a ba b分析竖式知 1 减 b 不够减，肯定要向前借 1 位，即：1014b，整理得：b7，b 借 1给个位十位，此时 6a1，整理得：a5，经百位计算验证，结果正确6.甲杯中装有浓度为10%的糖水溶液40克，乙杯中装有浓度为19%的糖水溶液60克现在分别从甲和乙中取出相同重量的糖水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中，这样甲、乙容器中糖水浓度相同则从甲中取出的糖水是多少克？【分析】从整体来看，

22、最后甲乙中的浓度等于 40 克 10%糖水和 60 克 19%糖水混合后浓度，所以甲中 10%糖水和 19%糖水的比例为 2:3，所以从甲中取出的糖水是340245克【学案1】计算：(10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)【分析】设0.120.23,0.120.230.34ab，则原式=(1)(1)0.34a bb aba【学案2】计算：2013013201320142013201220132013201320141【分析】设20132013a 原式(1)(1)(1)1aaaa a22111aaaa【学案3】4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？【分析】先把女生排好共有 2 种排法，再把排好的女生当做一个整体，这个整体与 4 名男生去排队有55120A 种排法，所以共有1202240种【学案4】如图中圆的周长是16.4 厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等图中阴影部分的周长是厘米（取3.14）图Aa-RDRCaBRRO【分析】如图，设 BCODa，OBOACDR，由已知 R Ra R，于是有aR阴影部分的周长为 1+24.124.1 16.420.54ABBCCDDAaR圆周长（厘米）说明：这里=3.14 不必使用A版学案