小学数学讲义秋季五年级A版第3讲鸟头模型优秀A版.pdf

1、1第 9 级下 优秀 A 版教师版第 3 讲漫画释义四年级春季一半模型五年级暑假比例模型五年级秋季鸟头模型五年级秋季蝴蝶模型五年级秋季燕尾模型简单鸟头模型知识站牌第三讲 鸟头模型2第 9 级下优秀 A 版教师版大家都知道下围棋有“定式”，“定式”都是高手们长期实践的经验结果，一个围棋高手能够灵活运用各种定式，只需寥寥几子就知道对方的路数，就能推测以后的各种演化.一个数学解题的高手也可以灵活运用数学中的各种思维模式，从而快速解题.在数学中，将一类不断重复出现的、类似的问题以及该类问题的解决方法总结出来，并抽象成一定的描述及规范，即模型，这样在遇到此类问题时无需再作过多的考虑，直接使用总结好的方法

2、,迅速解决问题，这种方法相当于数学中的“定式”.今天我们将学习的鸟头模型就是小学直线型几何面积计算中提炼出来的一个行之有效的“定式”.1、能理解鸟头模型四种基本图形的证明方法2、能熟练利用鸟头模型解决基本图形的面积问题3、能够多次利用鸟头模型解决复杂图形的面积问题鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在ABC中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图(1)，或D 在 BA 的延长线上，E 在 AC 上如图(2），或 D 在 BA 的延长线上，E 在 CA 延长线上如图（3），或两个角相加为 180

3、如图（4），则:():()ABCADEABACSSABACADAEADAEEDCBAEDCBAEDCBAEDBCA图图图图经典精讲教学目标课堂引入3第 9 级下 优秀 A 版教师版第 3 讲模块 1：例 1-2，鸟头模型的证明模块 2：例 3-4，鸟头模型的简单应用模块 3：例 5，鸟头模型的多次运用1.（1）等底等高的两个三角形面积.（2）两个三角形高相等，面积比等于之比.（3）两个三角形底相等，面积比等于之比.【分析】（1）相等（2）底（3）高2.（1）如图 1，D 为 BC 的中点，212ABCScm，则_:_ABDACDSS：，2_ABDScm（2）如图 2，BC=4BD，212ABC

4、Scm，则_:_ABDACDSS：，2_ABDScm图 1图 2【分析】（1）1:1，6（2）1:3,33.如图，已知在三角形 ABC 中，BD：CD=2：3，且220ABCScm，则2_ABDScm，_:_ABDACDSS：，_ACDABCSS【分析】8，2：3，35例 1知识点回顾例题思路4第 9 级下优秀 A 版教师版（1）如图 1，已知在三角形 ABC 中，BD：AD=7：5，且2144ABCScm，则2_ACDScm，_ACDABCSS.之后在 AC 边上选一点 E，使得 AE：EC=5：7，如图 2 所示，则2_ADEScm，_ADEABCSS图 1图 2（2）如图,在ABC中，,

5、D E 分别是,AB AC 上的点，且:3:7AD AB,:4:7AE AC,如果6ADES平方厘米，求ABC的面积.EDCBAEDCBA（3）如图,在ABC中，,D E 分别是,AB AC 上的点，试说明:():()ADEABCSSADAEABAC.EDCBAEDCBA（4）如图，,D E 分别是 BA,CA 延长线上的点，试说明：:():()ADEABCSSADAEABACAECBDAECBDED【分析】（1）60，512，25，25144（2）连接 BE,:3:7(34):(74)12:28ADEABESSAD AB,:4:7(47):(77)28:49ABEABCSSAE AC，所以:

6、12:49ADEABCSS,设12ADES份，则49ABCS份,6ADES平方厘米,所以 1 份是 0.5 平方厘米，49 份就是24.5 平方厘米，ABC的面积是 24.5 平方厘米（3）连 接 BE,:ADEABESSAD AB,:ABEABCSSAE AC，两 个 等 式 相 乘得：:():()ADEABCSSADAEABAC5第 9 级下 优秀 A 版教师版第 3 讲（4）将三角形 ADE 旋转 180 度，得到三角形 ADE,然后证明同上.想想练练：如图，三角形 ABC 中，:2:3AD DB，:3:2AE EC，如果三角形 ADE 的面积等于12，那么三角形 ABC 的面积是多少？

7、ABCDE【分析】直接用共角定理：:(23):(55)6:25ADEABCSS，设6ADES份，则25ABCS份,6ADES平方厘米,所以 1 份是 2 平方厘米，25 份就是 50平方厘米，ABC的面积是 50 平方厘米(1)如图,在ABC中，D 在BA 的延长线上，E 在 AC 上，你能否说明:():()ADEABCSSADAEABAC.已知:5:2AB AD，:3:2AE EC,12ADES平方厘米，求ABC的面积.EDCBAEDCBA（2）如图，ADES与ABCS的比和 AD、AE、AB、AC 之间有什么样的关系？试着证明你的结论.EDBCA(学案对应:学案 1)【分析】（1）连接 B

8、E,:ADEABESSAD AB,:ABEABCSSAE AC,两个等式相乘得：:():()ADEABCSSADAEABAC所以:(3 2):5(32)6:25ADEABCSS,设6ADES份，则25ABCS份,12ADES平方厘米,所以 1 份是 2 平方厘米，25 份就是 50 平方厘米，ABC的面积是 50 平方厘米（2）:():()ADEABCSSADAEABAC，将三角形 ADE 顺时针旋转 90 度，得到和（1）类似的图形，然后证明同上综合例 1 和例 2，我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或例 26第 9 级下优秀 A 版教师版互补角)两夹边的

9、乘积之比(建议老师一定要把共角定理的推理过程讲透，防止学生只记结果，而不知为什么)如图，三角形 ABC 被分成了甲、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲EDCBA(学案对应:学案 2)【分析】:(43):(89)1:6BDEABCSS，所以5SS乙甲想想练练：三角形 ABC 被线段DE 分成三角形 BDE 和四边形 ACDE 两部分，问：三角形 BDE 的面积是四边形 ACDE 面积的几分之几?【分析】根据鸟头模型有:BDEABCSS323342628BDEABCSS，3328325BDESS四边形ACDE如图,以ABC的三边分别向外做三个正方形 ABIH、

10、ACFG、BCED,连接 HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知ABC的面积是 10 平方厘米，则另外三个三角形的面积和是多少？(学案对应:学案 3)例 4例 3几何中的思维方法在几何中有两种思维方法：一种分析法，从结论出发，考虑满足结论成立所必须具备的条件，逐步追溯到题目所给的已知条件，从而打通条件与结论之间的联系。另一种方法叫综合法，其思维方向与分析方法相反，是由条件推倒出新的结论，然后把新的结论当作已知条件进行推导，逐步推导出题目中的结论。7第 9 级下 优秀 A 版教师版第 3 讲【分析】因为180BACHAG,所以:():()1:1ABCHAGSSABACAHAG,所以10HAGS

11、(平方厘米)，同理另外两个三角形的面积也是10 平方厘米，所以另外三个三角形的面积和是 30平方厘米如图,在ABC中，,D E F 分别是,AB AC BC 边上的点，且:5:2,BD AD:3:5,BF FC:2:3CE AE，DEF的面积为 43.5 平方厘米，则ABC的面积是平方厘米.(学案对应:学案 4)【分析】根据鸟头定理分别求BDF,CEF,ADF的面积与ABC的面积的关系，:(53):(78)15:5675:280BDFABCSS,:(25):(58)1:470:280CEFABCSS,:(23):(75)6:3548:280ADEABCSS,设280ABCS份，则2807570

12、4887DEFS份，恰是 43.5 平方厘米，所以ABC的面积是 140 平方厘米想想练练：如图，已知:AE=15AC，CD=14BC，BF=16AB，那么:DEFABCSS的比值等于多少?【分析】根据鸟头定理分别求AEF,CED,BDF的面积与ABC的面积的关系，:(5 1):(65)1:620:120AEFABCSS,:(1 4):(54)1:524:120CEDABCSS,:(1 3):(46)1:815:120ADEABCSS,设120ABCS份，则12020241561DEFS份，61:120DEFABCSS例 58第 9 级下优秀 A 版教师版如图，已知三角形 ABC 面积为 1，

13、延长 AB 至D，使 BDAB；延长 BC 至 E，使2CEBC；延长CA 至F，使3AFAC，求三角形 DEF 的面积FEDCBA【分析】用共角定理在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，1 11428ABCFCESAC BCSFC CE又1ABCS，所以8FCES同理可得6ADFS，3BDES所以186318DEFABCFCEADFBDESSSSS杯赛提高有一块如图的蛋糕，DE 分别是 AB 的三等分点，小明按图切成 3 块，求空白部分是阴影部分的几倍？答：2 倍，将两个一模一样的蛋糕拼成如图所示，可以看出空白部分是阴影部分面积的 2倍。9第 9 级下 优秀 A 版教师版第 3 讲鸟头模型

14、:EDCBAEDCBAEDCBAEDBCA结论:():()ABCADEABACSSABACADAEADAE1.如图所示，延长三角形 ABC 的三条边分别使得 AB=BD，BC=CE，AC=AF，则三角形 DEF 的面积是三角形 ABC 面积的_倍.【分析】三角形 BDE 是三角形 ABC 的 2 倍，同时三角形 CEF 与 ADF 也分别是三角形 ABC 面积的2 倍，因此三角形 DEF 是三角形 ABC 面积的 7 倍.2.如图，平行四边形 ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四边形 ABCD的面积是 2，求平行四边形 ABCD 与四边形EFGH 的面积比HGABCD

15、EFHGABCDEF【分析】连接 AC、BD 根据共角定理在ABC和BFE中，ABC与FBE互补，知识点总结附加题10第 9 级下优秀 A 版教师版1 111 33ABCFBESAB BCSBE BF又1ABCS，所以3FBES同理可得8GCFS，15DHGS，8AEHS所以8815+3+236EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS.所以213618ABCDEFGHSS.1如图，三角形 ABC 中，AB 是 AD 的 4 倍，AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那么三角形 ABC 的面积是多少？ABCDEABCDE【分析】:(1 1):(34)1:12

16、ADEABCSS，所以12ABCS.2如图,已知点 B，C，D 在一条线上，E 在 AC 上，且 BC=2CD，AC=2CE，三角形 ABC 的面积为 100 平方厘米，则三角形 CDE 的面积是_ABCDE【分析】由鸟头模型可知，三角形 ABC 的面积是三角形 CDE 面积的 4 倍，因此三角形 CDE 的面积为 25 平方厘米3如图，7AD，6AE，4AB，9AC ，求三角形 ADE 的面积是三角形 ABC 面积的几倍？EDBCA【分析】:(76):(94)7:6ADEABCSS，所以三角形 ADE 的面积是三角形 ABC 面积的 76.4如下图，在ABC中，D、E 分别是 BC、AB 的

17、三等分点，且ABC的面积是 54，求BDE和CDE的面积.家庭作业11第 9 级下 优秀 A 版教师版第 3 讲BACDE【分析】:(22):(33)4:9BDEABCSS，所以454249BDES，24212DECS5如图,以直角三角形的三边分别向外做三个正方形 ABIH、ACFG、BCED,连接 HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知3AB 厘米，4AC 厘米，5BC 厘米，求六边形 DEFGHI 的面积.IHGFEDCBA【分析】因为180BACHAG,所以:():()1:1ABCHAGSSABACAHAG,3426ABCS(平方厘米)，所以图中四个三角形的面积和是 6424（平方厘米

18、），三个正方形的面积和是22234550平方厘米，因此六边形的面积是502474（平方厘米）6已知DEF的面积为 6 平方厘米，:1:2AD DBBE FCCE AE，求ABC的面积ABCDEF【分分析析】根据:(1 2):(33)2:9ADEABCSS，同理:2:9BDFABCSS，:2:9CEFABCSS，设9ABCS份，则2ADES份，2BDFS份，2CEFS份，92223DEFS份，恰好是 6 平方厘米，每份的面积是 632平方厘米，18ABCS平方厘米【学案 1】如图，三角形 ABC 的面积为 3 平方厘米，其中:2:5AB BE，:3:2BC CD，三角形BDE 的面积是多少？A

19、版学案12第 9 级下优秀 A 版教师版AEDBC【分析】由于180ABCDBE,所以可以用共角定理，设2AB 份,3BC 份,则5BE 份,325BD 份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABCBDESSABBCBEBD，设6ABCS份,恰好是 3 平方厘米，所以 1 份是0.5 平方厘米，25 份就是250.512.5平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5 平方厘米【学案 2】如图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，ABC的面积是_平方厘米FEDCBA【分析】ADEDEFSS,:():()(1 1):(23)1:6ADEABCSSAEADACAB,

20、所以5630ABCS（平方厘米）【学案 3】园林小路，曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青（外）、红（内）两色的三角形石板铺成.问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？请说明理由.IHGFACB【分析】因为180BACHAG,所以:():()1:1ABCHAGSSABACAHAG因此，图中每一个红色三角形和对应的青色三角形面积都相等.所以内圈三角形石板的总面积和外圈三角形石板的总面积一样大.【学案 4】已知DEF的面积为 7 平方厘米，,2,3BECE ADBD CFAF，求ABC的面积FEDCBA【分析】:():()(1 1):(23)1:6BDEABCSSBDBEBABC，:():()(1 3):(24)3:8CEFABCSSCECFCBCA13第 9 级下 优秀 A 版教师版第 3 讲:():()(2 1):(34)1:6ADFABCSSADAFABAC设24ABCS份，则4BDES份，4ADFS份，9CEFS份，244497DEFS份，恰好是 7 平方厘米，所以24ABCS平方厘米